圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).doc

圆锥曲线
一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；
（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2

A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1

顶 点

对称轴
轴，轴；短轴为，长轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通 径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
3．常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=
（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点，则的坐标分别是
二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：与（）表示双曲线的一支。
表示两条射线；没有轨迹；
（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准
方程

图 形

x
O
F1
F2
P
y
A2
A1

y
x
O
F1
P
B2
B1
F2

顶 点

对称轴
轴，轴；虚轴为，实轴为
焦 点

焦 距

离心率
（离心率越大，开口越大）
渐近线

通 径

（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
（4）常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=
（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是
三、抛物线：
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。
（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：

焦点在轴上，
开口向右
焦点在轴上，
开口向左
焦点在轴上，
开口向上
焦点在轴上，
开口向下
标准
方程

图 形
x
O
F
P
y

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

O
F
P
y

x

顶 点

对称轴
轴
轴
焦 点

离心率

准 线

通 径

焦半径

焦点弦

焦准距

四、弦长公式：
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程
的判别式和的系数
求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。
法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：
注意（1）上面用到了关系式和

注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。
法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。
六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
例1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为，点P的坐标为，由，
得，即，．
因为点P在圆上，所以．即，
即，这就是动点M的轨迹方程．
例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点，求椭圆的标准方程
解法1 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义可知：
又所以所求的标准方程为
解法2 ，所以可设所求的方程为，将点代人解得： 所以所求的标准方程为
例3.

例4.

高二圆锥曲线练习题1
1、F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
2、已知的周长是16，，B, 则动点的轨迹方程是( )
(A) (B) (C) (D)
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4、设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5、设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）.
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
6、双曲线的实轴长是（ ）
（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4
7、双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
8、以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9、、过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10. “”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的 （ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .
(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1); .
(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;
(4)离心率为，经过点(2，0);
12、与椭圆轴长为2的椭圆方程是：
13、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为：
14、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 ．
15、 已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积是9，则 ．
16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（ 4， ），Q （ ）两点的椭圆方程。
圆锥曲线练习题2
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。
A． B． C． D．
3．以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
4．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
5．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______________.
10．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为______________。
11．抛物线的准线方程为＿＿＿.
12．椭圆的一个焦点是，那么 。
13．椭圆的离心率为，则的值为____________。
14．双曲线的一个焦点为，则的值为__________。
15．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。
16．为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？

17．在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。

18．双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。

19．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，
求△的面积。

高二圆锥曲线练习题
1、F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是( D )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
2、已知的周长是16，，B, 则动点的轨迹方程是( B )
(A) (B) (C) (D)
3、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ D ）
A． B． C． D．
4、设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ A ）
A． B． C． D．
5、设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ C ）.
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
6、双曲线的实轴长是（C ）
（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4
7、双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（ A ）
A． B．2 C． D．1
8、以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ A ）
A． B．
C． D．
9、、过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
10. “”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆的 （ C ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析:将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以，
11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; )或; .
(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1); .
(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的; 或;
(4)离心率为，经过点(2，0); 或.
12、与椭圆轴长为2的椭圆方程是：
13、在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为．过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为：（）
14、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 8 ．
15、 已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积是9，则 3 ．
16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P（ 4， ），Q （ ）两点的椭圆方程。
解：设椭圆方程为，将P，Q两点坐标代入，解得
故为所求。
圆锥曲线练习题2
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ B ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ C ）。
A． B． C． D．
3．以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ C ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
4． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（ C ）
A． B． C． D．
5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ D ）
A．或 B．
C．或 D．或
6．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ B ）
A． B． C． D．
7．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ D ）
A． B． C． D．
8．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ D ）
A． B． C． D．
9．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ A ）
A． B． C． D．
10．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______ ________.
11．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________。
12．抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.
13．椭圆的一个焦点是，那么 1 。
14．椭圆的离心率为，则的值为______________。
15．双曲线的一个焦点为，则的值为______________。
16．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。
17．为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
解：由，得，即

当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点。
18．在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。
解：设点，距离为，
当时，取得最小值，此时为所求的点。
19．双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。
解：椭圆的焦点为，设双曲线方程为
过点，则，得，而，
，双曲线方程为。
20．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，
求△的面积。
2．解：双曲线的不妨设，则
，而
得

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