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数字滤波器毕业论文

数字滤波器毕业论文

摘 要

本文介绍了数字滤波器、IIR数字滤波器的设计和内插技术及用MATLAB工具箱进行IIR数字滤波器的设计和内插程序的实现。本文介绍了IIR数字滤波器的三种设计方法，即脉冲响应不变法，双线性变换法和一种IIR数字滤波器的优化设计。本文还介绍了内插技术。包括内插依据，内插算法描述和内插技术的实现都做了详细的说明。
本文还应用了MATLAB信号处理工具箱，先简介了MATLAB的界面，然后通过对IIR数字滤波器的设计、Simulink实验仿真、误差比较及性能比较，最终得出正确的IIR数字滤波器仿真结果。

关键词：数字滤波器，IIR数字滤波器，内插技术，MATLAB , Simulink

ABSTRACT

This article introduced the digital filter, the IIR digital filter design and the interpolation technology and carry on the IIR digital filter with the MATLAB toolbox the design and the interpolation procedure realization. This article introduced the IIR digital filter three designs method, namely pulse response not political reform, Alignment method of transformation and one kind of IIR digital filter optimized design. This article also introduced the interpolation technology. Including the interpolation basis, the interpolation algorithm description and the interpolation technology realization has all given detailed showing.
This article has also applied the MATLAB signal processing toolbox, first has introduced MATLAB the contact surface, second through to the IIR digital filter design, the Simulink experiment simulation, the erroneous comparison and the performance comparison, finally obtains the correct IIR digital filter simulation result.

KEY WORDS: Digital filter, IIR digital filter, interpolation technology, MATLAB, Simulink

前 言

数字滤波在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域中有着十分广泛的应用。目前，数字信号滤波器的设计图像处理、数据压缩等方面的应用取得了令人瞩目的进展和成就。近年来迅速发展起来的小波理论，由于其局部分析性能的优异在图像处理中的应用研究，尤其是在图像压缩图像、去噪等方面的应用研究，受到了越来越多的关注。
MATLAB是美国MathWorks公司推出的一套用于工程计算的可视化高性能语言与软件环境。MATLAB为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。它以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。MATLAB推出的工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究、工程应用，其中的信号处理、图像处理,小波等工具箱为数字滤波研究的蓬勃发展提供了有力的工具。
本文着重研究了基于MATLAB下的IIR滤波器的设计实现、数字图像处理中的滤波器的设计，并对内插技术做了一些粗浅的尝试。

第1章 数字滤波器

1.1 数字滤波器的概念

滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波器和模拟滤波器相比，因为信号的形式和实现滤波的方法不同，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配等优点。
一般用两种方法来实现数字滤波器:一是采用通用计算机，把滤波器所要完成的运算编成程序通过计算机来执行，也就是采用计算机软件来实现:二是设计专用的数字处理硬件。
MATLAB的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。工具箱提供了丰富而简便的设计，使原来繁琐的程序设计简化成函数的调用。只要以正确的指标参数调用相应的滤波器设计程序或工具箱函数，便可以得到正确的设计结果，使用非常方便。

