经典力学与量子力学中的一维谐振子.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院 物理学 摘要一维谐振动是一种最简单的振动形式,许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象,首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征,然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子,最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。关键词 谐振子 经典力学 量子力学 运动方程 能量分布1 前言所谓谐振,在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为的轻质弹簧的一端固定,另一端固结一个可以自由运动的质量为的物体,就构成一个弹簧振子1。该振子是在一个位置(即平衡位置)附近做往复运动。在
2、这种振动形式下,物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比,并且受力方向总是指向平衡位置.这种情况即为一维谐振子。一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。本文将以一维谐振子为研究对象,首先分别讨论经
3、典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征,然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子,最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题.从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质,充分认识微观粒子的波粒二象性。2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础,研究质点位移随时间变化的规律,反映质点特征的是运动方程和能量。因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征.一个劲度系数为的轻质弹簧的一端固定,另一端固结一个可以自由运动的质量为的物体,就构成一个弹簧振子1,如图2。1.当弹簧处于自然长度时,物体处于
4、平衡位置,取作坐标原点,以表示。沿弹簧长度方向(取作轴方向)拉动物体然后释放,则物体将在点两侧作往复运动.图2。1 弹簧振子2.1 一维谐振子的运动方程图2。1中的物体可视为一个质点。设代表质点相对于平衡位置的位移,则质点所受的力,其中为劲度系数。负号表示与位移方向相反,因而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律,谐振子的运动微分方程为:即 (2.1。1)这是一个二阶的常系数线性微分方程。令 (2.1。2)即简谐运动的角频率,由振动系统本身的性质嗦决定。将(2.1.2)式代入(2.1。1)式,则可求出(2。1。1)式的通解: (2.1。3) 这就是谐振子的运动方程2。其中M和N是任意常数,由质点的初
5、位置和初速度确定.A是振幅,是初相位。(2.1。3)式表明质点应作简谐振动2。2.2 一维谐振子的能量在谐振子问题中,振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以从谐振子的动能和势能出发,求解谐振子的总能量,进而帮助我们分析振子的运动特征。由(2.1。3)式可知,振子的速度为:振子的动能为:由(2。1.2)式,有: (2.2.1)由(2。2。1)式可知,振子的动能变化频率为。振子的势能(以平衡位置的势能为零)为:即为: (2.2。2)由(2.2.2)式可知,振子的势能变化频率也为。因此,由(2.2。1)式和(2。2.3)式可得,振子的总能量为: (2。2.3)由(2。2.3)式可知:谐振
6、子的总能量不随时间改变,即其机械能守恒3。(2。2.3)式还说明:对于一定的振子(和给定,因而给定),总能量与振幅的平方成正比3。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围,而且还反映了振动系统总能量的大小,或者说反映了振动的强度.3 量子力学中的一维谐振子在量子力学中,粒子状态用波函数表示,为了描述微观粒子状态随时间变化的规律,就需要找出波函数所满足的运动方程,即薛定谔方程。因此下面将从谐振子的哈密顿算符出发,求解振子的定态薛定谔方程,进而分析量子力学中一维谐振子的运动特征。3.1 用运动方程求解的一维谐振子我们可以从谐振子的势能函数出发,写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程,并求谐振子的能量和定态波函
7、数的解,进而讨论能量分布特点.取谐振子的平衡位置为坐标原点,并选原点为势能的零点,则有。仅考虑一维情况。由于在轴方向分振动的谐振子在处的势能可以表示为: (3。1。1)势能曲线是一条定点在原点的抛物线,如图3。1所示:图3.1 一维谐振子的势能一维谐振子的经典哈密顿函数为:设振子的原子质量为,则振子的频率为:振子的哈密顿算符可以写为:相应的定态薛定谔方程为: (3。1。1)这是一个二阶线性微分方程。如果振子的运动不受限制,的变化范围为。当时,(3。1。1)式的解一般为无穷大,表示振子在无穷远处的几率为无穷大。这不符合物理要求.但若振子的能量取下列特殊值4: (3。1。2)其中为普朗克常数,为经
8、典力学中谐振子的频率。则对每一个值,方程(3.1。1)都有一个在全区间中有界的解。而且当时,这个解趋于零.这显然符合对谐振子问题的物理要求。与(3。1.2)式的能量值相应的关于定态波函数的解为: (3。1.3)其中,是的一个次多项式,称为厄米多项式4。其前四项为:由于是的次多项式,且.因此,当时,(3.1.3)式趋于零。由(3。1。2)式知,在量子力学中谐振子的能量是分立的,与振幅无关,只依赖于振子的固有特性-振子的本征频率.(3.1.2)式还表明5,频率为的振子其能量的改变只能是能量单元的整数倍。这一点同普朗克的能量子假设是一致的。但量子力学中振子的最低能级(基态能量)不再是零而是,称为零点
9、能5。它充分体现了粒子具有波粒二象性。3。2 坐标表象中的一维谐振子粒子系统的状态用以空间坐标为自变量,以时间为参量的波函数来描述,这种表示形式称为坐标表象6。下面从谐振子的哈密顿算符出发,求解谐振子的能量本征值和定态波函数,并对谐振子在量子力学与经典力学中的几率密度进行比较,给出量子谐振子向经典谐振子过渡的条件。一维谐振子的哈密顿算符为:坐标表象中,振子的定态薛定谔方程为:引入没有量纲的变量代替,它们的关系是 (3。2.1)以乘以式(3.1.1),利用式(3。1.2)和式(3。1。3),薛定谔方程可改写为 (3。2.2)这是一个变系数的二阶常微分方程。当很大时,与相比可以略去,因而在时,(3
10、。2.2)式可以写为:它的解是。因为波函数的标准条件要求当时,应为有限,所以对波函数只取指数上的负号:。根据上面的讨论,我们把写成如下形式来求(3。2。2)式的解: (3.2。3)(3。2。3)式代入(3。2。2)式可得满足方程: (3.2.3)用级数解法,把展开成的幂级数,来求着方程的解.这个级数必须只含有限项,才能在时使为有限;而级数只含有限项的条件是为奇数:,代入(3.2.1)式即可得谐振子的能级为:, (3。2.4)可见,谐振子的能量只能取分立值,两相邻能级间隔均为,即:在坐标表象中可以明显看出:是描述粒子波动性的波函数受到势能场的约束使能谱分立.与(3。2。4)式定态能量对应的定态波
11、函数:式中是归一化常数,它由归一化条件确定。图3.2中画出了的几率密度(图中实线),图中虚线是经典谐振子的平均位置密度.从图3。2可见,经典谐振子不能进入的区域。而量子谐振子能进入这种区域,但进入以后指数衰减。可见,量子振子和经典振子完全不同,但当增大时,减小,量子振子向经典振子过渡. 图3。2 一维谐振子的位置几率密度分布3.3 粒子数表象中的谐振子以粒子数算符的本征矢|n为基矢的表象称为占有数表象7,又叫粒子数表象。我们可以通过引入升降算符求解谐振子,求出谐振子的能量本征值以及坐标算符和动量算符的矩阵元.一维谐振子的经典哈密顿函数为: (3。3.1)在量子力学里,谐振子的哈密顿算符具有同一
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