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数形结合中“数”与“形”的先与后 - 成长博客 作者： 日期：14 个人收集整理 勿做商业用途数形结合中“数”与“形”的先与后十月里，在一次小学数学教师赛课活动中，有幸观摩了极具特色的较复杂的分数应用题一课.执教者那风趣的语言艺术、富具挑战性的教学思想,极大地激发了学生的学习热情、唤起了学生的求知欲望。老师导演，学生独立解题，台上台下都是学生学习交流的场所。展示不同的解题过程,讨论与争论,质疑与解惑，场面十分热烈。老师“退居二线,时而鼓励，时而提问.整节课的问题全部由学生相互“搞定”,从而轻松愉快地完成了本节课的学习.我们被此课深深吸引，感受很深，觉得有很多地方值得好好学习借鉴。但是，细细想来,仍然存在值得商榷的地方。一、商榷的主要问题。1、是否应先“数”后“形”,突出逻辑思维训练。从本节教学过程看出，新课一进入，老师即让学生“先画图再列式”，充分突现了线段图的作用，问题迎刃而解。但，这也是本课值得商榷的主要地方。笔者认为当尝试题形成后,完全可以先让学生直接列式解答在前,作图说理再后。那么，为什么这样处理呢?一是从学生已有思维能力看.在整个前五年的学习中，已进行过大量的形象思维训练和逻辑思维训练.在分析方法上已有逻辑分析的模式和能力基础。二是从教材的编排顺序看.在本册的前两个单元里，学生已经学习了分数乘、除法基本应用题和乘除混合运算的应用题，对于运用乘法意义解答基本的乘除法应用题已相当熟练.乘法意义的深刻理解和应用该意义解题的技能已为学生用逻辑思维尝试解较复杂的分数应用题提供了可能。三是从本课的新课引入过程看。老师把教材基本的复习题转化为现场编题，即“电教室里大约有300人，其中学生约占总人数的，学生约有多少人?”，学生不假思索的列出了算式300。接下来，由学生改变问题成“求老师有多少人。”抽象列式的时机已成熟,“跳板”已设好，此时不用“先作图再列式”。相信多数学生能够“迁移”出300300，也肯定有部分学生会列出300（1)等算式。当然,学生们在研究讨论解题方法及道理的过程中,肯定有部分学困生特别感到是第二种解法较难理解,会有“言欲答而心不通的情况产生，。此时正好抓住时机让学生在解难释疑的过程中引出线段图，利用数形结合的方法,一是引出或者说明其它解法,沟通联系；二是纵向比较，抓住“简”与“繁的生长点,找到解题的关键所在。四是从思维能力培养的要求看.小学生的思维能力发展处在以具体形象思维为主,逐渐过渡到以抽象思维为主的阶段。到了高年级他们的逻辑思维往往也需要具体形象作支撑。在这里使用线段图导出算式，其实仍是以直观形象思维为主，而不是“支撑”的问题,长此以往似乎会阻滞学生逻辑思维的发展.2、课末小结是否更应以“数为主抽象化。在小结、归纳分析方法时，老师似乎不应该顺着学生的回答，单方面强调“线段图是个好朋友”。而应指出“可以用作图的方法帮助分析。小结的重点应放在抽象“建摸上.针对第二种解法，进一步，突出“抓住单位一的量 “关键看所求问题占单位1的几分之几，再用单位1的量乘以分率，如这个分率未知，应先求出来。应引导学生离开线段图抽象出一般的逻辑分析方法,建立起相应的数学模型,为后续学习较复杂的乘、除法应用题奠定逻辑思维的基础，以免老是停留在作图分析上。但遗憾的是，教者在这里，淡化了“建摸”环节，失去及时抽象概括的大好时机。单从本节课学生会解题来看，确实十分顺利，但不见得是真正落实了双基，可能影响后继学习及逻辑思维的发展。我想，教者淡化“建摸这一抽象概括环节，以线段图作为本课的主要分析方式，是否怕背上“传统”二字。“教改”到今天，我们已清楚的认识到，传统教学中的有效方法怎能抛去。逻辑思维毕竟是科学研究的重要方法，数学模型与数学概念一样,是逻辑思维的细胞。建立起分数应用题的分析模式,就为离开线段图利用抽象思维分析、推理解决问题提供了方法基础。