整数根与有理根-.doc

一元二次方程(四） 整数根与有理根
A卷
1．已知k为整数，且关于x的二次方程有两个不等的正整数根，则k = _________。
2．设一元二次方程的两根均为整数,且两根同号，则a = __________。
3．方程 （x— a ) （x – 8 ) – 1 = 0的两个整数根，则a = __________。
4．若p，q都是正整数，方程的两根都是质数，则2p + q = ________。
5．已知p,q为自然数，方程两根都是质数,则p+q = ________。
6．若p是质数,且方程的两根均为整数，则p = ______.
7．设方程的两根均为正整数，若p + q = 28，则=___________。
8．如果a为有理数，要使方程的根总是有理数,则b的值应为____________。
9．设关于x的二次方程当a______时，此方程至少有一个正整数解；当a_______时，此方程有两个正整数解;当a__________时，此方程有两个负整数解。
10．对于整系数一元二次方程有有理根的充要条件是________;若a，b，c均为奇数，则方程_______________，若a，b为偶娄，c为奇数,则方程___________，若此方程有有理根p/q(p,q互质)，则p，q，a，c之间必有关系______________；若a〉0且不是完全平方数，则方程有______。

B卷
一、填空题
1．若k是自然数,且关于x的二次方程有两个正整数根，则

2．两个质数p,q恰是整系数方程的两根，则
3．若二次方程至少有一个整数根，则自然数a = ____。
4．若正整系数二次方程有相异的两个有理根p，q，且p〉q,又方程
与方程有一公共根，则方程的另一根为___________。
5．设a,b,c为三角形ABC的三边，且满足：（1）a 〉 b 〉 c;（2）2b = a + c；(3） 则整数b = __________.
6．象棋比赛中每个选手都和其他选手恰好比赛一局,每局赢者得2分，输者得0分,平局各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数情况分别是1980、1983、1989、1991,经核实确有一个同学统计无误，这次比赛中有_____名选手参加比赛。
二、选择题
1．设p是质数，如果方程的两根均为整则，则（ )
A．0 〈 p 〈 10； B．10 〈 p < 20; C．20 〈 p 〈 30； D．30 < p < 40。
2．设m，n为整数,则方程和方程必定( ）
A．至少有一个有整数根； B．均无整数根；C．仅有一个有整数根；D．均有整数根。
3．关于x的一元二次方程（m、n都是整数）如果有一个整数根，则对它的另一根所作的如下断言中正确的是（ )
A．不是整数;B．一定是整数；C．一定是奇数；D．一定是偶数。
4．若方程有整数根，且m、n为整数，则的值有（ ）
A．1个； B．3个； C．5个; D．无数个
三、解答题
1．若x，y为正整数，使得能被2xy整除,证明：x为完全平方数.

2．M为何整数时，能分解成两个连续自然数之积.

3．已知方程及分别各有两个整数根且两根均同号,
求证：b–1 ≤ c ≤ b + 1 .

答案
A卷
1．原方程化为[(k+1)x — 6][（k — 1)x – 3 ] = 0,
∴
2．—2;
3．8；
4．1997
5．409
6．设原方程的两根，则
∵p为质数，故中有一个是p的倍数,
设=kp（k为整数），又
∴
∴即
当k=3时,p=37,∴p = 37.
7．29；
8．1；
9．原方程变形为[（a—1)x – （2a+1)］（x-a)=0
当a=1时，原方程只有一个根x=a；
当a≠1时,其二根为因此，
（1）当a为任何正整数时，方程至少有一个正整数根，
（2）要使方程二根均为正整数,由于

