《3.4基本不等式》.ppt
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1、3.4 3.4 基本不等式:基本不等式:学科网.第第2424届国际数学家大会届国际数学家大会 会标是根据中国古代会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民一个风车,代表中国人民热情好客热情好客.中国古代的数学家们中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明最早对勾股定理进行证明的,是三国时期的,是三国时期吴国的数吴国的数学家赵爽学家赵爽。赵爽创制了一。赵爽创制了一幅幅“勾股圆
2、方图勾股圆方图”,用形,用形数结合得到方法,给出了数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。勾股定理的详细证明。赵爽:弦图赵爽:弦图2024/5/26 2024/5/26 周日周日.1.1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗?等关系吗?B BA AC CD DE EF FG GH H探究点探究点1 1 探究基本不等式探究基本不等式.B BA AC CD DE EF FG GH H则正方形则正方形ABCDABCD的面积的面积是是_,这这4 4个直角三角形的面个直角三角形的面积之和是积之和是_,设设AE=a,BE=b,AE=a,BE=b
3、,a a2 2+b+b2 22ab2ab Z.x.x.K 有可能相等吗?又什有可能相等吗?又什么时候取等于号呢?么时候取等于号呢?.ADBCEFGHba重要不等式:重要不等式:一般地,对于任意实数一般地,对于任意实数a、b,我们有,我们有当且仅当当且仅当a=b时,等号成立。时,等号成立。ABCDE(FGH)ab2024/5/26 2024/5/26 周日周日.一般地,对于任意实数一般地,对于任意实数a a,b b,我们有,我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时,等号成立时,等号成立.2.2.你能给出它的证明吗?你能给出它的证明吗?特别地,特别地,我们用我们用,分别代替分别代替可得可得.可以叙述为
4、可以叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.叫做正数叫做正数a a,b b的算术平均数,的算术平均数,叫做正数叫做正数a a,b b的几何平均数的几何平均数.基本不等式基本不等式.D DA AB BC CE E如图如图,AB,AB是圆的直径,是圆的直径,C C是是ABAB上任一点,上任一点,AC=a,CB=b,AC=a,CB=b,过点过点C C作垂作垂直于直于ABAB的弦的弦DEDE,连接,连接AD,BD,AD,BD,则则CD=CD=,半径为半径为.CDCD小于或等于圆的半径小于或等于圆的半径上述不等式当且仅当点上述不等式当且仅当点C C与
5、圆心重合,即当与圆心重合,即当a=ba=b时,等号成立时,等号成立.几何意义:半径不小于半弦几何意义:半径不小于半弦o o3 3、几何解释、几何解释a ab b.a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较:填表比较:注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式2024/5/26 2024/5/26 周日周日.构造条件构造条件二二、应用应用例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.变变3:若若 ,求求 的最小值的最小值.变变1:若若 求求 的
6、最小值的最小值变变2:若若 ,求求 的最小值的最小值.发现运算结构,应用不等式发现运算结构,应用不等式问问:在结论成立的基础上在结论成立的基础上,条件条件“a0,b0”可以变化吗可以变化吗?2024/5/26 2024/5/26 周日周日.三三、应用应用例例2、已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.变式变式:已知已知 ,求函数求函数 的最大值的最大值.发现运算结构,应用不等式发现运算结构,应用不等式2024/5/26 2024/5/26 周日周日.均值定理:均值定理:已知已知x,y都是正数,(都是正数,(1)如果积)如果积xy是定值是定值P,那么,那么当当x=y时,和时,和x+y有最小值
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