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圆锥曲线上存在相异两点关于某直线轴对称的充要条件
定理1 椭圆上存在相异两点关于直线对称的充要条件是，且此时还有与异号或均为0，与异号或均为0.
定理2 (1)双曲线的同一支上存在相异两点关于直线对称的充要条件是且，且此时还有与异号或均为0，与同号或均为0；
(2)双曲线的不同支上存在相异两点关于直线对称的充要条件是且R，且此时还有与异号或均为0，与同号或均为0.
定理3 抛物线上存在相异两点关于直线对称的充要条件是，且此时还有与异号或均为0，与异号或均为0.
下面给出这三个定理的简洁常规的证明(对于定理1,3，以下证法还给出了两种关于充要条件的结论的证明).
在以下证明中，设线段的中点为，得；再由点在直线上可得.
定理1的证明 得，作差整理后可得

再由，可得线段的中点为.
由点差法可知，椭圆内非中心的任意一点都是该椭圆唯一一条弦的中点，椭圆的中心是该椭圆过中心的任意一条弦的中点，所以所求充要条件即点在椭圆内，可得所求充要条件是.
(注：因为过椭圆内的点作直线一定与该椭圆交于相异两点，所以以上证明中无须验证“直线与椭圆有两个不同的交点”.)
在该证明中已得的中点，所以直线即，把它与椭圆的方程联立后，可得关于的一元二次方程

由其判别式，也可得所求充要条件是.
且还可得与异号或均为0.
把直线与椭圆的方程联立后，还可得关于的一元二次方程

由其判别式，又可得所求充要条件是.
且还可得与异号或均为0.
定理2的证明 由点差法可求得线段的中点为，直线即，把它与双曲线的方程联立后，可得关于的一元二次方程

由其判别式，得

进而可得相应结论成立.
把直线与双曲线的方程联立后，还可得关于的一元二次方程

进而也可得相应结论成立.
定理3的证明 由点差法可求得线段的中点为.
由点差法可知，抛物线内的任意一点都是该抛物线唯一一条弦的中点，所以所求充要条件即点在抛物线内(即含焦点的区域)，可得欲证成立.
(注：因为过抛物线内的点作直线一定与该抛物线交于相异两点(因为在中是的二次式，在中是的一次式，所以两者一定有公共点但又不会相切，所以相交)，所以以上证明中无须验证“直线与抛物线有两个不同的交点”.)
在该证明中已得的中点，所以直线即，把它与双曲线的方程联立后，可得关于的一元二次方程

进而可得相应结论成立.
把直线与抛物线的方程联立后，还可得关于的一元二次方程

……也可得相应结论成立.
下面再举例说明以上结论及其证法的应用.
题1 若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，求的取值范围，并证明.
解法1 显然.用点差法可求得线段的中点，直线.
题意即方程组有两组不同的解，也即关于的一元二次方程

有两个不同的实数解，进而可求得的取值范围是.再由定理1可得.
解法2 同解法1得线段的中点.由点差法知，椭圆内任一点都是唯一一条弦的中点(但椭圆的中心是经过它的任意弦的中心)，所以题意即点在椭圆内，得

……而后再同解法1.
题2 若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求的取值范围，并证明.
解法1 显然.用点差法可求得线段的中点，直线.
题意即方程组有两组不同的解，也即关于的一元二次方程

有两个不同的实数解，可求得的取值范围是.再由定理3可得.
解法2 同解法1得线段的中点.由点差法知，抛物线内任一点都是唯一一条弦的中点，所以题意即点在抛物线内，得

……而后再同解法1.
题3 若双曲线上存在不同的两点关于直线对称，求的取值范围，并证明.
解 用点差法可求得线段的中点，直线.
题意即方程组有两组不同的解，也即关于的一元二次方程

有两个不同的实数解，可求得的取值范围是.再由定理2可得.
题4 若双曲线上存在两点关于直线对称，求的取值范围，并证明或.
解 用点差法可求得线段的中点，直线.
题意即方程组有两组不同的解，也即关于的一元二次方程

有两个不同的实数解，易得的取值范围是R.再由定理2可得或.
题5 若双曲线上存在两点关于直线对称，求的取值范围，并证明.
解 易知，用点差法可求得线段的中点，直线.
题意即方程组有两组不同的解，也即关于的一元二次方程

有两个不同的实数解，易得的取值范围是.再由定理2可得.
题6 已知双曲线上存在两点关于直线对称，求的取值范围，并证明.
解 易知.由点差法可得，直线.
题意即方程组有两组不同的解，也即关于的一元二次方程

有两个不同的实数解，由，得

所以所求的取值范围是.再由定理2可得.
题7 (2010年高考安徽卷理科第19题)如图1所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，离心率.

图1
(1)求椭圆E的方程；
(2)求的角平分线所在直线l的方程；
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l(笔者注：这里的直线l见第(2)问)对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.
解 (1).
(2)可求得直线的方程分别为.
设直线l上的任一点是，可得，即或.
再由直线l的斜率为正数，得直线l的方程为.
(3)由定理1可知，在椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点.
题8 (2015年高考浙江卷理科第19题)如图2所示，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

图2
解 (1)由题意知m≠0，再由定理1可求得答案为.
(2)令t＝∈∪，得|AB|＝·，且O到直线AB的距离d＝.
设△AOB的面积为S(t)，得S(t)＝|AB|·d＝ ≤(当且仅当t2＝时等号成立)．
所以△AOB面积的最大值为.
(2)可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
令t＝，得t∈∪，可求得|AB|＝·.
且点O到直线AB的距离d＝..
设△AOB的面积为S(t)，得
S(t)＝|AB|·d＝ ≤(当且仅当t2＝时，等号成立)
即△AOB面积的最大值为.
题9 (2016年高考江苏卷理科第19题)如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
①求证：线段的中点坐标为；
②求的取值范围．
解 (1)(过程略)所求抛物线的方程为．
(2)①略.
②由定理3，可得所求答案为．