直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案).doc

(完整word)直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定
[学习目标]　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2。会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.

知识点一　直线与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
⇒a∥α

思考　若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗?
答　根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误。
知识点二　平面与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
⇒α∥β

思考　如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？
答　不一定。这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内。

题型一　直线与平面平行的判定定理的应用
例1　如图，空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：（1)EH∥平面BCD；
（2)BD∥平面EFGH。
证明　(1）∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，
EH⊂平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH。

跟踪训练1　在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC。
证明　如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P,Q两点，连接PQ。
因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心,
所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.
所以MN∥PQ。
又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC,
所以MN∥平面ADC.

题型二　面面平行判定定理的应用
例2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB∥平面ADC1.
证明　由棱柱性质知，
B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC,B1C1的中点,
所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D⊂平面ADC1，
EB⊄平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1綊BD,
所以四边形EDBB1为平行四边形,则ED綊B1B.

因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1。
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，
A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，
且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1。

跟踪训练2　已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上,点F在CC1上，点G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.
求证:（1)E，B，F，D1四点共面;
（2）平面A1GH∥平面BED1F.
证明　（1)∵AE＝B1G＝1,∴BG＝A1E＝2.
又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1G∥BE.
连接FG。∵C1F＝B1G,C1F∥B1G，
∴四边形C1FGB1是平行四边形，
∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，
∴四边形A1GFD1是平行四边形,
∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB。
故E，B,F，D1四点共面.
（2）∵H是B1C1的中点，∴B1H＝。
又∵B1G＝1，∴＝。
又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，
∴△B1HG∽△CBF，
∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB。
又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，
∴平面A1GH∥平面BED1F。

题型三　线面平行、面面平行判定定理的综合应用
例3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?请说明理由.
解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：
连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴PQ∥DC∥AB,PQ＝DC＝AB,
∴四边形ABQP是平行四边形,∴QB∥PA.
又∵O为DB的中点,∴D1B∥PO.
又∵PO∩PA＝P,D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO。

跟踪训练3　如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC，E,F分别是棱CC1，BB1上的点,EC＝2FB.M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF？请说明理由.

解　当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：
方法一　如图1，取AE的中点O，连接OF,OM.
∵O，M分别是AE，AC的中点，
∴OM∥EC，OM＝EC。
又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF,OM＝BF，
∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.
又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF,
∴BM∥平面AEF。

方法二　如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.
∵PM是△ACE的中位线，
∴PM∥AE.
∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF,PE∥BF,
∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.
又∵PM⊄平面AEF,PB⊄平面AEF，
∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF。
又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF。
又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.

面面平行的判定
例4　已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M,N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在,试作出该平面，并证明你的结论；若不存在,请说明理由。
分析　根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点,试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.
解　如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：

下面以图①为例进行证明.
如图①，取B′C′的中点E，连接BD,BE，DE，ME，B′D′，
可知四边形ABEM是平行四边形，
所以BE∥AM.
又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
因为MN是△A′B′D′的中位线，
所以MN∥B′D′.
因为四边形BDD′B′是平行四边形,
所以BD∥B′D′.
所以MN∥BD。
又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE,
所以MN∥平面BDE。
又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN,且AM∩MN＝M，
所以由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.

1。过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　)
A。不可能作出 B。只能作出一个
C。能作出无数个 D。上述三种情况都存在
2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　）
A。1个或2个 B。0个或1个
C。1个 D.0个
3.若线段AB，BC,CD不共面，M，N,P分别为线段AB，BC，CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系是（　　)
A.平行 B.直线在平面内
C。相交 D.以上均有可能
4。在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是（　　）
A。平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G
5。梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α,CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________。

一、选择题
1.下列说法正确的是（　　)
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.
A.①③ B。②④ C。②③④ D。③④

2。平面α与平面β平行的条件可以是（　　）
A。α内有无穷多条直线与β平行
B.直线a∥α，a∥β,且直线a不在α与β内
C.直线a⊂α，直线b⊂β,且b∥α，a∥β
D。α内的任何直线都与β平行
3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有(　　)

A。2对 B。3对 C。4对 D.5对
4。如果直线a平行于平面α,那么下列命题正确的是（　　）
A。平面α内有且只有一条直线与a平行 B.平面α内有无数条直线与a平行
C。平面α内不存在与a平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a都平行
5。在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　)
A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B。EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C。HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（　　）
A.平行 B。相交 C。平行或相交 D.可能重合
7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A。l∥β，l⊂α⇒α∥β B。l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β
C。l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β D.l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β
二、填空题
8。三棱锥SABC中,G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
9。如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF。
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA,PD,PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD; ②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC； ④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG；
其中正确结论的序号是________。
三、解答题
11。如图,在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形,点M，N,Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD。求证:平面MNQ∥平面PBC。

12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D？

当堂检测答案
1。答案　D
解析　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.
2。答案　B
解析　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α。
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交,不能作出与平面α平行的平面。故满足条件的平面有0个或1个.
3.答案　A
解析　连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点,M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上。∴直线BD与平面MNP平行。
4.答案　A
解析　如图，∵EG∥E1G1，
EG⊄平面E1FG1，
E1G1⊂平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，
∴平面E1FG1∥平面EGH1。
5.答案　CD∥α
解析　因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.

课时精练答案
一、选择题
1。答案　D
解析　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理,知EF,BC都平行于平面ADD1A1,用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线"的区别）;④是平面与平面平行的判定定理,正确.
2。答案　D
解析　对于A项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A错误；对于B项,当a平行于α与β的交线时，也能满足,但此时α与β相交，故B错误；对于C项，当a和b都与α与β的交线平行时,也能满足，但此时α与β相交，故C错误;对于D项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D正确。
3。答案　C
解析　侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行。
4。答案　B
解析　如图,直线B1C1∥平面ABCD，B1C1∥BC，B1C1∥AD,B1C1∥EF（E，F为中点)等，平面ABCD内平行于BC的所有直线均与B1C1平行。但AB与B1C1不平行.

5。答案　B
解析　易证EF∥平面BCD.
由AE∶EB＝AF∶FD,知EF∥BD，且EF＝BD。
又因为H，G分别为BC，CD的中点，
所以HG∥BD，且HG＝BD.
综上可知，EF∥HG，EF≠HG,
所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD。
6。答案　C
解析　若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.
7。答案　D
解析　如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，
则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC,
但是平面AC与平面DC1不平行，
所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，
B1C1∥平面AC。EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1,又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.
二、填空题
8。答案　平行
解析　如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF,又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC,
∴EG∥平面SBC。
9。答案　①②③④
解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图:

则易判定四个命题都是正确的.
10.答案　①②③④
解析　把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可。
三、解答题
11。证明　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
又因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD,所以MQ∥BC.
因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.
12.解　如图,在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G,连接ME,EF,FG，GM.
因为M是AB的中点，
所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG。
所以四边形MEFG是平行四边形.
因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，
所以ME∥平面BB1D1D。
在△A1B1D1中,因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，
所以平面MEFG∥平面BB1D1D。
在FG上任取一点N，连接MN，
所以MN⊂平面MEFG.
所以MN与平面BB1D1D无公共点.
所以MN∥平面BB1D1D.
总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时,都有MN∥BB1D1D，
即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时,都有MN∥平面BB1D1D。