所以在本课的小结中停留在“线段图是我们的好朋友”实际上是降低了小结功能之归纳、抽象、概括的作用,同时使分析方法单一的落脚到形象思维上。二、数形结合中“数 与“形”谁先谁后？已知信息告诉我们，形象思维和逻辑思维是两种不同的，又相互联系的思维方式，它们没有谁“高”谁“低”之分，都各自有从低级到高级逐渐发展的过程。逻辑思维是以概念为支柱间接反映事物的本质。是通过分析、综合、比较、抽象、概括去把握概念，并应用概念进行判断、推理，有根有据的去分析新的问题。形象思维是以直观形象为支柱的思维,是运用事物的形象进行分析、综合、比较、抽象、概括去把握知识的思维。由于形象思维，依靠表象进行联想，思维常常具有跳跃性，往往能产生奇特想法,有利于创新.无疑应在小学阶段大力开展训练,开展这一思维训练的突破口是“数形结合”。 同时“数形结合”的方法也起着联系形象思维和逻辑思维的桥梁作用，多数数学知识都是在数形结合的基础上逐步抽象概括,上升为理性的。“数形结合”体现在课堂上,多数表现在动手操作实物以及用各种图形说明、说理、分析解题上.依靠图形的直观性分析和解决问题较容易,就在于抽象的数量关系形象化了.因此，不少教师在教学中逐渐形成了审题作图列式这样一种教学模式.当然，这种模式无疑为课堂教学带来了可喜的收获提高了解题的正确性，灵活性，学生的形象思维能力得到发展.但应认识到，这种模式是一把“双刃剑”，如使用恰当，确实能促进学生的形象思维水平提高，反之则会抑制学生逻辑思维的发展。我们应看到,形象思维具有跳跃性，有的思维过程可能别人不理解，有的不一定合符实际，有时具有不确定性，还需作逻辑论证；问题解决后,思维过程的阐述往往也要用到逻辑思维的方法。如，“歌德巴赫猜想”称景润不是花了大量时间、精力去进行逻辑证明吗。又如，本节课中,有的学生列式为：30043。学生问：这个3是怎么来得?学生还得从算理上解释。由此说明两者思维形式都很重要，不可偏废。数学的学科特点和学生的心理特点，决定了这两种思维方式应紧密结合，协调发展。但高年级是小学的最后阶段，应逐渐加大逻辑思维培养训练的力度。我们看到，整个小学阶段，从直观教学发展而来的形象思维教学训练的手段大量应用于课堂教学中，到高年级了也常是如此，这虽然对提高学生的形象思维水平极为有利，但小学生逻辑思维的培养与训练是一个普片存在的薄弱环节和教学难点，需要花大力气去教学.也许有的老师满足于学生会解题即可,而忽视对学生有目的的进行逻辑思维训练，应该引起我们足够的重视。怎样才能做好这两种思维的协调发展呢？很有必要探索研究“数 与 “形”先与后的问题。我认为可从如下角度考虑。看教材较“新旧”程度。较新内容先“形后“数”,后继教材先“数”后“形”.如统编教材十一册一个数乘以分数的意义，是较新教材，先“形”后“数”抽象意义较好；而上面提到的较复杂的分数应用题一课是后继教材,完全可让学生利用“迁移规律”先“数”后“形。看年级高低。中底年级学生心理发展的特征决定了他们的思维处于以具体形象思维为主，逻辑思维开始萌芽的阶段，因此便于先“形后“数”.但应注意在利用“形”学习知识的过程中应时时地、适当地逐步归纳上升到理性认识，为逻辑思维作准备。中高年级学生逻辑思维力已有一定程度的发展,应逐渐过渡到先 “数”后“形”，把形象真正放在“支撑”地位。看问题的难易程度。较易内容，先“形后“数”；较难教材,可先“数”后“形”。看学生的层次性.较差学生，可先“形”后“数;较好学生可先“数”后“形”.看思维的发散性。发散思维在促进创新性思维的发展过程中具有不可代替的作用。数形结合往往会激励学生产生发散思维。经过长期发散思维训练的同学的解题方法多样，思维灵活多变，往往在发散的基础上产生出奇特的思路，为实现对学生的发散性训练,“形”与“数”可以交替出现。例如：“一本书80页，王平第一天看了它的，第二天看了余下的，第三天应从多少页看起？,此题对于初学较复杂的分数应用题的学生来说是较难的。