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平面向量的坐标表示
一.明确复习目标
1．理解平面向量的坐标概念;
2.掌握平面向量的坐标运算,掌握共线向量的坐标表示；
二．建构知识网络
1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
(1) 若,则
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)则,

表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.
(3) 向量相等ó坐标相同。
2.平面向量的坐标运算
(1) 若，则
(2) 若=(x,y)，则=(x, y)
(3) 若，则
3. 设则
向量共线:
向量垂直:，
三、双基题目练练手
1.(2006山东)设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( )
A.（2,6） B.（-2,6） C.（2,-6） D.（-2,-6）
2.平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使||=||，则点E坐标为： ( )
A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）
3.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于 ( )
A.1 B. C. D.
剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.
4.(2005全国Ⅲ)已知向量，且A.B.C三点共线，则k= .
5.(2005湖北)．已知向量不超过5，则k的取值范围是
6.设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，O为坐标原点，则满足+=的的坐标是＿＿＿＿　
7.已知向量，,向量与平行,︱︱=4则向量的坐标是_____________
◆例题答案:1-3.DBD;
3.∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=6. 法2:利用
4. ; 5. [－6，2]; 6.（１１，６）. 7.或
四、经典例题做一做
【例1】平面内给定三个向量，回答下列问题：
（1）求满足的实数m,n；
（2）若，求实数k；
（3）若满足，且，求
解：（1）由题意得
所以，得
（2）

（3）设则
由题意得
得或,
◆方法提炼：1.利用平面向量基本定理,
2.利用共线向量定理.
【例2】（2006全国Ⅱ）已知向量。
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最大值。
解：（Ⅰ）
得 所以
（Ⅱ） 由

取最大值，
◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，要能熟练解答。
【例3】已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求。
解：设D(x,y), 则

得
所以
【例4】如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O
解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(y2)
F
A
B
C
o
y
x
则

∵ 与共线, ∴
即 （*）
代整理得，y1·y2=-p2
∵

∴ 与共线，即A、O、C三点共线，
也就是说直线AC经过原点O
解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)
欲证A、O、C共线，只需且仅需，即,又
∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明
解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。
核心步骤:

【研讨.欣赏】(2005上海)在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,22), P3(3,23)……Pn(n,2n)，其中是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，．．．，An为An-1关于点Pn的对称点。
（1）求向量的坐标；
（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)=lgx。求以曲线C为图象的函数在上的解析式；
（3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标。
解.(1)设点A0(x,y), A0关于点P1的对称点A1的坐标为(2-x,4-y),
A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),
∴={2,4}.
(2) ∵={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
又x∈(3k,3k+3)时,x-3k∈(0,3), f(x)周期是3,所以f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)
设曲线C的函数是y=g(x),则
g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, [此时x+2∈(3k,3k+3), 即 x∈3k-2,3k+1),]
是以3为周期的周期函数.
当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4.
(3) =,
由于,得
=2()
=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})
=2{,}={n,}
五．提炼总结以为师
1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算。
2、两个向量平行的坐标表示。
3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。

同步练习 平面向量的坐标表示
【选择题】
1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3，则b等于 ( )
A.（－3，6） B.（3，－6）
C.（6，－3） D.（－6，3）
2.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则= （ ）
A、（） B、（） C、（7，4） D、（）
3. （2004年辽宁，6）已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
4.（2004全国Ⅱ）已知平面上直线l的方向向量e=（－，），点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于 ( )
A. B.－ C.2 D.－2
【填空题】
5.已知且与平行，则x=______
6．（2005天津）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且| |=2,则=

◆练习简答：1-4.AADD;
4.∵是单位向量,∴在上的投影为λ=,
5.; 6.
【解答题】
7.已知平面上四点A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD为凸四边形且BD平分AC时,实数a,b应满足的条件.
解:设AC,BD交于点E,易得,又
设,(λ>1)
∴且

8.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若,试问
(1)λ为何值时,点P在一、三象限角平分线上？
（2）λ为何值时，点P第三象限？
解.设点P的坐标为（x,y），则

，由得
，点P坐标为（5+5λ,4+7λ）.

9.( 2005山东)已知向量和，且，求的值
解:　因为

由已知，得
又
所以　　
∵　所以
10. .已知A（4，0），N（1，0），若点P满足·=6||.
（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
（2）求||的取值范围；
解：（1）设P（x，y），=（x－4，y），=（1－x，－y），=（－3，0），∵·=6||，
∴－3（x－4）=6，即3x2+4y2=12.
∴=1.∴P点的轨迹是以（－1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.
（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4－x0，=e=，|PN|=d=.∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3.
当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（－2，0）.

【探索题】已知向量与的对应关系用表示
（1） 证明：对于任意向量及常数m，n恒有
成立；
（2） 设，求向量及的坐标；
求使，（p，q为常数）的向量的坐标
证：（1）设，则
，故

，
∴
（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）
（3）设=（x，y），则，
∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）

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