微积分试卷及标准答案6套.doc

微积分试题 (A卷)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 已知则对于，总存在δ>0，使得当 时，恒有│ƒ(x)─A│< ε。
2. 已知，则a = ，b = 。
3. 若当时，a与b 是等价无穷小量，则 。
4. 若f (x)在点x = a处连续，则 。
5. 的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x)在x0点可导，则______________。
7. 曲线y = x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为 。
8. 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产量是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)
1. 若数列{xn}在a的e 邻域（a-e,a+e）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{xn}必有极限，但不一定等于a (B) 数列{xn}极限存在，且一定等于a
(C) 数列{xn}的极限不一定存在 (D) 数列{xn}的极限一定不存在
2. 设则为函数的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点
3. （ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C) (D)
4. 对需求函数，需求价格弹性。当价格（ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10
5. 假设在点的某邻域内(可以除外)存在，又a是常数，则下列结论正确的是（ ）。
(A) 若或¥，则或¥
(B) 若或¥，则或¥
(C) 若不存在，则不存在
(D) 以上都不对
6. 曲线的拐点个数是（ ） 。
(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3
7. 曲线（ ）。
(A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线；
x
y
o
(C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，又有垂直渐近线
8. 假设连续，其导函数图形如右图所示，则具有( )
(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值
(C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值
9. 若ƒ(x)的导函数是，则ƒ(x)有一个原函数为 ( ) 。
(A) ； (B) ； (C) ； (D)
三．计算题(共36分)
1． 求极限 （6分）
2． 求极限 （6分）
3． 设，求的值，使在(-∞，+∞)上连续。(6分)
4． 设，求及（6分）
5． 求不定积分（6分）
6． 求不定积分（6分）
四．利用导数知识列表分析函数的几何性质，求渐近线，并作图。(14分)
五．设在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，试证：
(1) 至少存在一点，使；
(2) 至少存在一点，使；
(3) 对任意实数l ，必存在，使得。(12分)

微积分试题(B卷)
一. 填空题 (每空3分,共18分)
10. .
11. .
12. 关于级数有如下结论：
① 若级数收敛，则发散.
② 若级数发散，则收敛.
③ 若级数和都发散，则必发散.
④ 若级数收敛，发散，则必发散.
⑤ 级数（k为任意常数）与级数的敛散性相同.
写出正确结论的序号 .
13. 设二元函数，则 .
14. 若D是由x轴、y轴及2x + y–2 = 0围成的区域，则 .
15. 微分方程满足初始条件的特解是 .
二. 单项选择题 (每小题3分,共24分)
10. 设函数，则在区间[-3，2]上的最大值为（ ）.
(A) (B) (C) 1 (D) 4
11. 设,，其中，则有（ ）.
(A) (B) (C) (D)
12. 设，若发散，收敛，则下列结论正确的是( ).
(A) 收敛，发散 (B) 收敛，发散
(C) 收敛 (D) 收敛
13. 函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，是在该点可微的( )条件.
(A) 充分非必要 （B）必要非充分 （C）充分必要 （D）既非充分又非必要
14. 下列微分方程中，不属于一阶线性微分方程的为（ ）.
(A) (B) ，
(C) (D)
15. 设级数绝对收敛，则级数（ ）.
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 不能判定敛散性散
16. 设，则F (x)（ ）.
(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数
17. 设，则（ ）.
(A) (B) (C) (D) 0
四. 计算下列各题(共52分)
1. （5分）
2. 求曲线所围成的平面图形的面积. （6分）

3. 已知二重积分，其中D由以及围成.
(Ⅰ) 请画出D的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分）
(Ⅱ) 请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分）
(Ⅲ) 选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）

4. 设函数有连续偏导数，且是由方程 所确定的二元函数，求 及du .（8分）
5. 求幂级数的收敛域及和函数S(x).（8分）

6. 求二元函数的极值.（8分）
7. 求微分方程的通解，及满足初始条件的特解.(6分)

五. 假设函数在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导，且，记，证明在(a, b)内.（6分）

微积分试卷 (C)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 数列有界是数列收敛的 条件。
2. 若，则 。
3. 函数是第 类间断点，且为 间断点。
4. 若，则a = ，b = 。
5. 在积分曲线族中，过点（0，1）的曲线方程是 。
6. 函数在区间上罗尔定理不成立的原因是 。
7. 已知，则 。
8. 某商品的需求函数为，则当p = 6时的需求价格弹性为 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共12分)
1. 若，则（ ）。
(A) –2 (B) 0 (C) (D)
2. 在处连续但不可导的函数是（ ）。
(A) (B) (C) (D)
3. 在区间（-1，1）内，关于函数不正确的叙述为（ ）。
(A) 连续 (B) 有界
(C) 有最大值，且有最小值 (D) 有最大值，但无最小值
4. 当时，是关于x的（ ）。
(A) 同阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 等价无穷小
5. 曲线在区间（ ）内是凹弧 。
(A) (B) (C) (D) 以上都不对
6. 函数与满足关系式（ ）。
(A) (B) (C) (D)
三．计算题(每小题7分,共42分)
1． 求极限。