1.2 数字滤波器的分类

下面从各种不同角度对数字滤波器分类：
1. 按冲激响应的长度分类
按冲激响应的长度分类可分为有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）两种。冲激响应本来是用于模拟系统，指系统对冲激函数的响应。发展到数字滤波器后，工程上仍沿用这个名称，与单位抽样响应和单位脉冲响应的说法通用。
FIR的冲激响应为有限长序列，其差分方程为
(1.1)
系统函数为：
(1.2)
IIR的冲激响应h(n)为无限长序列，其差分方程为
(1.3)
系统函数为：
(1.4)
IIR和FIR在特性、结构、设计方法、运用场合等方面均不相同，本章及下一章将分别对 IIR和FIR的区别进行论述。
2. 按有无递归结构分类
按有无递归结构分类 分为递归型和非递归型。递归表现为实现过程中出现反馈回路。即将某些输出量反馈到原输入点与原输入量相加。一般来说，IIR的H(z)有分母，须用递归型结构实现；FIR 的无分母，用非递归型结构实现。但是FIR也可以用递归型结构实现，比如：
(1.5)
可以改写为
(1.6)
然后用递归型结构实现。
因此，尽管IIR、FIR与递归非递归有着密切的关系，但它们毕竟是从不同的角度看问题，在概念上不能混为一谈。
3. 按频域特点分
按频域特点分分为低通滤波器（LP DF）、高通滤波器(HP DF)、带通滤波器（BP DF）和带阻滤波器（BS DF）四种。
这里要特别强调一点的是：数字滤波器的频响是周期的,其重复周期是采样频率,或者数字频率2π，且在每一周期内，幅频特性具有对称性。比如采样频率 =8000Hz,数字带通的通带是300～3400Hz，那么它的重复周期为8000Hz，由对称性可知4600～7700Hz也是通带，由周期性可知8300～11400Hz也是通带，等等。因此，如果你想从0～20kHz的信号中滤出1～4kHz的频率成分，那么在0～20kHz的频率范围内，带通滤波器应该只有1～4kHz的通带。因为频响的周期为采样频率所以在内与1～4kHz相对称的通带-4kHz～f-1kHz必须在20kHz的频率之外，应有-4kHz>20kHz，即 >24kHz。
则此时带通滤波器的通带范围为1～4kHz，20～23kHz，25～28kHz，从而保证了在0～20 kHz的频率范围内，只有1～4kHz的频率成分可以通过该滤波器。
因此，所谓低通、高通、带通、带阻都是指频率f介于0～/2或数字频率ω介于0～π的那一段幅频特性而言的。也就是说，数字滤波器处理的频率应该小于/2。
关于数字频率ω，一定要注意它是真实频率于采样频率之比。说一个数字频率低通的带通是0～0.1π,则时钟为1Hz时是指0～50Hz，时钟为2Hz时是指0～100Hz，时钟为100kHz时是指0～5kHz，是相对频率。
4 . 按同时处理的变量的个数分
按同时处理的变量的个数分可分为一维和多维滤波器。一维滤波器的输入、输出、冲激响应和频响分别是，，，，二维滤波器分别是，，， ，三维和三维以上类推。一位滤波器最常用。二维滤波器主要用于图象处理，其用途日益广泛。对二维和多维系统理论和实现的研究是目前颇受重视的课题，但本课题只涉及一位滤波器。
分类的方法还有很多，比如线性滤波器和非线性滤波器、时变DF和非时变DF、纯振幅DF和纯相位DF、线性相位DF和非线性相位DF等等，不再一一细述。