所以，当a为正整数,只要3能被a—1整除，则是正整数,
故只须取a=2或a=4即可,
当a=2时，方程有两个正整数根
当a=4时,方程有两个正整数根
（3）当为负整数时，由a—1<0, 2a+1〈0,
∴为正数，
∴无论a取何值，方程两根不会是负整数。
10．
=是一个完全平方数;
无整数根,p/c且q/a；有共轭无数根
B卷
一、填空题
1．设α、β是方程的两个正整数根，
则
由于α、β是正整数，故αβ也是正数,从而k=2，
则αβ=2且α+β=3=
故p=3,
从而
2．由韦达定理,p+q=99，由于p,q是质数，
故p,q中必有一个为2，要计算的代数式关于p,q是对移的，
不妨设p=2，从而q=97，∴
3．∵原方程至少有一个整数根，
故=为完全平方数，
设(m为自然数）则代入原方程,得
解之得

∵中至少有一个整数，∴m | 4或（m+1）｜4．
又∵m为自然数，∴m=1，2，4或m+1=2，4。
∴m=1,2,3，4，从而a=1，3，6，10。
4．设公共根为a，则
∴（p – q ）a + 2 (p – q ) = 0
∴(p – q ）(a + 2) = 0
∵p 〈 q, ∴p – q ≠0，即 a + 2 =0，
∴a = -2，代入到得

又∵有相异二有理根p，q
∴p + q =∴m=8，而
=为正整数,且
=
为完全平方数,所以 4 – n = 1，所以n = 3。
由于

∴
设方程的另一根为β,则（—2）β=—1，∴β=
5．由条件（2)、(3)可得

又∵a〉c>0，∴a，c是关于x的二次方程
的两个不等正根，从而
解之得
∵b是整数，b〉0，∴即b=5.
6．设共有x名选手参加，依题意可得
∵x是正整数，且大于1,所以x, x –1是两个连续的正整数.
不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，
故得分总数只能是1980，则x（x-1)=1980，解之得(舍去），
故共有45名选手参赛。
二、选择题
1．由已知得=为完全平方数，因为p是质数，
故p /（p+4×580), ∴p / 4×580，但4×580=
(1）若p=2,则p（p+4×580)= ×11611非完全平方数，不合；
（2)若p=5,则5（5+4×580）= ×465= ×93非完全平方数，不合；
(3）若p= 2q，则2q（2q+4×580）=2(1+4×20)= 2×81=2×为完全平方数，故应选C
2．对于两个方程来说，=4[5],
而5的个位数字只能是9或5,
故5的个位数字只能是0或5。
故为5±3的个位数字只能是2,3，7，8之一,
而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1,4，6,9之一,
∴当m，n为整数时,5±3均不是完全平方数,
于是，这两个方程均无有理根，当然它们也均无整数根,故应选B

3．B
4．设方程有整数根,则=mn>0，=m+n〉0，
故这两个根均为正数。
又其中均非负，
而2分为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0。分别可解得

∴m·n的值仅有3个，故选B
三、解答题
1．∵能被2xy整除,
则有=2kxy（k为整数）整理成关于y的二次方程：
（1）
由题设,此方程有一根为整数，由韦达定理，另一根为满足=2kx-
故也是整数,因而方程（1）有两个整数根，于是其判别式
应为完全平方数.
由于x和互质，故必为完全平方数。
2．设对某个自然数k≥0，有
将此式整理成关于m的一元二次方程，得 （1)
因为m为整数，k为自然数，故（1)的判别式

必为完全平方数，再设=(p为自然数)，
则=0 (2）
为使方程（2）的根为自然数，须使(2）的判别式
为完全平方数,
又设（q为自然数），则
（q+p）（q-p）=920 （3）
因为q+p>q-p〉0，q+p与q—p同奇偶，即它们均为偶数，从而

解之得：

把p的值代入（2)求得k的值，再把k值代入（1)可求得m值,
从而即得m=-1，2，6，—13。
即当m=-1,2，6，—13时，能分解成两个连续自然数之积
3．设,分别是两个方程的根，
先证假设不成立，由知，
而，与>0矛盾，故
又由于c – (b — 1） =
∴c ≥ b – 1
由方程讨论可得