老师可先让学生抽象列式,学生列出了：A、80=20（页），（8020）=20(页），20+20+1=41（页）; B、80+（1）+1=20（页）。再让学生作线段图分析，结果有学生得出： 802+1=41(页）看学生思维的个性品质。从教师角度看问题，就要考虑学生思维发展的个性差异。如有的学生逻辑思维能力较强，有的学生形象思维较优.教学中既要照顾到形象思维发展较好或较强的学生；也要照顾到逻辑思维发展较快或较优的学生;同时也不要忘记这两种思维能力的发展都较差的学生。因此在教师经过较长时间的数形结合地教学后，可放手让学生自由选择 “数”与“形的先与后，或者二者任选一。如在学生作业的要求中，老师可提出“某题作图分析再解答”；“某题先解答再作图说明正确性;“某题自选方法解答”。如长期坚持训练，学生的思维将可能达到较高境界.总之,数形结合中 “数与“形”的先与后，应根据学生思维的发展特点而定，根据教材的阶段性而定，目标仍是瞄准形象思维和逻辑思维相互促进、协调发展，同时让具有不同思维特征的学生有个性的发展。湖北省优质课评比录像课观后感悟(一）在小学数学教学中渗透数形结合的思想对湖北省武昌水果湖二小易玲老师执教的分数除法的微格评议教学实录：师：今天希望小学的小伙伴们正在为秭归脐橙设计包装纸呢，瞧，第一组的设计师们正遇到了问题。（课件出示问题：我们将一张长方形纸的4/5 平均分成两份，在其中一份画上了同学们设计的秭归脐橙图标，你知道这一份是这张包装纸的几分之几吗？)师:谁能用简洁的语言来说说这个问题？生：一张长方形纸的4/5 ,把它平均分成两份，求一份占这张包装纸的几分之几？师：同意吗？生:（齐）同意.师：怎样列式呢？生：4/5 2=2/5 师：哦，你已经计算出结果了！（板书算式）同意他算的这个结果吗？生：(齐）同意。师：你们都认为是2/5 ，那2/5 是怎样算出来的?老师请四人小组的同学利用我们学过的知识或方法来进行实验，也可以借助手中的材料，注意实验时记下各自不同的算法。小组活动开始！生小组活动，师巡视辅导.师：哪个小组先来汇报?到前面来！生：先把这张纸平均分成5份，找出这样的4份，把空白的一份折起来,然后把这4份对折，对折之后再摊开，这样的2份就是2/5 .师：这样的2份是？生：这样的1份是2/5 。师：你怎么不把这一份用颜色标出来？这样我们就看得更清楚些。哪个小组和他们的想法一样,并且又涂了颜色的？请你说!生：我的想法和他们不一样.师:你是怎么想的？生：把这张纸平均分成5份，4/5 就是其中的4份，把4个1/5 平均分成2份,每份是2个1/5 ，也就是2/5 .师：其实你的想法同他们是一样的，只不过他们没有涂颜色,我们不能看得更明了些.老师把你们的想法再演示一遍，好吗?（课件演示)师:把咱们这么好的想法用算式表示出来吧：4/5 2=2/5 ，这里的2是怎么算出来的？（板书算式)把4个1/5 平均分成2份，每份是2个1/5 ,也就是2/5 。师：板书4/52=（42)/5=2/5师：其他组还有没有别的想法？生:把1/5 折到后面，再把4/5 横着对折，用红色的彩笔涂出其中一份。师：我想问问你了，涂色的部分是4/5 的多少呢？生:（齐）1/2 。师：那是这整张纸的多少呢?生：2/5 。师：老师也把这种想法演示给大家看看吧,（课件演示)多好的想法！我们把这种想法也用算式表示出来，把4/5 平均分成2份，每份是4/5 的生:1/2 。师：求4/5 的1/2 可以怎样算？生：4/5 1/2 师：还有谁想说？生：4/5 1/2 师：那4/5 2 我们也可以这样算（板书)4/5 1/2 =25 。还有别的算法吗？师：看看这两种算法，：一种是将4个15 平均分成2份，每份是2个15 ，也就是25 ；第二种是把45 平均分成2份，每份是45 的12 。最后的结果都是25 ,这里的两种算法都挺好。同学们就是聪明，自己动手折一折、算一算就帮助小设计师们解决了问题.看，这就是设计的图标（课件演示），占整张包装纸的生:（齐)2/5 .