1.3 FIR和IIR数字滤波器的比较

在很多实际应用中如语音和音频信号处理中，数字滤波器来实现选频功能。因此，指标的形式应为频域中的幅度和相位响应。在通带中，通常希望具有线性相位响应。在FIR滤波器中可以得到精确的线性相位。在IIR滤波器中通带的相位是不可能得到的，因此主要考虑幅度指标。IIR数字滤波器的设计和模拟滤波器的设计有着紧密的联系，通常要设计出适当地模拟滤波器，再通过一定的频带变换把它转换成为所需要的数字IIR滤波器。此外，任何数字信号处理系统中也还不可避免地用到模拟滤波器，比如A/D变换器前的抗混叠滤波器及D/A转换后的平缓滤波器，因此模拟滤波器设计也是数字信号处理中应当掌握的技术。
从性能上来说，IIR数字滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的唯一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少、计算量小、效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的选择性越好，则相位非线性越严重。FIR滤波器传递函数的极点是固定在原点，是不能动的，它只能靠改变零点位置来改变它的性能，所以要达到高的选择性，必须用高的阶数，对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可能比IIR滤波器高5-10倍，结果成本高信号延时也较大，如果按线性相位要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样大大增加了滤波器的阶数和复杂性。而FIR滤波器却可以得到严格的线性相位。
从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构来配置极点，并保证极点位置在单位圆内。由于有限字长效应，运算过程中将对系数进行舍入处理，引起极点的偏移，这种情况有时会造成稳定性问题，甚至造成寄生振荡。相反，FIR滤波器只要采用非递归结构，不论在理论上还是实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小。此外FIR滤波器可以采用快速傅立叶变换算法，在相同的阶数条件下运算速度可以快的多。
从设计工具看，IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供参考，计算工作量比较小，而且对计算工具的要求不高;FIR滤波器一般没有封闭形式的设计公式。窗函数法设计FIR滤波器也仅给出了窗函数的计算公式，但是在计算通带阻带衰减时无显示表达式。一般FIR滤波器的设计只有计算程序可循，因此它对计算工具要求较高。
在设计和实现上FIR滤波器具有如下优越性:
(1)相位响应可为严格的线性，因此它不存在延迟失真，只有固定的时间延迟。
(2)由于不存在稳定性问题，所以设计相对简单。
(3)只包含实数算法，不涉及复数算法，不需要递推运算，长度为M的滤波器(阶数为M-1)，它的计算值约为M/2。
另外，也应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有分段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通和带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活的多，尤其是他易于适应某些特殊应用，如构数字微分器或希尔伯特变换器等，因而有更大的适应性和广阔的应用领域。从上面的简单比较可以看到IIR与FIR滤波器各有所长，所以在实际应时应该从多方面考虑来加以选择。从使用要求来看，在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等选用IIR较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点;对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高。如果有条件，采用FIR滤波器较好。当然在实际应用中可能还要考虑更多方面的因素.
对数字滤波器的要求可归纳为具有低通频响特性和线性相位的稳定系统。因此将FIR和IIR滤波器做个比较，如下表所示：
表1-1 FIR和IIR滤波器的比较
FIR滤波器
IIR滤波器
有限长脉冲响应
无限长脉冲响应
无循环反馈
有循环反馈
常稳定
必须考虑稳定性
截止特性差，必须用高阶性
截止特性好
可以简单地获得直线相位特性
只能近似地获得直线相位特性
不必要考虑量化误差的扩大
必要考虑量化误差的扩大问题

1.4 数字滤波器的一般分析、设计方法
对数字滤波器的分析，主要是考察它再频域和时域两个方面体现的一些特性。
频域：
1. 幅频特性，相位特性，群延迟特性。
2. 舍入噪声（平均噪声功率、噪声譜）。
时域：
1. 冲激响应，阶跃响应，对任意输入的时间响应。
2. 极限环。
为了描述和分析这些特性，需要有描述系统的方法，主要有：
1. 节点方程式。
2. 混合方程式。
3. 状态方程式。
4. 传输函数。
从包含的输入输出关系信息看，14逐渐增多，如能得到4的传输函数，则可以推出频域时域输入输出关系特性。从包含的系统结构信息量看，41逐渐增多，只要知道节点方程式，就可画出系统结构，反之亦然。这集中描述方法式可以相互转化的，比如从状态方程可以推出传递函数。从节点方程可以推出状态方程等等。我们的兴趣主要是在输入输出关系上，所以只讨论传递函数。传递 函数H(z)以知后，则可以确定系统的频响为:
(1.6)
其中和分别是幅频特性和相位特性。
对于无失真的传输系统，有
(1.7)
即 (1.8)
这就是说，幅频特性为常数，信号通过线性系统后个频率分量的相对大小保持不变，没有失相位失真。相位特性为线性，是对应时域方程的时延量为常数
(1.9)
即系统对个频率分量的延迟时间相同，这就保证各频率分量的相对位置不变，没有相位失真。
数字通信对相位的要求比模拟通信要高的多，线性相位时很重要的。数字系统描述对各频率分量的相位延迟的函数于模拟系统一样，有两个：
群时延：
相时延：
群时延特性能反映相频曲线的线性程度，相时延特性能反映各频率分量在时延的相对延时。因无相位失真的传输条件具有恒群时延和恒相时延，即
群时延=相时延＝常数
上面我们讨论的时分析数字滤波器的一般方法，下面来看一个有关数字滤波器的设计问题。
设计一个数字滤波器必须经过下来步骤：
1. 确定是用IIR 还是用FIR；
2. 确定滤波器的传递函数；
3. 用有限精度算法来实现这个系统函数（包括选择运算结构，选择合适的字长 以及有效数字的处理方法）。
实际的技术实现（包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或者是二者结合的方法）。
应该指出，在设计是并不是可以按照上述顺序一次性解决的，而是互相牵连，需要上下反复多次才能完成。滤波器的传递函数决定了滤波器的特性。
IIR的设计方法大致有两种。一种是借助模拟滤波器的设计技术，应用模拟滤波器低通原型设计各种数字滤波器。另一种是计算机辅助设计，也叫最优化设计，即在某种最优化准则下逼近所希望的响应。

