向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广.doc

(完整版)向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广
一、奔驰定理及证明
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图1
如图1,已知P为内一点，则
奔驰定理
证明：若,则,不妨设
（1)

同理可得，

奔驰定理得证
最简单的一个就是面积法.用三角形面积公式带入,约去三条线段长度之积，得到三个单位

向量的关系,将它们放入单位圆中.图2
如图2，已知，所对的角分别为则
真·奔驰定理
这时的图形就真的很想奔驰车标了，所以我称它【真·奔驰定理】。
奔驰车标
接下来，我们要证明的就是这个了。
这个证明只需要建立平面直角坐标系，利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。
于是整个定理就得到了证明。
二、奔驰定理在向量中应用
例1、若内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且，则该的面积为 。
答案：
答案解析：由奔驰定理得:

例2、【2016年清华领军】，则
答案：
例3、，且满足｜PB|=2，|PA|=2,，且，则 的面积为（ ）

答案:
三、奔驰定理推广
推广1、如果P不在三角形内呢？
既然有向量，那么我们可以给面积也定义方向,当然有向面积不是向量，只是有正负，内部为正，外部为负。因为我没有想出合适的符号，所以用了向量的符号。在三角函数定义时,三角函数线是有向线段,x轴上方为正，下方为负
图3
如图3，已知P为平面内一点，则
EX·奔驰定理

这个是对奔驰定理的推广，我称它为【EX·奔驰定理】。
那么最后我们对它做进一步推广,大家可以来思考一下。
推广2、【EX·奔驰定理-A】将三角形改为多边形，结论是否依旧成立？
推广3、【EX·奔驰定理—B】将三角形改为棱锥，P为顶点,结论是否依旧成立？
若不成立，需要如何修改？

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