椭圆的概念、性质-直线和椭圆的位置关系.doc
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1、(完整word)椭圆的概念、性质,直线和椭圆的位置关系 高 三 数 学(第23周) 椭圆的概念、性质,直线和椭圆的位置关系【教学目标】 1、熟练掌握椭圆的定义:到两定点的距离之和等于定长(大于两定点间的距离)的点的集合及椭圆的第二定义,并能灵活地运用定义来解决有关问题. 2、熟练掌握中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、(ab0)及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算. 3、能运用图象法,判别式法来判断直线与椭圆的位置关系,结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题.【知识讲解】 例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,
2、长、短轴都坐标上,且过点A(3,0),求椭圆的方程。 分析:椭圆的长、短轴都在坐标轴上,实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上,那么椭圆的方程一定是标准形式,但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴,还是在y轴上,因此要分两种情形来讨论. 解:1若焦点在x轴上,设椭圆的方程为,把点A(3,0)代入得则a2=9,b2=1,所以所求椭圆方程为。2若焦点在y轴上,设椭圆的方程为同理可得a2=81,b2=9,此时椭圆的方程为。说明:求出了焦点在x轴上的椭圆为后,不能简单地认为,焦点在y轴上的椭圆的方程就是。因为椭圆过一定点(3,0),则求焦点在y轴上的椭圆仍应先设出方程,再用代入法求得。例2、已知椭圆
3、,直线y=kx+4交椭圆于A、B两点,O为坐标原点,若kOA+kOB=2,求直线斜率k。解:解方程组消去y,整理得(1+4k2)x2+32kx+60=0 =(32k)2-460(1+4k2)=16(4k2-15)0 设A(x1,y1)、B(x2,y2) kOA+kOB=2等价于 即y1x2+y2x1=2x1x2 即(kx1+4)x2+(kx2+4)x1=2x1x1 整理得(k1)x1x2+2(x1+x2)=0 x1+x2= x1x2= (k-1)+2=0 解之得 k=-15 满足0 k=15例3、已知椭圆C的直角坐标方程为,若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于A (x1、y1),B (x2
4、,y2),两点(其中y1y2),且满足,试求直线的方程。解:由已知条件,可知椭圆C的左焦点F的坐标为(1,0),设的方程为y=k (x1),则与C的两个焦点:A (x1、y1),B (x2,y2),y=k (x1) ,代入得: (3+4k2)x28k2x+4k212=0,x1+x2= x1x2= ,由条件,即x1=32x2 x2=,x1=,代入得:k2=,k=,易见x1x2,因y1y2,故k= 方程:y=例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30的平面所截,截口是一个椭圆,求这个椭圆的长、短轴长及离心率. 解:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,由题意可知,b=R=6,又因为截面与底面所成角
5、等于30,则,椭圆的长轴长为8,短轴长为12,离心率。 例5、设A(x1,y1)为椭圆x2+2y2=2上任意一点,过点A作一条直线,斜率为,又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证:为定值。 分析:根据椭圆的第二定义,即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆,椭圆上任一点P(x1,y1)到左焦点F1的距离|PF1=a+ex1,到右焦点F2的距离|PF2=a-ex1;同理椭圆上任一点P(x1,y1)到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1,这两个结论我们称之为焦半径计算公式,它们在椭圆中有着广泛的运用. 解:由椭圆方程可知a2=2,b
6、2=1则c=1,离心率,由焦半径公式可知,。又直线的方程为:即x1x+2y1y-2=0,由点到直线的距离公式知,又点(x1,y1)在椭圆上,2y12=2=x12,为定值. 例6、已知椭圆,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M,使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。 解:假设存在满足条件的点,设M(x1,y1)a2=4,b2=3,a=2,c=1,,,点M到椭圆左准线的距离,,或,这与x1-2,0)相矛盾,满足条件的点M不存在. 例7、直线:6x5y28=0交椭圆(ab2)于B、C两点,A(0,b)是椭圆的一个顶点,而ABC
7、的重心与椭圆的右焦点F重合,求椭圆的方程. 解:设BC的中点D(x0,y0),F(c,0),由定比分点公式可知,,又点D在直线上,又设B(x1,y1)、C(x2,y2)则 两式相减得:,代入得:,2a2-5bc=0 又a2=b2+c2由、可得c=2或。当c=2时,代入得b=4,则a2=20,当时,舍去。所求椭圆的方程为.例8、焦点在x轴上的椭圆绕上顶点逆时针旋转90后,一条准线方程为y=,求旋转前后的椭圆方程及它们的焦点坐标。解:a=,b=3,c=,旋转后椭圆的中心为(3,3) 3+= 3+= 解之得:m=4或(均满足5m+59) 旋转前椭圆的方程为和 其焦点坐标分别为(4,0)(4,0)和(
8、-,0)(,0) 旋转后椭圆方程为和 其焦点坐标分别为(3,7)(3,-1)和(3,)、(3,)。 例9、已知椭圆(ab0)上两点A、B,直线上有两点C、D,且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y22y-8=0,求椭圆方程和直线的方程。 解:圆方程x2+y2-2y8=0即x2+(y1)2=9的圆心O(0,1),半径r=3。 设正方形的边长为p,则,,又O是正方形ABCD的中心,O到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即,由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。 (1)设AB:y=x-2 由 y=x2 CD:y=x+4 x2+y2-2y8=0 得A(3,1)B(0,2),又点A、
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