新课标理念下零点概念问题法教学之我见.doc

新课标理念下零点的概念问题法教学之我见-以方程的根与函数的零点的教学为例【摘要】： “问题是数学的心脏，数学教学就必须精心设计数学问题，教师要将精心设问贯穿在课堂教学的各个环节，给学生创设可望、可及且有利于学生建构的问题情境，这样，学生的思维习惯得以养成,求知的热忱得以激发，学习兴趣得以培养，思维品质、能力得以全面发展。【关键词】： 新课标;高中数学；问题法；教学这一课时，主要有两个知识点：一个是函数零点的概念,另一个是函数零点存在性的判断，重点当然是后者。应该说，教材的线索清楚，层次分明，循序渐进：1）从几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数入手，得到方程的根和相应函数的图象与轴交点的横坐标之间的关系；2）由特殊到一般,得到这种关系对一般的一元二次方程及其二次函数也成立；3）将这种关系推广到一般函数,引出函数零点的概念；4）方程的根与函数零点的关系；5）函数零点存在性定理；6）知识应用.如果按照教材的思路讲授，应该是“一帆风顺”的,但是会少了跌宕起伏的快感和“山重水复疑无路，柳暗花明又一村的惬意，收获当然也就大不相同。下面，我从新课引入、概念教学、定理探究、知识应用、归纳小结等几个方面谈谈我的问题法教学。1. 关于发现“函数零点”的背景及概念引入 教材的编写是从初中已经学习过三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数图象关系引出函数零点的概念的。如果只把教材上的内容平铺直叙地复述一遍,这样的教学学生当然不会感兴趣,也就缺乏求知的欲望，教学效果当然会打折扣了.在新课的引入过程中,教师要对教材内容进行二次开发，创造性地使用教材。 好的引入是一节课成功的一半！我是这样引入的:约公元50100年编成的九章算术给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法. 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。 13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法. 国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法;数学史上,人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但最后被19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。 同样，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。那么如何判断这样的方程有没有根呢?问题1：一元二次方程有实数根吗？按常规，要判断一元二次方程有无实根，只要计算其判别式即可，而在我们平时不允许使用计算器的情况下，老师出这么大的系数可能就不常规了。这一看似简单的问题，引发了同学们认知上的冲突，从而也就引发了他们积极的思考。有的在讨论，有的在沉思，我则适时提醒:积极搜索你们大脑中存储的一些数学方法！“有实根!一会儿就有人得出了结论。“请说说你的理由“画出这个方程相应函数的草图”“怎么画呢？你说我画吧.”“用特值法，对函数，因为，所以在区间（0，1)上一定有一个交点，从而方程在这个区间上就一定有一个实根。”“很好，这是一个漂亮的方法！你能不能把你的思维过程跟我们说说？”“初中我们学过三个二次之间的关系,下面是通过学生之口，把教材上的引入讲述出来了.如果用书上小系数的一元二次方程的例子引入，学生就可以通过因式分解或计算判别式容易得出结论，这样要引出后面“函数的零点、“方程的根”以及“函数的图象与轴的交点三者之间的关系就不能水到渠成了。乌辛斯基指出：“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望”。因此,新课引入要精心创设问题情景，要新颖别致，使学生学习有趣味感、新鲜感，以激发学生求知欲望，真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和和本质的目的。2。探究关于“函数的零点”概念的教学高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解.由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。在学生亲历了“问题1”的探究后，教师再提出函数零点的概念，他们是很容易接受的，而且也不难得到“方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点”的结论。“函数的零点”这个概念,实质上就是学生初中所学习过的“一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴的交点的横坐标”的直接推广.学生经历的是特殊问题一般化的过程.他们可以用这个旧知识来同化新知识。而且这个新知识与旧知识之间也只有一层薄薄的窗户纸，一捅即破.对于函数零点概念的理解，他们仍然可以以二次方程为载体，我们不必把简单的问题搞复杂,清楚的问题搞糊涂。在学习完数学概念后，教师往往对该概念有所拓展，对数学概念的内涵与外延进行“深加工”，对“概念要素进行具体界定,以使学生建立更清晰的概念表象,获得更多的概念例证,对概念的细节把握更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等.它通常表现为对各种可能的特例进行剖析，分析可能发生的概念理解错误，理解概念的各种变式.所以，得出函数零点的概念后,老师们几乎无一例外地都强调了同一句话：函数的零点不是一个点，而是一个数.如果我们把这句话设置成一个问题2：函数的零点是点吗?让学生自己从概念中去找到答案，效果就会大不相同了。