系统稳定性及其判定(罗斯阵列).docx
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1、6-6系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性,所以对系统稳定性的研究十分重要。本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。一、系统稳定性的意义若系统对有界激励f(t)产生的零状态响应也是有界的,即当时,若有(式中和均为有界的正实常数),则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时,“稳定”的定义不尽相同。这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。,否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。可以证明,系统具有稳定性的必要与充分条件,在时域中是系统的单位冲激响应h(t)绝对可积,即(6-36)证明设激励f(t)为有界,即式中,为有界的正实常数。又因有故有(6-37)由此式看出
2、,若满足则一定有证毕即也一定有界。式中为有界的正实常数。由式(6-36)还可看出,系统具有稳定性的必要条件是(6-38)式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性,它只取决于系统的结构与参数,与系统的激励和初始状态均无关。若系统为因果系统,则式(6-36)和式(6-38)可写为 (6-39)(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定,可以在时域中进行,也可以在s域中进行。在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断,已如上所述。下面研究如何从s域中判断。1.从H(s)的极点即D(s)=0的根分布来判定若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面,
3、则系统是稳定的。若H(s)在j轴上有单阶极点分布,而其余的极点都位于s平面的左半开平面,则系统是临界稳定的。若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面,则系统就是不稳定的;若在j轴上有重阶极点分布,则系统也是不稳定的。2.用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否,必须先要求出H(s)的极点值。但当H(s)分母多项式D(s)的幂次较高时,此时要具体求得H(s)的极点就困难了。所以必须寻求另外的方法。其实,在判定系统的稳定性时,并不要求知道H(s)极点的具体数值,而是只需要知道H(s)极点的分布区域就可以了。利用罗斯准则即可解决此问题。罗斯判定准则的内容如下:多项式D(s)的各项系数
4、均为大于零的实常数;多项式中无缺项(即s的幂从n到0,一项也不缺)。这是系统为稳定的必要条件。若多项式D(s)各项的系数均为正实常数,则对于二阶系统肯定是稳定的;但若系统的阶数n2时,系统是否稳定,还须排出如下的罗斯阵列。设则罗斯阵列的排列规则如下(共有n+1行):阵列中第1、第2行各元素的意义不言而喻,第3行及以后各行的元素按以下各式计算:如法炮制地依次排列下去,共有(n+1)行,最后一行中将只留有一个不等于零的数字。若所排出的数字阵列中第一列的(n+1)个数字全部是正号,则H(s)的极点即全部位于s平面的左半开平面,系统就是稳定的;若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同,则符号改变的次数
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