第2章 IIR数字滤波器的设计

数字滤波器是数字信号处理的主要内容之一。数字滤波器和模拟滤波器有同的滤波功能.但具不同的实现方式。前者是利用有限精度算法来实现.精度高.稳性强.实现灵活且不要求阻抗匹配.故在很多方而优于模拟滤波器。
设计思路:先设计一个合适的模拟滤波器,然后变换成满足预定指标的数字滤波器。这种方法的方便之处在于模拟滤波器的理论和设计办法已发展得相当成熟.且有若干典型的模拟滤波器我们选择.它们有严格的设计公式.现成的曲线和图表.只需选定一种类型.按规定的技术指标设计出模拟滤波器的传输函数，再按一定的转换关系将转换成数字滤波器H(z)。这样问题就变成了如何将S平而上的转换成Z平面上的H(z)。为了保证转换后的H(z)少仍满足技术要求，必须对转换关系提出如下要求：
(1) H ( z)的频率响应要能模仿的频率响应，即S平而的虚轴必须映射到Z平而的单位圆上，也就是频率轴要对应；
(2) 因果稳定的应能映射成因果稳定的H (z)。也就是s平而的左半平而Re(S)<0必须映射到Z平而单位圆的内部< 1。
将传输函数从S平而转换到Z平面的方法有多种，但常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。
2.1 脉冲响应不变法

设模拟滤波器的传输函数
(2.1)
(为单阶极点)只有单阶极点，将进行逆拉氏变换，
得到相应的单位冲激响应是：
(2.2)
(u(t) 为单位阶跃函数)，
对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到:
(2.3)
作为数字滤波器的单位取样响应。对它进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数h(z):
(2.4)
例如：一个RC低通滤波器的传输函数为：
(1/ sc) /[R+(1/ sc)]=(1/ RC)/[S+ (l/RC)] (2.5)
因为极点为-1/RC，转换成，的极点为，
因此
(2.6)
令=RC,
(2.7)
所以上它的差分方程为：
(2.8)
画出其数字低通滤波器的网络结构如图2.1所示。
脉冲响应不变法转变关系满足前而提出的两点要求，但有频率响应的周期延拓象，因而如果不是严格限带的（一般如此），必然会有频率响应的混叠失真。为此要求模拟滤波器是一个带限滤波器。实际上的频率响应不可能真正带限，只要在折叠频率/ T以上频响哀减加快，即是锐截止的，用脉冲响应不变法设计的数字滤波仍能较好地满足要求。

图 2.1 数字低通滤波电路

2.2 双线性变换法

双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，为了克服多值映射这一缺点，首先把整个S平面压缩变换到某一中介的，平面里的一条横带里（宽度为2/T,即从- /T到/ T），其次通过标准变换关系z=将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面是一一对应的关系，消除了多值变换法，也就消除了频谱混叠现象。
模拟滤波器可用一N阶微分方程描述，相应的传输函数=，极点是单阶的，展开成部分分式，每一个部分分式相对应的是一个一阶微分方程。设输入信号和输出满足一阶微分方程，即满足
(2.9)
该方程对应的模拟系统函数为
(2.10)
求积分，然后进行Z变换，得到
{()[(1-)/(1+)]+c} (2.11)
所以， s=(2/T)[(1-)/(1+)] (2.12)
则 z=(2/T+s)/(2/T-s) (2.13)
= /s=(2/T)[(1-)/(1+)] (2.14)

