moorepenrose逆及其应用数学本科毕业设计.doc
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1、 本科毕业论文(设计)题 目 Moore-Penrose逆及其应用 院(系) 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 XXXX 学 号 090020135 指导教师 XXXX职称 XXXXX 论文字数 7300 完成日期: 年 月 日 巢湖学院2013届本科毕业论文(设计)巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担
2、。本人签名: 日期: 年 月 日巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定,即:本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要,有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅;学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业,并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名: 日期: 导师签名: 日期: 巢湖学院2013届本科毕业论文(设计)Moore
3、-Penrose逆及其应用 摘 要 Moore-Penrose广义逆矩阵,顾名思义,它是由Moore和Penrose发现并完善的,它有许多不同的定义形式,例如Moore定义、Penrose定义等等。本文在第一章中介绍了一种简单的M-P逆的定义以及延伸的M-P广义逆矩阵逆的定义,同时我们还介绍了当矩阵满足M-P方程的不同条件时所得到的不同矩阵,如减号逆等。我们在第二节中介绍了M-P逆的部分性质,例如,唯一性和存在性等。此外在第三节中我们给出了M-P逆的具体求法,例如满秩分解法、奇异值分解法等。最后还介绍了M-P逆在其它领域中的应用,例如,在经济学、控制论、概率论和网络理论等领域有着深刻的应用。
4、关键词:Moore-Penrose广义逆;矩阵;应用I巢湖学院2013届本科毕业论文(设计)Moore-Penrose inverse and its applicationAbstract As the name implies,Moore-Penrose generalized inverse matrix is discovered and promoted by Moore and Penrose, and it has many different forms, such as Moore definition, or Penrose definition, etc. This ar
5、ticle in the first chapter introduces a simple definition of M-P inverse and extend the definition of inverse M-P,at the same time, we also introduced matrix M-P equation of different conditions of different matrix, such as inverse minus sign. We are in the second section introduces the properties o
6、f inverse M-P, for example, the uniqueness and existence. In addition we are given in section 3 M-P inverse specific calculation methods, such as full rank decomposition method, singular value decomposition method, etc. Finally, it also introduced the M-P inverse application in other areas, for exam
7、ple, in areas such as economics, cybernetics, theory of probability, and network theory has a profound application. Key words: Moore-Penrose generalized inverse matrix, Matrix, applicationI 目 录中文摘要英文摘要引言11. Moore-Penrose广义逆21.1 MoorePenrose广义逆的定义21.2 Moore-Penrose广义逆的性质41.3 Moore-Penrose广义逆的计算方法61.3
8、.1 奇异值分解法61.3.2 满秩分解法81.3.3 其它分解法112. Moore-Penrose广义逆的应用142.1 Moore-Penrose逆在求解线性方程组中的应用142.2 Moore-Penrose逆在矩阵论中的应用17结束语20参考文献21巢湖学院2013届本科毕业论文(设计) 引 言每当我们遇到一个新的概念时,我们首先应该谈到它的历史,主要是这个概念由谁提出、什么时候提出的以及之后的应用都是我们应该了解的方面。就如本文的重点Moore-Penrose广义逆这个概念而言,我们可以从很多的文献资料查出它的历史:在1920年左右数学家Moore提出了一个新的概念,它就是“广义逆
