数学与应用数学专业毕业论文-范本-微元法在物理解题中的应用.doc

　毕 业 论 文

微元法在物理解题中的应用

赵 云 云

指导教师姓名：
申请学位级别： 学士 学科、专业名称： 数学与应用数学
论文提交日期： 2007年05月 论文答辩日期: 2007年05月
学位授予单位：

答辩委员会主席：
评 阅 人：

2007年05月

Dissertation Submitted to
Huangshan University
for
The Bachelor Degree of
Maths and Applied Maths

The Apply of Element method In Solving Physics Problems

By

Supervisor: Associate Prof. Xiang Mingyin

January 2007

黄山学院毕业论文

微元法在物理解题中的应用

摘　要

微元法是分析连续过程积累的一种方法，故在普通物理学中应用广泛．在进入大学学习之初，常常因从中学的恒力问题过渡到变力问题，时而思路混乱，于是牛顿采用“微元”方法处理分析物理现象，创立微积分学．本文追随着大师的思想，介绍物理解题所采用的微元法在力学和电磁学方面的具体的应用．

关键词：微元法，万有引力，牛顿运动定律，磁通量

The Apply of Element method In Solving Physics Problems

ABSTRACT

Element analysis is the process of continuous accumulation of a method, Therefore, in general physics widely used. At the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondary issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, So Newton used“element method”Dealing with the physical phenomena analysis, the creation of Calculus. This paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the Element method in mechanics and electromagnetic fields of science, the specific application.

KEY WORDS: Element method, Universal Gravitation, Newton’s Laws of Motion, Flux

目 录

第一章 绪 论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
第二章 微元法的定义及应用理论基础．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
§2-1微元法的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
§2-2微元法的应用理论基础．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3
第三章 微元法在力学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

第四章 微元法在电磁学中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
第五章 总结．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8．
参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9
致 谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10

iii

第一章 绪　论

　 “微元法”是在物理解题时所采用的一种特殊的分析方法．这种方法的精髓就是把确定的研究对象分割为无限多个无限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通过对所抽取的这一部分的研究，就可以认为是整体或全过程的性质和规律，它实质上是“从复合到单一，从单一到复合”的分析与综合思维方法，因此微元法具有广泛的应用性．

第二章 微元法的定义及应用理论基础

§2-1微元法的定义

所谓微元法就是指将连续的（线，面，体）看成无数个无限小（线元，面元，体元）的集合，整个物体的物理量就变为无限个小微元相应物理量的“无限积累”，从而将物理问题“翻译”成为数学问题的一种方法．微元法在某些文献中被命名为元过程分析法，它把一个极小的微元过程和一个大过程视为本质上的相同．只要分析透了微元的物理状况（实际上可推广到一切动态变化）及其边界条件的相互关系，就可以根据定积分去推倒全过程的基本规律．
在科学技术领域中，有大量的问题，定量求解它们的途径都可以归结为一种和的极限的运动，这种运算，经过数学抽象，就成为定积分微元法概念．这类问题，在力学中比比皆是，也就是说，在力学中，有不少的物理量，可以借助于微元法来计算其满足条件的数值大小或分析其作为变量的变化期间和变化规律，所以，定积分在力学中得到广泛的应用．
应用定积分理论解决力学实际问题的第一步是将实际问题数学化，这一步往往比较困难，而微元法（亦称为微元法分析法，元素法）恰是解决这一困难，实现这种转换的有力．
设求解的实际问题可化为在区间上的某个量，如果我们在具有代表性的任一小区间上，以“匀代不匀”或“不变代变”找到这个量的微元,则根据微元,则根据微分基本定理，这个量就可以应用定积分计算．显然，解决问题的关键是在微小的局部上进行数量分析，寻找并列出正确的微分式，故而这种方法称为微元法．