2． 求极限（x为不等于0的常数）。

3． 求极限 。

4． 已知，求及。
5． 求不定积分。
6． 求不定积分。

四．已知函数，填表并描绘函数图形。 (14分)
定义域

单调增区间

单调减区间

极值点

极 值

凹区间

凸区间

拐 点

渐近线

图形：

五．证明题(每小题6分,共12分)
1. 设偶函数具有连续的二阶导函数，且。证明：为的极值点。

2. 就k的不同取值情况，确定方程在开区间（0,）内根的个数，并证明你的结论。

《微积分》试卷（D卷）
一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：
1.函数在处的偏导数存在是在该处可微的（ ）条件。
A. 充分； B. 必要； C. 充分必要； D. 无关的．
2.函数在（1，1）处的全微分（ ）。
A．； B．； C．； D．．
3. 设D为：，二重积分的值=（ ）。
A．； B．； C．； D．．
4.微分方程的特解形式为( )。
A ； B ；
C ； D ．
5.下列级数中收敛的是（ ）。
A． ； B． ； C． ； D． ．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：
1. 。
2. ，则在区间[-2，3]上在（ -1 ）处取得最大值。
3. 已知函数，则= ，= 。
4.微分方程 在初始条件下的特解是: = 。
5.幂级数 的收敛半径是：= 。
三、计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，共40分）：
1.已知，其中f具有二阶连续偏导数，求。
2. 已知，求，。
3. 改换二次积分的积分次序并且计算该积分。

4.求微分方程在初始条件，下的特解。

5. 曲线C的方程为，点(3,2)是其一拐点，直线分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)，设函数具有三阶导数，计算。

四、求幂级数的和函数及其极值（10分）。

五、解下列应用题（本题共2小题，每小题10分，共20分）：
1. 某企业生产某产品的产量，其中为劳动力人数，为设
备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高？

2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性，而市场对该商品的最大需求量为10000件，即Q (0)=10000, 求需求函数Q ( P )。

《微积分》试卷（E卷）
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 设函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知在的某邻域内连续，且，则在处满足（ ）
A. 不可导 B. 可导 C. 取极大值 D. 取极小值
3. 若广义积分收敛，则（ ）
A. B. C. D.
4.
A． 0 B. C.不存在 D.以上都不对
5. 当时，是关于的（ ）.
A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小.
6.函数具有下列特征：，当时，
则的图形为（ ）。
x
y
o
1
x
y
o
1
x
y
o
1
x
y
o
1

(A) (B) (C) (D)

二、填空（每小题3分，共18分）
1. 。
2. 。

3. 已知存在，则 。
4．设，那么 。
5． 。
6．某商品的需求函数，则在P＝4时，需求价格弹性为 ，收入对价格的弹性是 。
三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）
1．
2．

3．

4．

5．求由所决定的隐函数的导数
6．已知是的原函数，求。

7．求由曲线与所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。

8．求曲线与直线所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小？

四、(A类12分) 列表分析函数函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
解：(1) 函数的定义域D:，无对称性；
(2)

(3) 列表：
x
(-∞，-2)
-2
（-2，-1）
（-1，0）
0
(0,+∞)
y'
＋
0
－
－
0
＋
y"
－
－
－
＋
＋
＋
y
↗,∩
极大值-4
↘,∩
↘,∪
极小值0
↗,∪

x
y
o

(4) 垂直渐近线：；斜渐近线：
(5) 绘图，描几个点

(B类12分)列表分析函数函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
解： ⑴ 函数定义域D:(-∞，+∞)，偶函数关于Y轴对称；
⑵

x
y
o
⑶ 列表：(只讨论（0,+∞）部分)
x
0
(0,1)
1
(1,+∞)
y'
0
＋
＋
＋
y"
＋
＋
0
－
y
极小值
↗,∪
拐点
↗,∩

极小值f (0) = 0；拐点（1,ln2）
⑷ 该函数无渐近线；
⑸ 绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）

五、（B类8分） 设连续，证明：

证明：令
只需证明（3分）

所以 （8分）
（A类8分）设在[a, b]上连续在(a ,b)内可导且

试证（1）在(a ,b)内单调递减
(2)
证（1）

由知单调减,即在(a ,b)内当时有又可得
.即在(a ,b)内单调减.

又由单调减 知,于是有

《微积分》试卷（F卷）
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 设函数在处可导，则（ ）
A. B. C. D.
2. 当时，是关于的（ ）.
A．同阶无穷小. B．低阶无穷小. C．高阶无穷小. D．等价无穷小.
3. 若广义积分收敛，则（ ）
A. B. C. D.
4.
A． 0 B. C.不存在 D.以上都不对
5.函数具有下列特征：，当时，
则的图形为（ ）。
x
y
o
1
x
y
o
1
x
y
o
1
x
y
o
1

(A) (B) (C) (D)
6. 6.设在内二阶可导，若，且在内有则在内有（ ）
A. B.
C. D.

二、填空（每小题3分，共18分）
1. 。
2． = 。
3. 已知存在，则 。
4．设，那么 。
5． 。
6．某商品的需求函数，则在P＝4时，需求价格弹性为 ，收入对价格的弹性是 。
三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）
1．

2．

3．

4．
5．求由所决定的隐函数的导数
6．已知是的原函数，求。
7．求由曲线与直线所围成的平面图形的面积。

8．求由曲线与所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。

四、(12分)列表分析函数函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。

五、（B类8分） 设连续，证明：

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