第章《平面直角坐标系》常考题集：.平面直角坐标系.doc

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第5章《平面直角坐标系》常考题集（09）：5。2 平面直角坐标系

填空题
181．（2006•余姚市）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是　_________　．

182．（2005•青海）已知点A（3，n）关于y轴对称的点的坐标为(﹣3，2)，那么n的值为　_________　，点A关于原点对称的点的坐标是　_________　．

183．在直角坐标系内，点P(2，3）关于原点的对称点坐标为　_________　．

184．已知a＞0，那么点P（﹣a2﹣1，a+3）关于原点的对称点Q在第　_________　象限．

185．点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是　_________　．

186．（2001•上海)点A(1，3)关于原点的对称点坐标是　_________　．

解答题
187．如图,在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．
(1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　_________　,B4的坐标是　_________　；
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是　_________　，Bn的坐标是　_________　．

188．（2005•绍兴）如图,在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，0），B（2，0）．
（1)画出等腰三角形ABC（画一个即可）；
(2）写出（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．

189．如图：在直角坐标系中,第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1(3，3)，A2（5,3)，A3(7，3）；B（2，0）,B1（4，0)，B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　_________　,B4的坐标是　_________　．
（2)若按(1)找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化,找出规律,推测An的坐标是　_________　，Bn的坐标是　_________　．

190．（2010•宣武区一模)请在所给网格中按下列要求操作：
（1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(0，2)，B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形,请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

191．附加题：请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：
A（﹣4，4），B（﹣2，2）,C（3，﹣3)，D（5，﹣5)，E（﹣3，3），F（0，0）
你发现这些点有什么位置关系?你能再找出类似的点吗?(再写出三点即可）

192．在平面直角坐标系中，顺次连接（﹣2，1）,（﹣2,﹣1)，（2，﹣2），（2，3)各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积．

193．如图所示是某台阶的一部分,如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1)，
(1)请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标；
（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？
(3)如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？

194．在平面直角坐标系内,已知点（1﹣2a,a﹣2)在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标．

195．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0)、C（7，5)、D(2，7)．求四边形ABCD的面积．

196．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（5，3）,O为坐标原点,点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标．(画出图象，不需要写计算过程）

197．如图，A（﹣1，0）,C(1，4），点B在x轴上，且AB=3．
（1）求点B的坐标,并画出△ABC；
(2）求△ABC的面积．

198．已知坐标平面内的三个点A(1，3），B（3，1)，O（0，0）,求△ABO的面积．

199．如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标;

(2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连OD,求∠AOD的度数；
(3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式=1是否成立？若成立，请证明:若不成立，说明理由．

200．写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：
（1)点B、E的位置有什么特点；
（2)从点B与点E，点C与点D的位置看,它们的坐标有什么特点?

201．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8)与点B(﹣2,a+3b）关于原点对称，求a、b的值．

第5章《平面直角坐标系》常考题集（09）:5。2 平面直角坐标系
参考答案与试题解析
　填空题
181．（2006•余姚市）点P（﹣1,3)关于原点对称的点的坐标是　(1，﹣3）　．

考点：
关于原点对称的点的坐标．4435607
分析：
关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．

182．（2005•青海）已知点A(3,n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n的值为　2　，点A关于原点对称的点的坐标是　（﹣3，﹣2)　．

考点：
关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．4435607
分析:
平面直角坐标系中任意一点P(x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是(x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是(﹣x,y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
183．在直角坐标系内，点P（2，3)关于原点的对称点坐标为　（﹣2，﹣3）　．

184．已知a＞0，那么点P(﹣a2﹣1，a+3)关于原点的对称点Q在第　四　象限．

185．点P(3，﹣2)关于原点中心对称的点的坐标是　（﹣3，2）　．
186．（2001•上海)点A（1，3）关于原点的对称点坐标是　（﹣1，﹣3）　．
点评：
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数;
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

解答题
187．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　（16，3）　，B4的坐标是　（32，0)　；
（2）若按第(1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是　(2n,3）　，Bn的坐标是　（2n+1,0)　．

考点：
规律型：图形的变化类；点的坐标．4435607
专题：
规律型．
分析：
根据图形写出点A系列的坐标与点B系列的坐标，根据具体数值找到规律即可．
解答:
解：(1）因为A（1，3)，A1（2，3）,A2(4，3），A3(8,3）…纵坐标不变为3，横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，3）；
因为B（2，0），B1（4,0），B2（8，0），B3(16，0）…纵坐标不变，为0，横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0)；
（2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n,Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1．
点评：
依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关键．

188．（2005•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2,0），B(2，0）．
（1）画出等腰三角形ABC（画一个即可）；
（2）写出（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．

考点：
坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607
分析：
（1）由题意可得，AB的中垂线是y轴,则在y轴上任取一点即可；
（2）根据所画情况而定,如(0，3）
解答：
解：（1）如图；
(2)C(0，3）或（0，5）都可以（答案不唯一)．

