系列材料之一基本知识篇[1].doc

个人收集整理 勿做商业用途高考数学考前必看系列材料之一基本知识篇一、集合与简易逻辑1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如:与及2。数形结合是解集合问题的常用方法,解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决；3。一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4。判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法:(1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断,若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；6。（1）含n个元素的集合的子集个数为，真子集（非空子集）个数为1；（2） （3)二、函数1.复合函数的有关问题(1）复合函数定义域求法：若已知的定义域为a，b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式ag（x）b解出即可；若已知fg(x)的定义域为a,b,求 f（x）的定义域，相当于xa,b时,求g(x）的值域（即 f(x）的定义域）;研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。（2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;2。函数的奇偶性（1）若f（x)是偶函数，那么f(x）=f（x)=;（2）若f（x）是奇函数,0在其定义域内，则(可用于求参数)；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x）f（-x)=0或（f（x）0）； (4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；(5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性)（1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；（3）曲线C1:f(x，y）=0,关于y=x+a(y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f（ya，x+a）=0(或f（y+a,x+a）=0）；(4)曲线C1：f（x，y)=0关于点（a，b）的对称曲线C2方程为：f（2ax，2by）=0；（5）若函数y=f(x）对xR时,f（a+x）=f（ax）恒成立，则y=f（x)图像关于直线x=a对称；（6）函数y=f（xa)与y=f(bx)的图像关于直线x=对称；4.函数的周期性（1)y=f（x）对xR时，f(x +a）=f(xa） 或f（x2a ）=f（x） （a0)恒成立,则y=f（x）是周期为2a的周期函数；(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x）是周期为2a的周期函数；（3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称,则f(x）是周期为4a的周期函数；（4）若y=f（x）关于点(a,0），（b,0）对称，则f(x）是周期为2的周期函数；（5）y=f(x）的图象关于直线x=a，x=b（ab)对称，则函数y=f（x）是周期为2的周期函数；（6）y=f（x)对xR时，f(x+a）=f（x)（或f(x+a)= ，则y=f（x)是周期为2的周期函数；5。方程k=f（x)有解kD(D为f(x)的值域);6.af(x） 恒成立af（x）max，; af（x) 恒成立af（x）min；7.（1） （a0,a1,b0，nR+)； (2) l og a N=( a0,a1，b0，b1）;（3) l og a b的符号由口诀“同正异负记忆; (4） a log a N= N （ a0,a1，N0 ）；8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；10。对于反函数，应掌握以下一些结论:（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f（x)与y=f-1（x)互为反函数，设f(x）的定义域为A，值域为B，则有ff-1(x)=x(xB)，f-1f（x）=x（xA）。11。处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12。恒成立问题的处理方法：（1)分离参数法；（2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：（或（或）；14.掌握函数的图象和性质；函数（b ac0)定义域值域奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当bac0时:分别在上单调递减；当b-ac0时：分别在上单调递增；在上单调递增;在上单调递减;图象yxox=cy=axyo15实系数一元二次方程的两根的分布问题:根的情况等价命题在上有两根在上有两根在和上各有一根充要条件注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况,可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。三、数列1。由Sn求an，an= 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；2。等差数列；3。等比数列; 4。首项为正（或为负）的递减(或递增）的等差数列前n项和的最大(或最小)问题，转化为解不等式解决；5。熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想；6。 在等差数列中，；在等比数列中，;7。 当时，对等差数列有；对等比数列有；8。若an、bn是等差数列,则kan+pbn(k、p是非零常数）是等差数列；若an、bn是等比数列，则kan、anbn等也是等比数列;9. 若数列为等差（比)数列，则也是等差（比）数列；10. 在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时,（即)； 11。若一阶线性递归数列an=kan1+b（k0,k1），则总可以将其改写变形成如下形式:（n2），于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;四、三角函数1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦;2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变,符号看象限”概括；3。记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4。熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点;正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与轴的交点，但没有对称轴.6。(1）正弦平方差公式:sin2Asin2B=sin(A+B）sin（AB）；（2)三角形的内切圆半径r=；（3)三角形的外接圆直径2R=五、平面向量1。两个向量平行的充要条件，设a=（x1，y1）,b=（x2,y2），为实数.（1）向量式：ab（b0)a=b；（2)坐标式:ab（b0)x1y2x2y1=0；2。两个向量垂直的充要条件， 设a=（x1,y1），b=(x2,y2)， （1）向量式：ab（b0）ab=0； （2）坐标式：abx1x2+y1y2=0；3.设a=（x1，y1），b=(x2，y2),则ab=x1x2+y1y2；其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积;4.设A(x1，x2）、B（x2，y2)，则SAOB；5。平面向量数量积的坐标表示：(1）若a=（x1,y1）,b=(x2，y2），则ab=x1x2+y1y2；（2）若a=(x，y）,则a2=aa=x2+y2,；六、不等式1。掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法；3。掌握用均值不等式求最值的方法,在使用a+b（a0,b0）时要符合“一正二定三相等；注意均值不等式的一些变形，如；七、直线和圆的方程1。设三角形的三顶点是A（x1，y1）、B(x2,y2）、C（x3,y3），则ABC的重心G为（)；2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2： A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0;3.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；4。Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C0且B=0且D2+E24AF0;5.