极大类2群的4次中心扩张.pdf

:./.王成虎何立国.极大类 群的 次中心扩张.绍兴文理学院学报(自然科学)():.极大类 群的 次中心扩张王成虎 何立国(沈阳工业大学 理学院辽宁 沈阳)摘 要:针对循环群被极大类群中心扩张的问题 在极大类 群 次中心扩张的基础上继续探讨不同阶的循环群被极大类 群中心扩张的情况.设 为 阶循环群 为极大类 群 为 被 的中心扩张 给出此时 的分类.关键词:循环群 极大类 群 中心扩张中图分类号:文献标志码:文章编号:()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目“有限群的特征标余次数”().作者简介:王成虎()男江苏盐城人沈阳工业大学理学院 级硕士研究生研究方向:群 论.:.通信作者:何立国()男黑龙江齐齐哈尔人博士沈阳工业大学理学院教授研究方向:群论.:.理论基础研究扩张群的结构是有限论中一类普遍感兴趣的问题.设、为有限群 若存在有限群 它具有正规子群 ()且 使得/则称群 为群 被群 的中心扩张.等给出了自由周期群的中心扩张刘国杰等给出了亚循环 群的 次中心扩张王亮亮等则给出了极大类 群的 次中心扩张.本文在参考文献的基础上进一步给出了极大类 群的 次中心扩张群的结构分类.引理.设 为极大类 群 则 只有下述三种类型:()二面体群:()广义四元素群:()半二面体群:.引理.设 是 阶极大类群 表示群 的下中心列的第 项 则对 是 中唯一的 阶正规子群.主要结果本文的主要结果是 阶循环群被极大类 群的中心扩张 参考文献是 阶循环群被极第 卷 第 期 年 月 绍 兴 文 理 学 院 学 报 大类 群的中心扩张 本文是在此基础上 继续探讨不同阶的循环群被极大类 群中心扩张的情况.定理.设 为有限 群 ()且 /同构于 其中 则 同构于下列各群之一:()其中 ()其中 ()其中 .证明:因为/同构于二面体群 所以可设/又由循环群 的阶为 故可令 且 .所以 其中 .下面对 的不同取值逐个进行讨论:()当 时 可得 即 显然 是同构于 阶二面体群与 阶循环群的直积.()当 时 可得 由 不失一般性 可令 即 可得 即 该情况与 时相同.()当 时 可得 .()当 时 因为 所以 相当于 故该情况与 时相同 同理 的情况便不需要再讨论.()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 故不成立.()当 时 因为 所以 相当于 故该情况与 时相同 同理 的情况不需要再讨论.()当 时 可得 即 显然 同构于 阶二面体群.()当 时 可得 即 同()该情况与 时相同 由 ()且 得 即 显然矛盾故都不成立.()当 时 可得 即 显然 同构于 阶半二面体群.同()该情况与 时相同.()当 时 可得 即 由 且()得 即 显然矛盾故不成立.()当 时 可得 即 由 且()()得 即 显然矛盾故不成立.第 期 王成虎等:极大类 群的 次中心扩张 ()当 时 可得 即 显然 是同构于 阶广义四元数群.显然()()()是 的极大类 群 由引理.可知:是 中唯一的 阶正规子群 是 中唯一的 阶正规子群 但是 ().不然若()则 这与 矛盾.故 中不存在包含在中心里的 阶循环群 所以()()()都不成立.()当 时 故不成立.()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 故不成立.()当 时 情况与 时相同.综上将上述情况总结为定理.()中 取 ()中 取 ()中 取 这 种情况 接下来需要证明这些情况两两互不同构.首先通过比较最小生成元个数可以看出()中 时 ()其他情况 ()即()中 时与其他情况是互不同构的.再而通过计算方次数可以得出()()中()()中 ()即()()和()是互不同构的.且通过参考文献与参考文献里证明群互不同构的过程可以 知 道()中 ()()而()中()()则()和()是互不同构的.故可以将 种结果分为()()()这 类再继续证明每一类中的群是互不同构的.)假设当 时与 时同构 那么有 因为 是 阶循环群 则 很明显 即 所以当 时与 时不同构.)当 时由()可得()当 时由()可得()故当 时与 时不同构.)当 时 由()可得()当 时()故当 时与 时不同构.