例：己知模拟滤波器=1/(1+s),试利用双线性变换法将转换成数字滤波器H(z)。
解: H(z)= /s=T(1+)/[ 2(1-)+T (1+)]
从设T=1s，则 H (z)=(1+)/(3-).
幅频特性如图2.2 所示。模拟滤波器并不是带限的，它拖了个“长尾巴”。但由于双线性变换法具有频率压缩作用，数字滤波器的频响限制在0与 之间，不存在频率混叠作用。
设计方法与举例
设计数字低通滤波器的步骤：
(1) 确定数字低通滤波器的性能指标；
(2) 确定对应模拟低通滤波器的性能指标:脉冲响应不变法，双线性变换法。通带及阻带哀减与数字低通滤波器相同；
( 3) 按照模拟低通滤波器的性能指标，设计模拟滤波器；
( 4) 利用双线性变换法或脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字低通H(z)；
(5) 编制好主程序及相应子程序后，在计算机上进行设计、验证。

图2.2 H (z)幅频特性
设计低通滤波器要求在通带内频率低于0.2rad时容许幅度误差在1dB以内,在频率0.3 到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试用脉冲响应不变法设计滤波器。
解：用脉冲不变法设计：
规定：WP，Ws为数字低通滤波器通带和阻带的截止频率;为，模拟滤波器的通带和阻带截止频率。为截止频率(衰减3dB的频率)。巴特沃斯低通滤波器的幅度特性是单调下降的,其技术指标要求如下：

(2.15)
设计步骤：
(1) 将设计要求转换为对模拟滤波器的设计要求,本例模拟滤波器的设计要求:
(2.16) (2) 计算模拟滤波器的需阶数N及3dB截止频率 ：
式中， (2.17)
(2.18)
所以 N=6, =0.7032rad/s
(3) 根据阶数N和,得模拟滤波器的传输函数:
Ha(s)=0.12093/[(+0.3640s+0.4945)(+0.9945s+0.4945) (+1.3585s+0.4945)]
(4)Ha(s)展开成部分分式,并进行z变换,求得数字滤波器的传输函数：

为了验证设计是否达到指标,必须计算系统的频率响应。为此，用N-S图及程序。这个程序对于由二阶级联构成的滤波器具有通用性。程序运行后,能打印出滤波器的幅频特性和增益特性曲线及其数值。
结论：
设计不同类型的滤波器的方法归纳有两类：
（1）把一个归一化原形模拟低通滤波器经模拟频带变换成需要类型的模拟滤波器,然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需类型的数字滤波器（2）由模拟低通原形先利用双线性变换法变换成数字低通滤波器,然后利用数频带变换法,将它变换为所需要的各类型滤波器。