点评:
本题综合考查了图形的性质和坐标的性质及等腰三角形的性质;发现并利用AB的中垂线是y轴是正确解答本题的关键．

189．如图:在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1,第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2,变换成△OA3B3,已知A（1，3）,A1（3,3),A2（5，3），A3（7，3）;B（2,0），B1（4,0）,B2（8，0）,B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　(9，3）　,B4的坐标是　（32,0）　．
(2）若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律,推测An的坐标是　（2n+1，3)　，Bn的坐标是　（2n+1，0）　．

考点:
坐标与图形性质．4435607
专题:
规律型．
分析：
对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3，同理B1,B2，Bn也一样找规律．
解答:
解:（1）已知A（1，3）,A1（3,3），A2（5,3），A3（7,3）；
对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1,而纵坐标都是3；
同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0．
由上规律可知：（1）A4的坐标是(9，3)，B4的坐标是（32，0)；

（2）An的坐标是（2n+1，3），Bn的坐标是(2n+1，0）
点评：
本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．

190．（2010•宣武区一模)请在所给网格中按下列要求操作:
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0,2)，B点坐标为（﹣2,0）;
（2)在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形,请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

考点：
坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607
专题:
网格型．
分析:
(1)根据A点坐标为（0，2），B点坐标为(﹣2，0），则点A所在的纵线一定是y轴，B所在的横线一定是x轴．
(2)分AB时底边或腰两种情况进行讨论．
解答：
解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示：

（2）满足条件的点有4个：C1：（2，0）；C2：（，0）；C3:（0，0）;C4：（，0)．

点评:
本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质;对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

191．附加题：请自己动手,建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：
A（﹣4，4），B（﹣2,2），C（3，﹣3），D（5，﹣5），E（﹣3，3）,F（0，0)
你发现这些点有什么位置关系？你能再找出类似的点吗？（再写出三点即可）

考点：
坐标与图形性质．4435607
分析：
本题可根据“横纵坐标互为相反数，那么这些点在一条直线上”来解题．
解答:
解：由上图所示，这些点在同一直线上，在二四象限的角平分线上．类似的点还有如：（1，﹣1）、（﹣1,1）、（2，﹣2)等．

点评：
用的知识点为：二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．

192．在平面直角坐标系中，顺次连接（﹣2,1），（﹣2，﹣1），（2，﹣2），（2，3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积．

考点：
坐标与图形性质．4435607
分析：
本题需要根据点的坐标特点，分别描点、顺次连线，再观察整个图形的形状．
由于点(﹣2，1），(﹣2,﹣1）和点（2，﹣2)，（2，3）的横坐标分别相同两点的连线都垂直于x轴,故图形是梯形，再根据梯形面积公式求面积．
解答：
解:如图依次连接可得:图形是梯形，面积为:×(2+5)×4=14．

点评:
本题主要是对点的坐标的表示及正确描点、连线等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．

193．如图所示是某台阶的一部分,如果点A的坐标为（0，0),B点的坐标为（1，1),
(1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E,F的坐标；
（2)说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？
（3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗?

考点：
坐标与图形性质．4435607
分析：
从A（0，0）到B（1，1）可以看出，每一级台阶的横坐标、纵坐标都比前一个依次增加1，由此即可得解．
解答：
解：(1）以A点为原点，水平方向为x轴,建立平面直角坐标系．
所以C，D,E，F各点的坐标分别为C(2，2）,D(3,3），E（4，4），F（5,5）．

（2）B,C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，
横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4,5；

(3)每级台阶高为1,宽也为1，
所以10级台阶的高度是10，长度为11．

点评：
本题也可以用坐标平移的观点来解,即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，依此类推．

194．在平面直角坐标系内，已知点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标．

考点:
坐标与图形性质．4435607
分析：
根据第三象限角平分线上点的特点解答即可．
解答:
解:∵点(1﹣2a，a﹣2）在第三象限的角平分线上，
∴1﹣2a=a﹣2，解得a=1，
故此点坐标为(﹣1,﹣1）．
点评:
本题主要考查第三象限角平分线上点的特点：点的横纵坐标相等．

195．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0,0)、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．

考点：
坐标与图形性质．4435607
分析：
本题应利用分割法,把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积．
解答:
解：过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S=S△OED+SEFCD+S△CFB=×AE×DE+×（CF+DE）×EF+×FC×FB．
=×2×7+×(7+5）×5+×2×5=42．
故四边形ABCD的面积为42平方单位．

点评：
主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式和图形有机结合起来的解题方法．

196．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0)、B(0,3)、C（5，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标．（画出图象，不需要写计算过程）

