数理统计复习题第六、七章.doc

第六章数理统计的基本概念
三、典型题解
例1 下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查的道德60天的读者借书数，数据已经从小到大排列，数据如下
213 230 239 289 291 301 308 310 311 312 318 318 337 343 344 348 349 351 360 362 368 372 374 379 383 385 390 393 396 399 400 404 406 425 429 430 436 438 440 441 444 446 450 453 456 458 471 473 475 483 484 495 498 498 521 524 549 556 568 580
（1)构造该批数据的频率分布表（分成8组）；（2)画出频率直方图。
解 （1）数据中的最小值是213，最大值是584。这60个数据就散布在闭区间［213，584]中。取一个略大一点的区间(200，600］,它的端点都是整数。我们将（200,600]八等分，排在下表的第一列。计算数据落入各段的个数，填入第二列.计算出数据落入各段的频率,依次填入第三列。最后将各列之和填入最后一行，得到如下的频率分布表。
借出书数
发生次数
发生频率
（200,250]
3
5％
（250，300］
2
3.3％
(300，350］
12
20％
(350,400]
14
23.3％
(400,450］
12
20％
(450,500］
11
18。3
（500,550]
3
5％
（550，600]
3
5%
总数
60
99.9％
（1） 直方图如下

例2 从正态分布N（，）抽取容量为16的样本，S2为样本方差.这里和均为未知，求（1）；（2）D(S2）.
解 （1)

(2）
例3 设总体X～B（1，p),X1，X2,…，Xn为来自X的简单随机样本，
（1）求(X1，X2，…，Xn）的分布律；
(2）求的分布律；
(3）求
解 （1）（X1，X2，…,Xn)的分布律为

（1） X1，X2，…，Xn独立同分布,且X1~B（1，p）,所以,其分布律为

（2） 因为E(X）=p，D（X)=p（1-p）,所以

例4 设总体X服从N（,σ2），X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本,是样本均值，记

则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是【 】
A． B。 C。 D.
解 由抽样分布知，经过形式变换它正是B。而S3和S4与不独立，故C和D是不成立的.
例 5 从一正态总体中抽取容量为100的简单随机样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差绝对值在4以上，求总体标准差。
解 设总体X～ N(，σ2），样本均值为，则有

于是有查标准正态分布表得

例6 设总体X有概率分布
X
1
2
3
P

2（1—）

现在观察容量为3的样本，求的极大似然估计值。
解 此时似然函数为

例7 设为总体X的一个样本。求下述总体密度函数中未知参数的矩估计量

其中c>0为已知,θ>1，θ为未知参数。
解 计算总体一阶原点矩

例8 设为总体X的一个样本，在下面两种情况下,试求总体参数的极大似然估计与矩估计。
(1)X的概率函数为
（2)X的密度函数为
解 设是样本的观察值。
（1） 似然函数为

所以极大似然估计量为 .
另外
所以的矩估计量为
（2）

所以极大似然估计量为
另外，
所以的矩估计量为
【注意】本例中(1）是离散型的,而（2）是连续型的，故它们的似然函数是不一样的，希望加以注意。
例9 设为总体X的样本,记m=EX，若存在.则样本均值是m的无偏估计,样本方差是的无偏估计。
证明：因，故是m的无偏估计，而
故是的无偏估计。
例10设总体X服从（未知），是总体X的一个样本，又设,,，在中哪几个是μ的无偏估计,其中哪个是较有效的.
解 由于

，
，
，
所以是μ的无偏估计。又由于
,
,
，
由于，所以在μ的无偏估计中，是最为有效的。
例11 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(单位：h）分别为
6．0，5．7,5．8，6．5，7．0,6.3，5。6,6。1，5。0.
设干燥时间总体服从正态分布，求的置信度为0.95的置信区间。
（1）若由以往经验知=0。6（小时);（2）若为未知。
解 (1） 的置信度为0。95的置信区间为

这由1-α=0.95，α=0。05,查表得,n=9， =0.6
(6．0+5．7+5．8+6．5+7．0+6。3+5。6+6.1+5。0)=6.0
将这些值代入上区间得（5.608,6。392）.
（2) 的置信度为0。95的置信区间为

这由1—α=0.95,α=0。05,n=9，查表得，
(6．0+5．7+5．8+6．5+7．0+6.3+5.6+6。1+5.0）=6。0

将这些值代入上区间得(5。558，6.442).
例 12 某种电子产品的某一参数服从正态分布，从某天生产的产品中随机地抽取10只，测得该参数为3.0,2.7,2.9,2.8，3。1，2.6,2.5,2。8，2。4,2。9，试对该参数的方差作置信水平为95%的置信区间。
解 1-α=0.95,α=0.05，n=10,查表得

由数据算得S2=0。049,可得

所以对该参数的方差作置信水平为95％的置信区间为(0.023，0.163)。
例13 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0。05cm/s，取样本容量为n=m=20。得燃烧率的样本均值分别为,求两燃料燃烧率总体均值差的置信度为0.99 的置信区间。
解 两燃料燃烧率总体均值差的置信区间为

因为n=m=20，，
，将这些值代入上区间得(-6。04,—5。96)。
即两燃料燃烧率总体均值差的置信度为0.99 的置信区间为（—6。04，—5。96).
例14 随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根,测得电阻(单位:Ω）为
A批导线:0.143,0。142,0。143,0。137，
B批导线：0。140,0.142,0。136，0.138,0.140。
设测定数据分别来自分布，且两样本相互独立，又均为未知，试求的置信度为0.95 的置信区间。