2. 3 一种IIR数字滤波器的优化设计

借助模拟滤波器变换设计IIR数字滤波器的方法,可以利用现成的滤波器(如巴特沃斯，切比雪夫或椭圆函数滤器)的设计公式或设计图表来完成。但是,无论是模拟式还是数字式滤波器,都希望它们具有任意给定频率响应或任意给定特性的解析性能。这样上述方法便不适用了。为此，常运用计算机辅助设计技术,用计算机解一组线性或非线性方程的方法,来逼近任意频率特性。
本节采用频域均方误差最小设计法,使所求的幅频特性尽力逼近期望的幅频特性,其逼近准则是使均方误差最小。
1. 优化设计的数学描述
以数学方式来描述优化设计时,函数极值是受元件参数选择和调整等因素约束的。可见优化设计问题便转化为在一定条件下求函数的极值问题,即可用数学式描述如下：
(2.19)
i=1,2,3…m (2.20)
j=1,2,3…l (2.21)
式中,表示n维欧氏空间。是n维空间中的向量,在电路中则是设计变量,f(x)为目标函数,hi(x)=0和≥0为约束条件或称为约束方程。由于等式约束hi(x)=0等价于
, (2.22)
两个不等式约束。因此,最优化数学模型可表示如下:
(2.23)
j=1,2,3…i (2.24)
约束条件是设计变量允许变化的范围。目标(误差)函数f(x)是优化设计的目标,用来度量实际响应特性与要求特性之间的误差,它的大小反映实际响应接近设计指标的程度。
设计时常采用均方误差函数(即最小二乘法目标函数)法,可描述如下:
(2.25)
或者
(2.26)
式中,是电路的实际响应和待求响应的误差,可为实数或复数,W()为正实权函数,其值是对的加权, 为连续独立变量,H为值的允许变化范围,M是在区间H内抽样点数。目标函数建立后,最优化设计就转化为求函数的极值问题。对IIR滤波器设计也一样。
2. IIR数字滤波器优化设计的数学模型
设计数字滤波器的问题实质上是要确定传递函数
(2.27)
式中的一组系数和。为了在Z平面上直接求解这组函数,可采用计算机辅助设计方法,按照规定准则,逐个改变这组系数,使H(Z)的特性逼近预定目标,当系数达到最佳值时,就认为达到了最逼近于目标的传递函数H*(Z)。
根据频域均方误差最小化准则,在一组离散频率(i=1, 2,3…M)上给出所需的频率响应,在这些离散频率上,均方误差定义为：
（2.28）
如数字滤波器的传递函数可选择为：
(2.29)
选择这种级联形式,是因为它对系数变化不敏感,且便于在最优化设计中计算导数。
式(2.19)所表示的误差,可看作是参数的函数,即:
(2.30)
人们希望求出误差E最小时这些参数值,所以取E对每一参数的偏导数,并且令其偏导数等于零。这样共有4N+1个未知数,而需解4N+1个方程,方程对增益因子A的偏导数为：
(2.31)
对|A|求解,得:
(2.32)
A*是使E()为最小时的最佳增益值,亦是的函数,将A*代入误差公式,有:
(2.33)
只含4N个未知数,于是在这基础上求其它4N个未知数最佳值,则有:
(2.34)
因为A*已使E(A, )极小,所以
(2.35)
则有:
(2.36)
式(2.36)是非线性方程,可采用迭代法求解。又因,并设,,而且
(2.37)
得:
(2.38)
可求出:
(2.39)
由于,所以,，，，，都各有N个,因此式(2.38)可化成为:
(2.40)
而
(2.41)
得：
(2.42)
于是式(2.30)可写成为
(2.43)
同理可推导出：
(2.44) (2.45)
(2.46)
将式(2.43)-(2.46)代入式(2.36)中,可求出误差函数E()对4N个未知数中的偏导数,从而得到4N个非线性方程。这些方程可用FletcherPowell算法求解。计算误差函数E()的梯度,由此搜索误差函数E()的最小值,从而确定最佳值参数。当两个相邻E ()的差值落在~以内时,就可以认为误差函数收敛到最小值。
在上述的设计过程中,当函数收敛时,极点和零点将随机地出现在单位圆的内部和外部,这是因迭代起点不同,在最后得到的传递函数中,可能会有Z平面单位圆外的零点和极点,它使滤波器不稳定,为此,可在程序中应用全通网络特性,可把单位圆外的零点和极点反演到单位圆内部。
设极点|Z|=Zi,Zi>1可用Z=的极点来代替,这相当于系统函数乘了一个分式：(Z-Zi)/(Z-),该分式是一个全通函数,对极点作这样调节,除了可能相差一比例常数外,并不影响幅频特性的规律,因为此时网络的幅频特性为：
(2.47)
(2.48) 等于一个常数。
同理,因一个不稳定的复数极点,都是以共轭成对出现的,所以在单位圆外极点可用镜象极点来代替。如果要求滤波器有最小相位,可对圆外零点用同样方法确定零点位置。将零点也移到单位圆内。在将单位圆外所有零。极点反演到单位圆内后,再进行优化设计,常可使均方误差进一步减少。
3 应用举例
要求设计一个满足下述的二阶低通滤波器:
(2.49)
(2.50)
(2.51)
上述设计条件中, 是给定的一组频率点,是该频率点上要求的振幅响应。n从1到30,采样点为30。
二阶低通滤波器的传递函数为：
(2.52)
输入参数和数据后,经计算机迭代运算结果为：
极点：0.89673890.19181085, E=0.56731821
零点：0.821911630.56961502,A=0.11733977
因极点在单位圆内,系统是稳定的。