教学评议:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。虽然数学得到了很大的发展，但是数与形仍是数学研究的两大对象。它们往往紧密联系,相互补充，在一定条件下可以相互转化。数形结合的思想体现了抽象思维与形象思维相互补充。在小学的计算教学中恰当的应该用数形结合的思想能清楚的揭示计算的道理,拓宽学生解决问题策略。因此在小学阶段渗透数形结合的思想对学生的现实学习和继续学习都有着很重要的意义。分数除法的法则实质上体现了除法与乘法相互转化的关系，对于学生来说是比较抽象的。在教学中为了突破教学的难点,使学生能够真正的理解分数除以整数计算法则的算理,易老师启发、组织学生动手操作“以形论数”，通过对长方形纸的两种不同的平分方式,很好的揭示这一道理.“以形论数”的核心是将形的变化抽象为数学符号.在学生得出4/52=2/5，且用图形验证出其结果正确后，教师很恰当的提问：“我们这个分子2是怎么算来的呢？”“我们如何用算式表示呢？”、“我们把这种想法也用算式表示出来,把4/5 平均分成2份,每份是4/5 的1/2”“求4/5 的1/2 可以怎样算?，这样就把形和数紧密地联系起来，将形转化为数学符号。数学实际上是一个翻译的过程，将语言翻译成数学符号，或将图形翻译成数学符号，或者语言翻译成图形。易老师这节课好就好在,先把文字转化成图形,然后把图形转抽象为数学符号,让学生体会到这种数与形的结合浅谈“数形结合思想”在数学解题教学中的应用数形结合思想是一种重要的数学思想，通俗地说就是代数与几何相结合的思想。著名数学家华罗庚指出：“数缺少形时少直观，形少数时难入微。”这句话说明了“数和“形是紧密联系的。我们在研究“数的时候，往往要借助于“形，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数。 纵观近年来的中考，熔“数”和“形”于一体的试题屡见不鲜。目前我们使用的新课本，不再把这句话说明了“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候,往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”. 纵观近年来的中考,熔“数”和“形于一体的试题屡见不鲜。目前我们使用的新课本,不再把数学课划分为“代数、“几何”，而是综合为一门数学课，这样更有利于“数与“形”的结合，因此数学教师在教学中要做好“数与“形关系的揭示与转化，运用数形结合的方法,帮助学生类比、发掘，剖析其所具有的几何模型，这对于帮助学生深化思维,扩展知识，提高能力都有很大的帮助。 综合教学内容，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行数形结合思想的教学,使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，是我数学教学着力追求的目标。为培养学生在解决数学问题中熟练运用数形结合的方法解决问题，我从以下几个方面入手的: 1、在教学过程中适时渗透数形结合思想。 一方面要尽量摆脱对代数问题的抽象讨论.更多地把代数里的东西用图形表示出来。如相反数、绝对值的几何解释，乘法公式的面积法的验证将较难、抽象的概念、定理具体化。另方面，在几何图形的一些基本性质的教学时，多让学生动手量一量，自己发现图形中的数量关系,对一些特殊的几何图形,还可以赋值研究. 2、通过典型例题的分析讲解突出数形结合思想的指导。 例1二次函数y=ax2bxc的图象大致如图（1）所示，试确定a、b、c与b24ac的符号。 二次函数y=ax2bxc（a0)中的a、b、c决定函数的形状和位置，判别式的符号把抛物线与x轴的位置关系和一元二次方程的根联系在一起,体现了数形结合的思想。 