§2-2微元法的应用理论基础．
2-2-1 微元法的理论基础
我们知道，能够应用微元法求解的量应该具备下列条件：
（1）它是一个与变量的变化区间有关的量；
（2）它对于区间具有可加性，即如果把分成若干个小区间，则它能相应地分成若干个对应的部分量，且该量就等于所有部分量之和；
（3）部分量的近似值可以表示为，这样就可以用定积分来表示这个量．
将满足上述条件的量写成可运算的积分表达式的步骤可归纳为：
（1）根据问题的具体情况，选取一个变量（例如）作为积分变量并确定它的变化区间；
（2）将区间分成若干个小区间，取其中任一小区间并记作 ，求出相应与这个小区间的部分量的近似值，如果能近似地表示为x的一个连续函数与的乘积（这里与相差一个比高阶的无穷小），就可以将它记作为，即；
（3）以所求量的微元为被积表达式，在区间上作定积分得：
．
结果即为所求的实际量，根据所求问题的不同，它可以是一个具体的数值，也可以是一个函数．
作为微元法应用的实例，我们考察一个以速度定积分作变速运动的质点，欲求它在时间间隔内产生的位移的大小．
在这里，速度是一个随时间变化的量，因此求该质点在时间内产生的位移就不能冒失的应用这样的简单公式了，但只要我们注意到质点的速度是连续变化的，即它是时间的连续函数，在一段很短的时间内，它的变化很小，近似不变，这就为我们提供了以“不变代变”的条件，而且所取的时间间隔越短，这种近似代替的精确度就越高．
我们所求的位移具有可加性，即质点在时间间隔内的总位移等于每一个小区间的位移之和，这样就使它具备了用微元法求解的条件．具备了条件就可以着手解决问题了，首先“化整为零”，把时间区间用分点、、…、，分为段，而且满足，这样各段区间长为，，…，设质点在第个时间间隔内所产生的位移为，在这一短暂时间间隔内，质点的速度变化很小，可近似视为不变，因此质点在这一短暂时间内的运动就可视为匀速运动而利用公式求其位移了，即;把各个时间间隔内的
位移相加，即得，当，即可得到此变速运动的质点在时间内的位移，当全部的同时趋于0时，的极限存在，则此极限值就是质点的位移，也就是函数在区间 上的定积分．
由此，我们可以归纳出如下的解题步骤：
（1）由于质点的速度是随时间变化的，因此选取作为积分变量，其变化区间为；
（2）将分为若干个小区间，…，在任意小区间内，质点的位移，因为速度的变化是连续的，因此可以表示为一个连续函数与的乘积，此时可将它记作，即；
（3）以所求量的微元为被积表达式，在区间上作，对于具体问题，的积分后代入，下限即可得到运动质点在在区间上的位移．
上述步骤亦可规律化为：
（1）根据实际问题性质确定积分变量及其变化区间；
（2）将变量的变化区间划分为若干个小区间，求出每一个小区间内待求量的表达式，这就是所谓的“化整为零”；
（3）待求量在变量的变化区间内具有可加性，利用求和的方法将对应于每一个小区间的待求量的部分量相加，这就是所谓的“集零为整”，得到待求量的近似值；
（4）当每一个小区间的原宽度趋与零时，即可得到待求量的极限，也就是待求量的准确值．

2-2-2本文所涉及的物理学知识：
　　万有引力定律　质量分别是和的两个质点之间的引力为其中是作用在上的引力，是由指向的矢径．是万有引力系数；１９８６年国际科学联盟理事会科技数据委员会推荐的数值为；
　重力加速度；
牛顿第二运动定律；
　　水的静压力　 　为水的比重；　
功率　 由欧姆定律；　
功 ；
转动惯量 对于空间形体，绕,,轴及原点的转动惯量定义为
，
，
，
；
真空中的静电荷场强公式 ， 其中K是静电力常量；
， ，其中是电磁感应强度；
电磁感应定律 ， 其中磁通量．

第三章 微元法在力学中的应用

下面举例说明说明微元的具体应用
1 液体静压力
例1 如图（1）所示为一管道的圆形闸门（半径为3米）问水平面齐及直径时，闸门所受到的水的静压力为多大？
解：该圆的方程为 ，
由于在相同深度处水的静压力相同，其值等于水的比重与深度的乘积，故当很小时，闸门上从深度到这一狭小上所受的静压力为
从而闸门上所受的总压力为 图（1）
．
2 转动惯量
例2 计算半径为，质量为的均匀分布球体绕任一直径及原点的转动惯量．
解 在高等数学中对物体转动惯量的计算，是微分法在物理学中的重要应用之一．对于空间形体，绕,,轴及原点的转动惯量定义为
，
， (1)
，
．
在（1）式中或为质量元或体积元，或积分元．在不同的坐标系中有不同的表达式．为球体密度，一般为,,的函数，在本题中因质量均匀分布，故为常量．考虑到对称性，（球心在原点）应有，只要求出其中一个如，则，及即可得到．
对（1）式微分，有,它表示质量为的质量元绕x轴的转动惯量，()是dm到x轴的距离的平方，求出所有的 dm对轴的转动惯量，即得到整个球体的转动惯量．
在本题中，如用直角坐标系，则有,则由（1）式有