9、”。但是由于当时的社会情况以及Moore本身在当时并不是很出名,所以这个发现就此沉默它并没有引起当时的科学界的重视,时间一直过了30多年到了20世纪中叶,当时的著名数学家Penrose又将这个概念重新提出,并且在数学界引起了广泛的关注。因为它能够解决当时许多领域的研究问题,例如它在代数课程的基本运用,并且在矩阵理论中也成为了一个研究热点。目前,它已经在许许多多的领域中有了巨大的进展,在一些数学领域如概率统计、数值分析、测量学等领域中有了很多内容,其它领域如经济学、社会学以及在现代领域起主导的网络理论等领域有了不同程度的应用。例如一些具体的如M-P逆在分块矩阵中的表达式的研究及其在控制论和系统安
10、全中的应用;M-P逆在经济学中常常用来的一些计算的应用;分块矩阵在数值计算中的应用,尤其是应用到满秩分解法;关于M-P逆的上下界和最小二乘问题的计算在许多领域中都有着广泛的应用。在本文第一节中,我们分别介绍了M-P逆的关键性定义和M-P矩阵逆的定义问题,在第二节中本文举出了一些M-P逆的简单性质,例如它的存在性和唯一性等,在第三节中更介绍了几种常用的M-P逆的计算方法并且给出了一些例题加以验证,最后在本文第二章中我们还介绍了在解线性方程组中我们经常用M-P逆来进行计算并进行了一些解释与运用,最后我们介绍了它在分块矩阵中的应用,以及它的各种计算、性质等。通过这些计算、性质以及应用等内容,我们可以
11、更好的学习M-P逆,并且在学习中掌握这些内容并加以运用的过程,从而更好的理解其它领域中M-P逆的内容,为我们更深入的学习提供一个良好的平台。1. Moore-Penrose广义逆在1920年左右数学家Moore提出了一个新的概念,它就是“广义逆”.但是由于当时的社会情况以及Moore本身在当时并不是很出名,所以这个发现就此沉默它并没有引起当时的科学界的重视,时间一直过了30多年到了20世纪中叶,当时的著名数学家Penrose又将这个概念重新提出,并且在数学界引起了广泛的关注。因为它能够解决当时许多领域的研究问题,M-P逆才成为了矩阵研究中的热点。1.1 Moore-Penrose广义逆的定义M
12、-P逆是经过数十年的发展,分别由Moore和Penrose进行研究、整理而出的一个摡念,它有许多其它形式的定义,以下给出的是一个比较简单的定义。定义1.1.11对于任意给定的一个矩阵,如果存在某个矩阵,且,同时也满足以下四个条件 其中、为复共轭转置矩阵。那么我们就称矩阵为的一个M-P逆,记为,并且把上面所列的四个方程叫做矩阵的Moore-Penrose方程,或者也可以简称为M-P方程。出于研究的需要,我们对矩阵的M-P四个方程都作出了一定的解释,使得对M-P逆的运用产生了很大的方便,由于不同的应用,我们又常常将满足部分M-P方程的矩阵叫做弱逆。为了下文引用的便利,我们还给出了以下的关于M-P逆
13、矩阵的定义,并且增加了一些其它的关于M-P逆矩阵的内容。定义1.1.22对于任意给定的一个矩阵,如果存在某个矩阵,使得,并且满足M-P方程中全部或其中一部分方程,那么我们就称矩阵为的广义逆矩阵。按照广义逆矩阵定义,我们将矩阵满足的M-P方程中的全部或其中一部分作一个归纳,并给出相应的定义,下面,我们给出了矩阵满足M-P各个方程中的记法。 如果广义逆矩阵只满足M-P方程中的一个方程,并将其记为第个方程,那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 如果广义逆矩阵只满足M-P方程中的两个方程,并将其记为第个方程,那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 如果广义逆矩阵只满足M-P方程中的三个方程,并将其记为第个方程,
14、那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 如果广义逆矩阵全部满足M-P方程中的方程,那么我们就将这个广义逆矩阵记为; 在上述的四种广义逆矩阵中,只有第四类广义逆矩阵具有唯一性,其余的三类广义逆矩阵都不具有唯一性,并且我们能够找出一些同一类型的其它矩阵。定义1.1.3 对于上述的满足M-P方程中矩阵中,我们可以通过计算得知这些广义逆矩阵一共有15种,即 ,在这些矩阵中我们在学习中经常应用的有5种,下文中重点介绍了这5种矩阵: ,其中的广义逆矩阵称为减号逆,或g逆,记为; ,其中的广义逆矩阵称作自反广义逆,记为; ,我们经常将这个广义逆矩阵称为最小范数广义逆,并且可以将它记为的形式; ,我们经常将这个广义
15、逆矩阵称为最小二乘广义逆,并且可以将它记为的形式;,其中矩阵满足全部四个条件,其中,所以我们可以将它称作Moore-Penrose逆或者是加号逆,并且可以将它记为的形式。1.2 Moore-Penrose广义逆的性质性质1(唯一性) 对任意给定的一个矩阵,并且有,设矩阵、,其中和均满足M-P四个方程,则=。 证明 因此,唯一性得证,所以广义逆矩阵是唯一的。性质2(存在性)3 对任意给定的秩为的矩阵,即,那么如果它满足M-P四个方程,则它的M-P逆是存在的,即它具有存在性。证明 :当时,矩阵为零矩阵,显然我们可以得到零矩阵满足定义1.1.1中的方程(1) (4)。当0时,我们对矩阵A作满秩分解,
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