数学与应用数学专业毕业论文-范本-微元法在物理解题中的应用.doc
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1、毕 业 论 文微元法在物理解题中的应用赵 云 云 指导教师姓名: 申请学位级别: 学士 学科、专业名称: 数学与应用数学 论文提交日期: 2007年05月 论文答辩日期: 2007年05月 学位授予单位: 答辩委员会主席: 评 阅 人: 2007年05月Dissertation Submitted toHuangshan UniversityforThe Bachelor Degree ofMaths and Applied MathsThe Apply of Element method In Solving Physics ProblemsBy Supervisor: Associate
2、Prof. Xiang MingyinJanuary 2007黄山学院毕业论文微元法在物理解题中的应用摘要微元法是分析连续过程积累的一种方法,故在普通物理学中应用广泛在进入大学学习之初,常常因从中学的恒力问题过渡到变力问题,时而思路混乱,于是牛顿采用“微元”方法处理分析物理现象,创立微积分学本文追随着大师的思想,介绍物理解题所采用的微元法在力学和电磁学方面的具体的应用关键词:微元法,万有引力,牛顿运动定律,磁通量The Apply of Element method In Solving Physics ProblemsABSTRACTElement analysis is the proce
3、ss of continuous accumulation of a method, Therefore, in general physics widely used. At the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondary issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, So Newton used“element method”Dealing with the
4、 physical phenomena analysis, the creation of Calculus. This paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the Element method in mechanics and electromagnetic fields of science, the specific application. KEY WORDS: Element method, Universal Gravitation, Newtons Laws o
5、f Motion, Flux 目 录第一章 绪 论1第二章 微元法的定义及应用理论基础12-1微元法的定义12-2微元法的应用理论基础3第三章 微元法在力学中的应用4第四章 微元法在电磁学中的应用6第五章 总结8参考文献9致 谢10iii第一章 绪论 “微元法”是在物理解题时所采用的一种特殊的分析方法这种方法的精髓就是把确定的研究对象分割为无限多个无限小的部分,然后抽取其中一部分加以研究,通过对所抽取的这一部分的研究,就可以认为是整体或全过程的性质和规律,它实质上是“从复合到单一,从单一到复合”的分析与综合思维方法,因此微元法具有广泛的应用性第二章 微元法的定义及应用理论基础2-1微元法的定义
6、所谓微元法就是指将连续的(线,面,体)看成无数个无限小(线元,面元,体元)的集合,整个物体的物理量就变为无限个小微元相应物理量的“无限积累”,从而将物理问题“翻译”成为数学问题的一种方法微元法在某些文献中被命名为元过程分析法,它把一个极小的微元过程和一个大过程视为本质上的相同只要分析透了微元的物理状况(实际上可推广到一切动态变化)及其边界条件的相互关系,就可以根据定积分去推倒全过程的基本规律在科学技术领域中,有大量的问题,定量求解它们的途径都可以归结为一种和的极限的运动,这种运算,经过数学抽象,就成为定积分微元法概念这类问题,在力学中比比皆是,也就是说,在力学中,有不少的物理量,可以借助于微元
7、法来计算其满足条件的数值大小或分析其作为变量的变化期间和变化规律,所以,定积分在力学中得到广泛的应用应用定积分理论解决力学实际问题的第一步是将实际问题数学化,这一步往往比较困难,而微元法(亦称为微元法分析法,元素法)恰是解决这一困难,实现这种转换的有力设求解的实际问题可化为在区间上的某个量,如果我们在具有代表性的任一小区间上,以“匀代不匀”或“不变代变”找到这个量的微元,则根据微元,则根据微分基本定理,这个量就可以应用定积分计算显然,解决问题的关键是在微小的局部上进行数量分析,寻找并列出正确的微分式,故而这种方法称为微元法2-2微元法的应用理论基础2-2-1 微元法的理论基础我们知道,能够应用
8、微元法求解的量应该具备下列条件:(1)它是一个与变量的变化区间有关的量;(2)它对于区间具有可加性,即如果把分成若干个小区间,则它能相应地分成若干个对应的部分量,且该量就等于所有部分量之和;(3)部分量的近似值可以表示为,这样就可以用定积分来表示这个量 将满足上述条件的量写成可运算的积分表达式的步骤可归纳为:(1)根据问题的具体情况,选取一个变量(例如)作为积分变量并确定它的变化区间;(2)将区间分成若干个小区间,取其中任一小区间并记作 ,求出相应与这个小区间的部分量的近似值,如果能近似地表示为x的一个连续函数与的乘积(这里与相差一个比高阶的无穷小),就可以将它记作为,即;(3)以所求量的微元