．
因，所以．
如用柱坐标系，有，则

．
如用球坐标系有 ,,有
．
在该问题中用球坐标系，计算较为简便．
然而，在物理学中，转动惯量的计算，往往不是通过计算三重积分的方法来进行的．如在本问题中通常以圆板的转动惯量（为圆板质量，为圆板半径）为基础，把球体看成是由许多薄圆板组成，并把任一薄圆板的转动惯量记为
, (2)
其中为薄圆板质量．求出所有的薄圆板的转动惯量之和技即得到整个球体绕直径的转动惯量．每一个薄圆板都绕同一轴线转动，且,将此式代入（2）式，注意到，有

有时，常常选取薄球壳，计算也非常方便，把球看作是由许多薄球壳所组成，由于薄球壳上的每一点到球心的距离都相同，则每一球壳绕其球心的转动惯量为
， （3）
且,将此代入（3）式有
，
因，故
．

第四章 微元法在电磁学中的应用

R
∽

3 功与平均功率
例3 在纯电阻电路图(2)中,已知交流电压为求在一个周期内消耗在电阻上的能量，并求与之相当的直流电压．
解：在直流电压下，功率，那么在时间内 图（2）
所做的功为现在为交流电压，瞬时功率为
．
这相当于：在任意一小段时间区间上，当很小是，可把近似看作恒为的情形．于是取功的微元,并由此求得
　．　
而平均功率则为
．
例4　如图（4）所示，某人用力转动半径为的转盘，力的大小不变；方向始终与用力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周的过程中该力做多少功？
解：　在转动转盘一周的过程中，力的方向时刻发生变化，但每一瞬时力总是与该瞬时的速度方向一致，即在每一瞬时都与转盘转过的极小位移同向，这样无数的极小位移，，，．．．，都与那一瞬时的力同向，因而在转动一周的过程中，力做功应等于在各极小段位移所做功的代数和，即
图（3）

．
4 场强
例5　如图（4）所示，均匀带电圆环所带电荷量为，半径为，圆心为，为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，，试求点的场强．
　解：　设想将圆环等分为个小段，当相当大的时候，每一小段都可以看作点电荷，有真空中点电荷场强公式可求得每一点电荷在处的场强为：
　　 ． 图(4)
　　其中为静电力常量．由对称性可知．各微元带电环在处的场强的垂直于轴向的　　　　　　　　　　　分量相互抵消，而E的轴向分量之和，即为带电环在P处的场强为：
　 ＝

．
例6　如图（5）所示，一无限长的形金属导轨，竖直放置且置于足够大的水平均匀磁场中，磁感应强度，导轨间距为，上方串一耐压力足够大的电容器，电容为，开始时不带电．另有一根质量为的金属棒，可无摩擦地沿导轨滑动而不脱落，设整个系统的电阻不计，金属杆从静止开始滑动，问棒下滑高度时的速度多大？
解：设金属杆运动到某一位置时速度为，此时棒的感应电动势，
对应电容器充电，电荷量为
　　如果换个角度考虑短暂时间，金属杆速度变化为,电容器又被虫微小电荷量，则有，充电电流为
　 ． 图（5）
其中a为此时棒的加速度，这时棒收到向上的安培力为
对棒，根据牛顿第二定律有即故
从上式中知，加速度大小不变，这表明金属棒在匀加速度下滑，当棒下滑高度时，
速度为．

第五章 总结

综上所述，在物理解题计算时，对一个具体问题，在确认可以用微元法求解时以后，一般可以按如下法则列出积分式子求解：
(1)选取相应的坐标系．由于变量的变化区间总是与坐标系的选取有着密切的关系，且坐标系选取恰当，能够简化求解过程，因此应当根据具体问题的需要选取适当的坐标系；
(2)选取适当的微元，将所求量的部分量根据物理规律表示为作为积分变量的一个连续函数与微元的乘积．
(3)以上乘积为被积表达式，在变量的变化区间内作定积分．
(4)按照积分法则，求解定积分即可得到所求之物理量，在求解时，若积分变量与被积函数的变量不相对应，应根据问题的物理内涵或各量之间的几何关系进行积分变量的代换后方可进行积分运算．