第3章 内插技术

将连续信号变成数字信号是在计算机上实现信号数字处理的必要步骤。那么如何从采样后的离散信号完全恢复和重建原信号呢？这就与信号采样和内插两个过程都有关系，下面就这两方面进行分析。
3.1 内插依据

3.1.1 信号的采样
要完全恢复和重建原信号，对信号采样时就必须遵守一个基本原则，即采样定理，其内容是：当采样频率fs 不低于两倍信号的最高频率fc 时，信号能从采样信号中完全恢复。
该定理是由奈奎斯特于1928 年提出的，所以采样频率fs又被称为奈奎斯特频率（Nyqulst frequency ) ，比如对于频率为fc 的正弦波，其采样频率必须在2fc 以上，这样采样定理可以作为选取采样周期T 的理论依据，当然，在实际选取中往往留有余地，一般fs为fc的2.5 倍以上，我们取为4 倍。那么，用低于奈奎斯特频率的信号采样，会出现本来肯定不包括信号中的低频成分会显现出来，这叫混叠。混叠在采样后不能去除，为了回避它，在实际应用中，会在进行采样之前，将原来的信号通过一个抗混叠低通滤波（low pass filter ) ，预先将不必要的高频成分截取掉，然后进行采样。

3.1.2 信号的重建
采样定理的又一个结论是说：采样信号可用一个理想低通滤波器恢复其原始模拟信号x (t)。这一过程如图3 -1 所示，设有一理想低通滤波器，其频率响应是：
（3.1）
令通过该低通滤波器，其输出为y (t)，其频域关系为：
(3.2)
由图 3 - 1 所示相乘的结果是截了 的一个周期，则
(3.3)

图3-1由x ( nTs ）重建 x(t)
对应的单位抽样响应：
（3.4）
则： （3.5）
因为，所以y(t)也应等于x(t),即
（3.6）
此式即为由抽样后的离散信号重建原信号的公式。不难发现，这是一个插值公式，插值函数为sinc函数，插值间距为T，权重为x ( nTs)。只要满足抽样定理，那么，由无穷多加权sinc函数移位后的和即可重建出原信号。
但是，由上面的理想内插函数公式的要求，需要无限样值的求和是不可能的，因此，在实际中又导出了许多次优化的方法，其逼近原始信号的精度是视具体情况而定。其中最为常用的方法分为两种：一种是内插（如线性插值等），另一个是拟合，其不同之处在于：内插时，是过已知数据点构造一个解析表达式，由此可计算数据点之间的函数值，构造的曲线必通过原数据点。而第二种方法曲线拟合（或磨光），是选择一个“最好”的光滑曲线去逼近已知离散据，但这条曲线不要求通过已知数据点。但要求拟合曲线与已知点的函数值之差的平方和最小，这在数学上也叫最小二乘法。由于曲线拟合方式构造的波形不通过原数据点，因此在示波器显示中会造成触发点不稳定的问题，而导致显示不稳定，所以本课题中未采用此种方式。

3.2 内插算法描述

3.2.1 线性插值和立方插值
线性插值和立方插值都属于拉格朗日多项式插值。其定义为：设函y = f (x)在[a,b］上有定义，且已知它在n+1个互异点,函数值为，若存在一个次数不超过n 次的多项式