考点：
坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607
专题:
作图题．
分析：
要根据题意描点画图，设计等腰三角形时，可以按A，O,E都有可能作为等腰三角形的顶点，分类画图，根据勾股定理计算点的坐标，注意点E在线段BC上这个限制条件．
解答:
解：图形如下：
(1）若等腰△AEO以A为顶角所在的顶点，则E（1,3）；
（2）若等腰△AEO以E为顶角所在的顶点，则E(2.5,3）；
（3）若等腰△AEO以O为顶角所在的顶点，则E(4，3)．

点评：
本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；在设计等腰三角形时，用到了分类思想，每次分类的标准只能有一个，或者按边,或者按角，本题是按顶角来分类的．

197．如图，A（﹣1，0），C(1，4），点B在x轴上，且AB=3．
（1）求点B的坐标，并画出△ABC；
(2）求△ABC的面积．

考点：
三角形的面积;坐标与图形性质．4435607
分析：
（1）由于点B在x轴上，所以纵坐标为0，又AB=3，所以B的坐标就可以确定了,根据坐标也就画出了图形；
（2）根据已知条件可以得到AB边上的高为4，然后利用三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．
解答：
解：（1)∵点B在x轴上，∴纵坐标为0，又AB=3，∴B（2,0）或（﹣4，0）；

（2)S△ABC==6．

点评：
此题主要考查了利用坐标求线段长,然后求三角形的面积．

198．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3,1），O(0，0），求△ABO的面积．

考点：
三角形的面积；坐标与图形性质．4435607
分析：
过A，B分别作y轴，x轴的垂线，则三角形ABC的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．
解答:
解:如图所示，
过A，B分别作y轴，x轴的垂线，垂足为C，E，两线交于点D，
则C（0,3），D（3，3）,E（3,0）．
又因为O（0，0），A(1,3），B（3，1），
所以OC=3，AC=1,OE=3,BE=1,
AD=DC﹣AC=3﹣1=2,
BD=DE﹣BE=3﹣1=2，
则四边形OCDE的面积为3×3=9，
△ACO和△BEO的面积都为×3×1=,
△ABD的面积为×2×2=2，
所以△ABO的面积为9﹣2×﹣2=4．

点评：
一些不规则图形可以转化为一些以求面积的图形的和或差来计算．

199．如图,在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；
（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM,等式=1是否成立？若成立，请证明：若不成立,说明理由．

考点:
全等三角形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607
专题：
计算题；探究型．
分析：
（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4,4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；
（2)作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，证明△AOB为等腰直角三角形,则∠AOD的度数可求；
（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM﹣MF=OF，即可求证等式成立．
解答：
解：（1）作AE⊥OB于E，
∵A(4，4）,
∴OE=4,
∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，
∴OE=EB=4,
∴OB=8,
∴B（8，0)；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F,
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC,∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC,
在△DFC和△CEA中，
∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF,FC=AE，
∵A（4，4),
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF,
∴∠DOF=45°，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°;

方法一：过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，
则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°,
又∵△ACD为等腰Rt△,
∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO,AC=DC,
∴△ACK≌△DCO（SAS）,
∴∠DOC=∠K=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；

（3）成立，理由如下：
在AM上截取AN=OF，连EN．
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,
∴△EAN≌△EOF(SAS)，
∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,
又∵△EGH为等腰直角三角形，
∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°,
∴∠NEM=45°=∠FEM，
又∵EM=EM，
∴△NEM≌△FEM（SAS)，
∴MN=MF，
∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN,
∴AM﹣MF=OF,
即;
方法二：在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，
则△EAM≌△EON（SAS），EN=EM，∠NEO=∠MEA，
即∠NEF+∠FEO=∠MEA，而∠MEA+∠MEO=90°，
∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，
∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF（SAS），∴NF=MF，
∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，即．
注：本题第(3）问的原型：已知正方形AEOP，∠GEH=45°,
将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合,∠GEH的两边分别
交PO、AP的延长线于F、M，求证：AM=MF+OF．

点评：
此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质结合求解，综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．
200．写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：
(1）点B、E的位置有什么特点；
（2)从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？

考点:
关于x轴、y轴对称的点的坐标．4435607
专题：
几何图形问题．
分析：
根据图象可直观看出点B和点E在y轴上,且到x轴的距离都是2个单位长度所以它们关于x轴对称；点C与点D也是关于x轴对称，所以它们的横坐标相同纵坐标互为相反数．
解答：
解：(1）点B（0，﹣2）和点E（0,2）关于x轴对称；
(2)点B（0,﹣2)与点E(0，2）,点C（2，﹣1)与点D(2，1），它们的横坐标相同纵坐标互为相反数．

点评：
主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同,纵坐标互为相反数；
(2）关于y轴对称的点，纵坐标相同,横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数．
201．在平面直角坐标系中,已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．
解答:
解:根据题意，得，
解得．
点评：
这一类题目是需要识记的基础题．解决的关键是对知识点的正确记忆．
这类题目一般可以转化为方程或方程组的问题,能够熟练运用消元法解方程组．