因为 是 阶循环群 同)显然当 时与 时不同构.定理.设 为有限 群()且 /同构于 其中 则 同构于下列各群之一()其中 ()其中 ()其中 ()其中 .证明:因为/同构于广义四元数群 所以可设/又由循环群 的阶为 故可令 且.所以 其中 .下面对 的不同取值逐个进行讨论:()当 时 绍兴文理学院学报(自然科学)第 卷 可得 即 显然 是同构于 阶广义 元数群与 阶循环群的直积.()当 时 可得 即 由 不失一般性 可令 即 可得 即 该情况与 时相同且当 时情况与 时相同故取 .()当 时 可得 即 .()当 时 因为 所以 相当于 故该情况与 时相同 同理 的情况便不需要再讨论.()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 故不成立.()当 时该情况与 相同.()当 时 可得 由 ()得 即 显然矛盾故不成立.()当 时同 时 显然矛盾故不成立.()当 时 情况与 相同.()当 时 故不成立.()当 时 情况与 相同.()当 时 情况与 相同.综上将上述情况总结为定理.()()()()中 取 这 种情况接下来需要证明这些情况两两互不同构.首先通过比较最小生成元个数可以看出()中 ()其他情况 ()即()与其他情况是互不同构的.且通过参考文献与参考文献里证明群互不同构的过程可以知道()()中()显然不同于()中()所以()()和()是不同构的.故可以将 种结果分为()()()这 类再继续证明每一类中的群是互不同构的.)假设()和()同构 那么有 因为 是 阶循环群 则 很明显即 所以()和()不同构.)当 时由()可得()当 时 可得()故当 时与 时不同构.定理.设 为有限 群()且 /同构于 其中 则 同构于下列各群之一()其中 ()其中 ()其中 ()第 期 王成虎等:极大类 群的 次中心扩张 其中 证明:因为/同构于半二面体群 所以可设/又由循环群 的阶为 故可令 且.所以 .下面对 的不同取值逐个进行讨论:()当 时 可得 即 显然 是同构于 阶半二面体群与 阶循环群的直积.()当 时 可得 即 .()当 时 可 得 即 .()当 时 因为 所以 相当于 故该情况与 时相同 同理 的情况便不需要再讨论.()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 故不成立.()当 时 情况与 相同.()当 时 可得 由 ()且 得 即 显然矛盾故不成立.()当 时 同 时 显然矛盾故不成立.()当 时 同 时 显然矛盾故不成立.()当 时 情况与 相同.()当 时 故不成立.()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 可得 即 .()当 时 故不成立.()当 时情况与 相同.()当 时情况与 相同.综上将上述情况总结为定理.()()中 取 ()中 取 ()中 取 这 种情况 接下来需要证明这些情况两两互不同构.首先通过比较最小生成元个数可以看出()中 ()其他情况 ()即()与其他情况是互不同构的.再而通过计算方次数可以得出()()中 ()()中 ()即()()和()是互 绍兴文理学院学报(自然科学)第 卷不同构的.且通过参考文献与参考文献里证明群互不同构的过程可以知道在()中()()而()中 ()()则()和()是互不同构的.故可将 种结果分为()()()这 类再继续证明每一类中的群是互不同构的.)假设当 时与 时同构 那么有 因为 是 阶循环群则 很明显 即 所以当 时与 时不同构.)当 时 由()可得()当 时 可得()故当 时与 时不同构 因为 是 阶循环群 同)显然当 时与 时不同构.)当 时 由()可得()当 时 可得()故当 时与 时不同构.因为 是 阶循环群 同)显然当 时与 时不同构.参考文献:.:():.刘国杰安立坚张晓娇等.亚循环 群的 次中心扩张().数学的实践与认识():.王亮亮李有连.极大类群的次中心扩张.数学的实践与认识():.徐明曜.有限群导引(上册).版.北京:科学出版社.徐明曜曲海鹏.有限 群.北京:北京大学出版社.陈强.极大类群的中心扩张.重庆:西南大学.宋蔷薇李慧杰张新媛.亚循环 群的 次中心扩张().数学的实践与认识():.():.:(责任编辑 王海雷)第 期 王成虎等:极大类 群的 次中心扩张