过圆x2+y2=r2上的点M（x0，y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；6.以A（x1，y2)、B（x2，y2）为直径的圆的方程是（xx1）(xx2）+(yy1)（yy2)=0；7。求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2）作出可行域，写出目标函数；（3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解;八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设P（x0，y0）为椭圆（ab0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2（c,0），则（e为离心率）；2。双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线(a0，b0）上任一点，焦点为F1（c,0），F2（c，0)，则：（1)当P点在右支上时,；(2）当P点在左支上时,；（e为离心率）；另：双曲线（a0,b0）的渐近线方程为；3。抛物线焦半径公式：设P（x0，y0)为抛物线y2=2px（p0)上任意一点,F为焦点，则；y2=2px(p0)上任意一点,F为焦点，则；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数,0）；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B（x2，y2），则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求的解题思想;7.椭圆、双曲线的通径（最短弦)为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b；8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线y2=2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2），则有如下结论：（1)x1+x2+p；（2）y1y2=p2，x1x2=;10.过椭圆(ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦;11。对于y2=2px（p0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0），以简化计算;12。处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A（x1，y1)、B（x2，y2)为椭圆（ab0)上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a0，b0），类似可得：KAB。KOM=；对于y2=2px（p0)抛物线有KAB13。求轨迹的常用方法：(1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系,构成F(x，y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法(相关点法或转移法）：若动点P（x,y)依赖于另一动点Q（x1,y1）的变化而变化，并且Q（x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；(5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数）表示,得参数方程，再消去参数得普通方程。九、直线、平面、简单几何体1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A2. 已知:直二面角MABN中,AE M,BF N，EAB=,ABF=，异面直线AE与BF所成的角为，则3.立平斜公式:如图,AB和平面所成的角是，AC在平面内,AC和AB的射影AB成,设BAC=,则coscos=cos；4。异面直线所成角的求法：（1)平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5。直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6。二面角的求法(1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;（3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积射影公式S射S原cos，其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面,使之相交出现棱，然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法）。7。空间距离的求法(1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为，则S侧cos=S底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;10。正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11。欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E。那么V+FE=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12。球的体积公式V=，表面积公式；掌握球面上两点A、B间的距离求法：(1)计算线段AB的长，（2）计算球心角AOB的弧度数；(3）用弧长公式计算劣弧AB的长；十、排列组合二项式定理和概率1.排列数公式:=n（n1）（n-2）(n-m1）=（mn,m、nN*），当m=n时为全排列=n（n1)21；2。组合数公式：（mn），;3。组合数性质：；4。常用性质：n。n!=(n+1)！-n!；即（1rn）；5.二项式定理：(1）掌握二项展开式的通项：（2)注意第r1项二项式系数与第r1系数的区别；6.二项式系数具有下列性质:(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；(2) 若n为偶数,中间一项（第1项)的二项式系数最大；若n为奇数,中间两项（第和1项）的二项式系数最大；（3)7.F(x）=(ax+b)n展开式的各项系数和为f（1）；奇数项系数和为；偶数项的系数和为；8。等可能事件的概率公式：（1）P（A）；（2）互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B）；（3)相互独立事件同时发生的概率公式为P（AB）P(A)P(B）；(4）独立重复试验概率公式Pn（k)=(5)如果事件A、B互斥，那么事件A与、与及事件与也都是互斥事件；（6）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（AB）1P（A)P(B)；（7）如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1P（）1P()P（）；十一、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差1.掌握抽样的二种方法：(1)简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法)；(2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；2.总体分布的估计:用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；3.总体特征数的估计:（1）学会用样本平均数去估计总体平均数；（2)学会用样本去估计总体方差及总体标准差； 十二、导数及应用1。导数的定义：f(x）在点x0处的导数记作；2。根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1）求函数的增量（2)求平均变化率；(3)取极限,得导数;3.导数的几何意义：曲线yf（x）在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率是相应地,切线方程是4。常见函数的导数公式：5。导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性:设函数yf(x）在某个区间内可导，如果那么f（x）为增函数；如果那么f（x）为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；（2)求可导函数极值的步骤:求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x）在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f（x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤:求y=f（x)在（a，b）内的极值；将y=f(x）在各极值点的极值与f（a)、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值.