经计算得

例 15 某厂利用两条自动化生产线装番茄酱罐头，现分别从两条流水线上随机各抽取一个样本，分别称重后算得(单位：克）

假设这两条流水线上所装番茄酱的重量都服从正态分布,求的置信水平为90％的置信区间。
解 的置信区间为

将数据代入上式

则所求置信区间为（0.285,6.188）.
四、练习题
1。 从某厂生产的零件中随机地抽取30个进行测量，测得它们的重量（单位：克)如下:
6。120 6。129 6。116 6。114 6。112 6。119 6.119 6.121 6.124 6。127 6。113 6.116 6.117 6。126 6.123 6。123 6。122 6。118 6。120 6.120 6.121 6.121 6。124 6.114 6。120 6。116 6。113 6.111 6.123 6。124
试就上述数据作出直方图。
2。 设是取自正态总体的一个样本，其中已知但未知．试问，下列随机变量中哪些是统计量?哪些不是统计计量？
（1) 
（2)，其中
(3)   
（4)min()
（5)经验分布函数在x=-1处的值
3. 设是取自总体X的一个样本．在下列三种情形下，分别写出样本(）的概率函数或密度函数
（1)
（2)  
(3）
4. 设是取自总体X的样本．在下列三种情形下，分别求出
(1)
(2）  
（3)
5。 设总体X。
(1） 抽取容量为36的样本，求
（2） 抽取容量为64的样本，求
（3) 取容量为n多大时，才能使
6．设,分别是取自正态总体的两个样本，试求统计量的分布，其中a，b是不全为零的已知常数.
7．设是取自正态总体的一个样本试证
(1) 当时, ；
（2)当时,。
8．设某厂生产的晶体管的寿命X服从指数分布E（），其中未知、＞0.今随机地抽取5只晶体管进行测试、测得它们的寿命(单位：小时）如下：
518 612 713 388  434 1059 890 950
试求该厂晶体管的平均寿命的矩估计值.
9。 设是取自总体X的一个样本，X服从参数为p的几何分布，即X的概率函数为

其中P未知,0〈P<1。试求P的极大似然估计。
10. 设 是取自总体X的一个样本，X服从参数为与的对数正态分布(即），X的密度函数为

其中和 均未知，，＞0．试求与的极大似然估计。
11。 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
其中 未知， .
（1)试证， 的极大似然估计为 .
(2） 试证， 不是 的无偏估计，但是 的无偏估计；
12．设 是取自总体X的一个样本,X的密度函数为

其中 未知， ＞0。
（1) 试求 的极大似然估计，并证明它不具有无偏性;
(2） 试求常数c，使得 成为 的无偏估计；
(3） 试求 的矩估计的方差；
(4） 试求 的矩估计，并证明当n=1时它不具有无偏性。
13．设 是取自总体X的一个样本，n≥2 ，,其中p未知，0＜P＜1。试证
（1) 是p的无偏估计；
（2) 不是 的无偏估计；
（3)是 的无偏估计，
14。 设 是取自正态总体 的一个样本，其中和 均未知，，＞0．试确定常数c,使得成为的无偏估计。
15．设 是取自总体X的一个样本，X的密度函数为
其中 未知， ＞0.
(1) 试求 的矩估计 ；
(2） 试证 是 的无偏估计，并求出它的方差 。
16. 设与都是未知参数 的无偏估计，且 与 相互独立，。试确定常数c与d ，使得 仍是 的无偏估计,且在这类无偏估计中方差达到最小.
17. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力／平方厘米），从中随机地选取了10个样品作试验.由试验所得数据算得＝6720,s＝220．假定钢索所能承受的张应力服从正态分布，试在置信水平95％下分别估计这批钢索所能承受的平均张应力的范围与至少能承受的平均张应力。
18．假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命,现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命(单位:万公里）如下：
4。68 4.85 4。32 4.85 4。61 5.02 5。20 4。60 4。58 4。72 4。38 4.7
试在置信水平95％下求均值的置信区间。
19. 已知某种油漆的干燥时间(单位:小时)服从正态分布，其中与均未知，，＞0．现在抽取了4个样品作试验，得数据，并由此算得 。试分别求未知参数与 的双侧90%置信区间.
20. 某厂生产的零件重量服从正态分布N(m，s 2）,现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）
45。3 45。4 45。1 45。3 45.5 45.7 45。4 45.3 45.6
试求总体标准差s 的0。95置信区间。
21。 设 是取自正态总体的一个样本.其中未知 ，但已知。试问,样本大小n至少取多大才能使双侧1-置信区间的长度不超过l。其中l是预先指定的一个正数。
22。 设是取自正态总体的一个样本，其中 未知， .试求知的双侧1—置信区间。其中k、c是常数，k〉0。
23。 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位:千克/亩)分别为：
甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615
乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426
假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.（a =0。05）.
24. 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布.现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒,得其直径数据如下（单位：厘米）：
甲班：5。06 5.08 5.03 5。00 5.07
乙班：4。98 5.03 4。97 4。99 5.02 4.95
试求两班加工套筒直径的方差比的0.95置信区间。
25。 甲、乙两台机床加工同一种零件．在机床甲加工的零件中抽取9个样品，在机床乙加工的零件中抽取6个样品，并分别测量它们的长度（单位：毫米).由所给数据算得＝0.245，＝0。357．在置信水平0.98下，试求这两台机床加工精度之比的双侧置信区间．假定测量值都服从正态分布，方差分别为。