另外，在得到“方程的根”与“函数的零点”关系的结论后,老师们马上进入零点存在性问题的探究，没有把这个结论的作用挖掘出来。这里可以设置问题3:这个结论对我们有什么用途呢？不至于让学生学得没有目的。事实上,从这里可以挖掘出求函数零点的两种方法：代数法（解相应的方程）和几何法（画函数图象）；也蕴含着转化的思想和数形结合的方法：求函数的零点，可以转化成我们熟悉的求方程的根;而利用函数的零点求方程的根，既是函数知识、数形结合的具体应用，也为后面学习3。1。2用二分法求方程的近似解和3。2函数模型及其应用奠定了基础.本文为互联网收集，请勿用作商业用途对于一些教师将“函数的零点与“方程的根”等同起来，我认为也是不妥的。尽管两者联系紧密，但是不能“等同”。“方程的根”是不变的数值，而函数的值是变化的，“函数的零点”就是在变化的数值中寻找使其值为零的自变量的取值.这就是为什么我们可以借助函数的图象和性质,直观认识和理解函数的零点,并为零点存在性的判定提供依据，进而可以找到求出零点（或其近似值）的方法.大教育家夸美纽斯在大教学论中说：如果先不教明概念,便是教得不好的.数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础;是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓.因此，数学概念教学是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。3。关于“函数零点存在性定理的教学提示及引导我们可以设计一个“问题链”:问题4:1)观察二次函数的图象，可见函数在区间-2，1上有零点，填空:（填，=符号)；函数在区间2,4上有零点，填空： （填,=符号）。2）如果函数在区间上有零点,那么,一定有吗?请举例说明。对于2）学生可以借助1）中的函数图象马上举出反例：该函数在区间2，4上有零点，但.趁热抛出问题5:如果函数在区间a,b上满足,那么函数在区间（a，b）内一定有零点吗？请举例说明。同学们思考、讨论后给出了一个反例：“ 在区间（1,0）(0，1）上有，但是函数在区间（-1，0)（0,1)上却没有零点.”有一位同学上黑板画了一个精彩的图（如图1)，让同学们非常意外。于是有问题6:函数在区间a,b上满足哪些条件,那么函数在区间(a,b）内一定有零点?学生通过分析这两个反例的共同特点，不难得出需增加“函数的图象连续”这一条件，就得到了零点存在性定理。紧接着对该定理进行深入探讨，定理只说明了存在性，并没有说明零点的个数，于是提出问题7:如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线且满足,那么函数在区间(a，b）内一定有零点.能确定有几个零点吗？请举例说明. 给学生时间思考,想好了的同学上黑板图示。课堂气氛活跃,结果精彩纷呈,有的甚至是出乎我的意料,下面选取几个有代表性的图象: 自然而然想到提出问题8：在问题7的基础上你不能否加强条件,使得函数的零点只有一个呢?学生通过对上面几个图象进行分析,可以得出还需增加“函数在区间(a,b）上单调”这个条件即可。接着提出问题9：如果将定理中的条件改为，函数是不是就没有零点了？请举例说明。这个问题学生同样可以通过画图不难解决。在新知识教学中，切忌直接把结论抛给学生.新课标要体现学生是主体,就要让学生积极主动的参与到教学活动中来，如何让学生积极主动的参与到教学活动中来?精心的设问是关键,常常可以通过设计“问题链”，以挖掘问题本质，引发学生的思考，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，获取知识,培养能力。4.关于范例的教学设计意图对于例1，教材实质上给出了两种解法：方法一是代数法，利用计算器或计算机作出的对应值表，通过函数值的变化情况求解;方法二是几何法,利用计算机作出函数图象观察即可. 作图是个好方法,但如果不借助计算机，这个函数的图象我们是很难作的，那么我们自然会有问题10：还有别的更方便简单的方法吗？能不能用初等函数的图象解决呢？若学生讨论不出，教师可以适时逐步提醒：1）能不能用“函数的零点”与“方程的根”之间的关系解决？2)如果是函数的零点，那么,于是，,那么 与函数有什么关系?这样，学生就可以得到“在同一坐标系中画这两个函数,看其交点的个数”这种简单方法了。在范例中精心设问，使学生在问题的引导下探究问题的解决方法，一方面让学生将知识融会，进一步理解知识及内在联系，另一方面让学生学会根据问题的特点，学会从多角度的思考、联想、寻找各种思路，有助于培育思维的广阔性和探究问题的良好习惯，增强自主性.5。关于小结归纳的教学课堂小结在课堂教学中往往起着提纲契领，画龙点睛的作用。但如果教师直接小结,哪怕“字字珠玑”，其结果往往也是“平平淡淡”。我喜欢让学生自己做小结，通常会问：这节课你学到了哪些知识、数学思想和方法？这样有助于学生主动认清所学知识的本质，理清所学知识的脉络，使知识系统化。本节课我还留了一道课外思考题:从例1我们知道函数在区间（2，3)内有零点，那你能找出这个零点吗？这个问题让学生感到似乎是熟悉的,能解决的，但又不太清楚，不能立即解决，从而产生跃跃欲试的感觉，以一种悬念性,有助于学生课后主动探讨，也为下一节课 “用二分法求方程的近似解”埋下了伏笔.当然，也可以在小结时，将问题引向更深入的问题，有助于优生课后的自主学习.“问题是数学的心脏，数学教学就必须精心设计数学问题，将精心设问贯穿在课堂教学的各个环节，给学生创设可望、可及且有利于学生建构的问题情境，这样，学生的思维习惯得以养成，求知的热忱得以激发，学习兴趣得以培养，思维品质、能力得以全面发展。不过，值得教师们注意的是，有思维价值的问题学生是不会对答如流的,需要有一定思考的时间.教师提出问题后，应留有时间让学生尝试,看能否解决它。思维有时需要安静，教师不要提出问题后生怕学生不会而喋喋不休地讲个不停，这样会干扰学生的思维。学生有困难时，教师可以适时加以启发、引导，而不是让他们首先依赖老师。