参考文献：
[1] 祝之光．物理学（上册）．高等教育出版社，
[2] 徐龙道．物理学词典．科学出版社，
[3] 华东师范大学数学系编．数学分析（上册　第三版）． 高等教育出版社，2001
[4] 吴传生．数学分析习题精解（上册）．中国科学技术大学出版社，2004
[5] 北京大学数学系．一元微积分．人民教育出版社，1996
[6] 漆安慎 ．力学基础 ． 高等教育出版社，1998
[7]陈秉乾等．物理学难题集萃．高等教育出版社，2001
[8] 原北京矿业学院高数教研组．数学手册．煤炭工业出版社，1992
[9]孙翔峰，霍中夫．劝学 ．人民日报出饭社，1987
[10]陈东旭 ．高考任我行 ．吉林文史出版社，2002

致　谢

本文的研究及工作是在项明寅副教授的关怀和悉心指导下完成的．在三年多的求学生涯中，项老师以其严谨、求实的治学态度，敏锐深邃的洞察力，高度的责任心和敬业精神，平易近人的工作作风，一直深深地影响和激励着我，使我在学习上和生活上受益匪浅．
感谢方辉副教授在学习和工作中的教导和支持，从他身上我获得了许多宝贵的知识和经验，同时也学到了更多为人处事的道理．
最后衷心的感谢对我寄予厚望、又给予我无限关怀的父母，在此论文脱稿之际，向含辛茹苦的父母表示由衷的感谢和崇高的敬意．

1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究
2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究
3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究
4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制
5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究
6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器
7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究
8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现
9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统
10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究
11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究
12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发
13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制
14. 基于单片机的自动找平控制系统研究
15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发
16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发
17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现
18. 一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制
19. 基于双单片机冲床数控系统的研究
20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制
21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制
22. 基于单片机的软起动器的研究和设计
23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究
24. 基于单片机的机电产品控制系统开发
25. 基于PIC单片机的智能手机充电器
26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究
27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究
28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制
29. 基于微型光谱仪的单片机系统
30. 单片机系统软件构件开发的技术研究
31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制
32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制
33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用
34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制
35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制
36. 基于单片机的数字磁通门传感器
37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究
38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究
39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制
40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪
41. 基于单片机的电机运动控制系统设计
42. Pico专用单片机核的可测性设计研究
43. 基于MCS-51单片机的热量计
44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站
45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究
46. 基于单片机的轮轨力检测
47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现
48. 基于单片机的电液伺服控制系统
49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制
50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究
51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究
52. 单片机控制的后备式方波UPS
53. 提升高职学生单片机应用能力的探究
54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究
55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究
56. 基于单片机的多通道数据采集系统
57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制
58. 基于单片机的红外测油仪的研究
59. 96系列单片机仿真器研究与设计
60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造
61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现
62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制
63. 基于单片机的气体测漏仪的研究
64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器
65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究
66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计
67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计
68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统
69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统
70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究
71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践
72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现
73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统
74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究
75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统
76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究
77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用
78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究
79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究
80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发
81. 基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究
82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究
83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现
84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究
85. 基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现
86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现
87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统
88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现
89. 单片机监测系统在挤压机上的应用
90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用
91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用
92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用
93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发
94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计
95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计
96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发
97. 锅炉的单片机控制系统
98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计
99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制
100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现
101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计
102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现
103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制
104. 基于ADμC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究
105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计
106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究
107. 单片机实现的寻呼机编码器
108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究
109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究
110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究
111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制
112. PIC单片机在空调中的应用
113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究
项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！
项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！
单片机论文，毕业设计，毕业论文，单片机设计，硕士论文，研究生论文，单片机研究论文，单片机设计论文，优秀毕业论文，毕业论文设计，毕业过关论文，毕业设计，毕业设计说明，毕业论文，单片机论文，基于单片机论文，毕业论文终稿，毕业论文初稿，本文档支持完整下载，支持任意编辑！本文档全网独一无二，放心使用，下载这篇文档，定会成功！

11