图（1）图（2） 例2已知a、b、c、k均为正数，且a2+b2=c2，c=a2求证：ab=ck 分析不难发现a2+b2=c2的形式符合勾股定理，故可构造RtABC（图4）使BC=a,AC=b,AB=c，作CDAB于D，则c=a2与c=a2比较可知：CD=k，SABC=ab=ck，ab=kc 这道题借直角三角形的性质，使解答简捷、灵活、流畅，体现了数形结合之优越，激发了学生兴趣，增强了用数形结合思想指导解题的意向。 解题中，还可以有意识地将代数方法与几何方法并用，以增强数形结合意识. 例3解方程组 2x-y=1 3x+y=9 先要求学生用一般解方程组的方法求解。 再要求学生把每个一元二次方程转化为一次函数关系式，并在平面直角坐标系中画出每个函数图象，用交点坐标求方程组的解. 3、精选一些练习题，让学生借助几何图形的性质解决代数问题,或运用代数方法解决几何问题，或将几何、代数的方法并用，让学生在训练中逐渐领悟数形结合思想的实质。 例4数a、b、c在数轴上对应的位置如图，试完成下列的计算，判断或作图. a01bc a+b的符号 cb的符号 abc的符号 比较c和a的大小 比较和的大小 比较c2和a2的大小 化简a-b-a 化简a+c+ba 若数d满足a+c+d=0，试在数轴上标出d的位置 例5.若函数图象y=ax2bxc如下列各图所示,试分别决定a、b、c及的符号. 例6矩形ABCD中,AB=10cm，BC=8cm,O是以BC为直径的圆,点P在AD上运动(不与A、D重合），BP交O于Q,连线CQ，设线段BP的长为xcm，CQ的长为ycm，求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围. 4、把教材中渗透数形结合思想的内容系统化 如数轴的引入为初一至初二的学生形象地研究有理数，进而研究实数提供了工具。 七年级下册“变量间的关系”，和八年级上册“平面直角坐标系”，明确了平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的一一对应关系，并且研究了坐标符号与点的位置的关系及平面内两点间的距离。 利用函数图象直观的解决一些实际问题，拓宽了数形结合的教学. 动态问题是今后数学经常研究的问题，用函数解决一些简单的动态问题是常用的方法. 数形结合思想和其他各种数学思想一样，渗透在整个教学内容之中。学生对数形结合思想的掌握，要经历从模糊到清晰的阶段，教学中要根据各年级学生的实际水平和个别差异，使他们萌发意识-形成意向掌握深化,在数学思想方法的发展上更深入一步本文为互联网收集,请勿用作商业用途个人收集整理，勿做商业用途数形结合思想在小学数学中的应用 “数形结合”我是这样理解的：“数”是指课程中包括数学思想、数学原理、数学法则等在内的所有的知识与技能；“形”是指与知识、技能相关的的各种教具、情景等；“数形结合”即把教具运用、情景设计渗透到数学知识与技能的教学中去，并在整个过程中发挥学生的主动精神,增强学生的学习兴趣，提高学生思维水平。实践证明,数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展,全面提高学生素质的重要方法之一,在数学教学中有至关重要作用和地位. 一、数形结合是激发学生求知欲，引起学生学习兴趣的有效手段。 学生对学习的需要和兴趣是调动学生积极学习的动力。数形结合，创设与知识信息相关的各种情景，可激发学生学习的浓厚兴趣，产生学习热情。例如:在教学“比例尺”时，老师先出示一张我们国家的全国地图,指出我国面积约有960平方公里,从东到西最长的距离有5500千米，还有辽阔的海域,是世界上的大国。正当学生以祖国疆域的辽阔而感到自豪时，老师话锋一转：“这么广大的疆域怎么能画在一张纸上呢?一语激起千层浪，学生强烈的好奇心和求知欲被调动起来，教学过程在轻松愉快的气氛中自然而然的继续。 又如：在教学平面图形的时候，我布置学生自己复习我们所学的平面图形有哪些,各是什么样子的，有什么特征？