9、为被积表达式,在区间上作定积分得:结果即为所求的实际量,根据所求问题的不同,它可以是一个具体的数值,也可以是一个函数 作为微元法应用的实例,我们考察一个以速度定积分作变速运动的质点,欲求它在时间间隔内产生的位移的大小在这里,速度是一个随时间变化的量,因此求该质点在时间内产生的位移就不能冒失的应用这样的简单公式了,但只要我们注意到质点的速度是连续变化的,即它是时间的连续函数,在一段很短的时间内,它的变化很小,近似不变,这就为我们提供了以“不变代变”的条件,而且所取的时间间隔越短,这种近似代替的精确度就越高我们所求的位移具有可加性,即质点在时间间隔内的总位移等于每一个小区间的位移之和,这样就使它具
10、备了用微元法求解的条件具备了条件就可以着手解决问题了,首先“化整为零”,把时间区间用分点、,分为段,而且满足,这样各段区间长为,设质点在第个时间间隔内所产生的位移为,在这一短暂时间间隔内,质点的速度变化很小,可近似视为不变,因此质点在这一短暂时间内的运动就可视为匀速运动而利用公式求其位移了,即;把各个时间间隔内的位移相加,即得,当,即可得到此变速运动的质点在时间内的位移,当全部的同时趋于0时,的极限存在,则此极限值就是质点的位移,也就是函数在区间 上的定积分由此,我们可以归纳出如下的解题步骤:(1)由于质点的速度是随时间变化的,因此选取作为积分变量,其变化区间为;(2)将分为若干个小区间,在任
11、意小区间内,质点的位移,因为速度的变化是连续的,因此可以表示为一个连续函数与的乘积,此时可将它记作,即;(3)以所求量的微元为被积表达式,在区间上作,对于具体问题,的积分后代入,下限即可得到运动质点在在区间上的位移上述步骤亦可规律化为:(1)根据实际问题性质确定积分变量及其变化区间;(2)将变量的变化区间划分为若干个小区间,求出每一个小区间内待求量的表达式,这就是所谓的“化整为零”;(3)待求量在变量的变化区间内具有可加性,利用求和的方法将对应于每一个小区间的待求量的部分量相加,这就是所谓的“集零为整”,得到待求量的近似值;(4)当每一个小区间的原宽度趋与零时,即可得到待求量的极限,也就是待求
12、量的准确值2-2-2本文所涉及的物理学知识:万有引力定律质量分别是和的两个质点之间的引力为其中是作用在上的引力,是由指向的矢径是万有引力系数;年国际科学联盟理事会科技数据委员会推荐的数值为; 重力加速度; 牛顿第二运动定律;水的静压力 为水的比重; 功率 由欧姆定律;功 ;转动惯量 对于空间形体,绕,轴及原点的转动惯量定义为 , , , ; 真空中的静电荷场强公式 , 其中K是静电力常量; , ,其中是电磁感应强度;电磁感应定律 , 其中磁通量第三章 微元法在力学中的应用下面举例说明说明微元的具体应用1 液体静压力例1 如图(1)所示为一管道的圆形闸门(半径为3米)问水平面齐及直径时,闸门所受
13、到的水的静压力为多大?解:该圆的方程为 ,由于在相同深度处水的静压力相同,其值等于水的比重与深度的乘积,故当很小时,闸门上从深度到这一狭小上所受的静压力为从而闸门上所受的总压力为 图(1) 2 转动惯量例2 计算半径为,质量为的均匀分布球体绕任一直径及原点的转动惯量解 在高等数学中对物体转动惯量的计算,是微分法在物理学中的重要应用之一对于空间形体,绕,轴及原点的转动惯量定义为 , , (1) , 在(1)式中或为质量元或体积元,或积分元在不同的坐标系中有不同的表达式为球体密度,一般为,的函数,在本题中因质量均匀分布,故为常量考虑到对称性,(球心在原点)应有,只要求出其中一个如,则,及即可得到对
14、(1)式微分,有,它表示质量为的质量元绕x轴的转动惯量,()是dm到x轴的距离的平方,求出所有的 dm对轴的转动惯量,即得到整个球体的转动惯量在本题中,如用直角坐标系,则有,则由(1)式有 因,所以如用柱坐标系,有,则如用球坐标系有 ,有 在该问题中用球坐标系,计算较为简便然而,在物理学中,转动惯量的计算,往往不是通过计算三重积分的方法来进行的如在本问题中通常以圆板的转动惯量(为圆板质量,为圆板半径)为基础,把球体看成是由许多薄圆板组成,并把任一薄圆板的转动惯量记为, (2)其中为薄圆板质量求出所有的薄圆板的转动惯量之和技即得到整个球体绕直径的转动惯量每一个薄圆板都绕同一轴线转动,且,将此式代
15、入(2)式,注意到,有有时,常常选取薄球壳,计算也非常方便,把球看作是由许多薄球壳所组成,由于薄球壳上的每一点到球心的距离都相同,则每一球壳绕其球心的转动惯量为 , (3)且,将此代入(3)式有,因,故 第四章 微元法在电磁学中的应用R3 功与平均功率例3 在纯电阻电路图(2)中,已知交流电压为求在一个周期内消耗在电阻上的能量,并求与之相当的直流电压解:在直流电压下,功率,那么在时间内 图(2)所做的功为现在为交流电压,瞬时功率为这相当于:在任意一小段时间区间上,当很小是,可把近似看作恒为的情形于是取功的微元,并由此求得而平均功率则为例4如图(4)所示,某人用力转动半径为的转盘,力的大小不变;
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