刚一开始,学生们非常投入的高声读起来，不一会儿，就各自为政，注意力就从当前的学习任务上转移开来。这时候我发现这个苗头,就及时调整了任务，同学们,我都熟悉了那些平面图形,你能否用这些图形组成一幅画哪？ 大家动手拼一下，看看谁拼的画最美丽,然后拿到前面来展示一下，并且向大家介绍你所拼组的图画有哪些平面图形组成？学生的兴趣立刻被激发起来,不一会儿,学生的作品就完成了，有的用三角形，长方形，圆形,正方形拼成了一把宝剑：有的组成了一所学校;有的组成了一艘轮船；还有的组成汽车，大炮.真是五花八门，丰富多彩。 在此同时,学生加深了对这些平面图形的认识，圆满地完成了学习任务. 二、数形结合是培养学生的思维能力，帮助学生解难释疑的良好方法。 数形结合解题，实际上是一个“数”与“形”互相转化的过程，即把题目中和数量关系转化成图形,将抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步转化成算式，以达到问题的解决。例:某校开展第二课堂活动,参加课外天文小组的共有80人,其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3.问后又加入男生多少人？先把题中的数量关系化成图形如下： 再从图形的观察分析可以知道：若把原来的总人数80人看作5份,则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为65=1份，得加入的男生为805=16（人)，从这题不难看出：“数”、“形”互化的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程.由于抽象思维有形象思维作支持,从而使解法变得十分简明扼要而巧妙. 三、数形结合是将智能教育和情感教育有机结合的重要途径. 例：在“分数的初步认识”的教学中，老师设计了如下的练习题： 中秋节,小豆和爸爸、妈妈一起吃月饼，妈妈把一个月饼平均分成10块，小豆吃了4块。 然后逐步揭示以下各题:(1）小豆吃了这个月饼的几分之几？（2)如果把剩下的月饼平均分给爸爸、妈妈吃，他们各吃这个月饼的几分之几？（3）小豆吃得多，还是妈妈吃得多?（4）如果你是小豆，该让爸爸、妈妈吃得多,还是自己吃得多?（5）那么该怎样分才可以使爸爸、妈妈吃得多些，而他俩又吃得同样多？这里，题材（1）是基本题；题（2）就发展了，要从整体中减去它的4/10，再把余下的6/10平均分成两份，求出一份是多少，如果列式计算是（14/10）2，学生是不可能算出来的；题（3)是比较4/10与3/10的大小，也没有学过,现在借助生活经验,将“数”与“形”结合起来，运用形象思维，学生对（2）（3）两题作出正确的回答，而且思维活跃,兴趣盎然.教学至此，应该说知识与能力的教学目标已经完成，但是教师进一步提出问题(4），使学生受到怎样对待长辈的教育.题（5）既是题（2）情节的必然发展，在智力发展的要求上又比较高,学生思维有些困难，但通过小组讨论、独立思考、比比划划，最终得到了“小豆吃了这个饼的2/10,爸爸、妈妈各吃了这个饼的4/10的正确答案,从中体验成功的喜悦。 从上题的设计和分析过程中我们不难看:“数”的思考、“形的创设，既有效地提高了学生的智力水平，同时,又融情于景,恰到好处的进行了情感教育。 总之，在小学数学教学中，数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化,不仅有利于学生顺利的、高效率的学好数学知识,更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效.最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识,形象化具体化，使得数学教学充满乐趣，相信巧妙地运用数形结合，一定会引导学生由怕数学变成爱数学。