平行四边形全部讲义.doc

(完整版)平行四边形全部讲义平行四边形1、 平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1） 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2） 表示：平行四边形用符号“ ”表示,平行四边形ABCD记作“ ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。（3） 平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质。由定义知平行四边形两组对边分别平行；由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形.（4） 平行四边形的基本元素：边、角、对角线。例1、在 ABCD中,EFAB，GHBC，EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形。 A E D G P H B F C考点二、平行四边形的性质（1） 边的性质：平行四边形的对边平行且相等。（2） 角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等.（3） 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。例2、在 ABCD中，A+C=160，求A、B、C、D的度数。 A B C D考点三、平行四边形的对角线的性质（1） 平行四边形的对角线互相平分。例3、在 ABCD中,对角线AC、BD相交于O点，若AC=14，BD=8，AB=10，则OAB的周长为_.AODCB练习题一、感受理解1已知O是 ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=12cm，则BOC的周长是_2已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AOB的面积为2,那么平行四边形ABCD的面积为_3已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm，则这个平行四边形的两条邻边长分别为_4平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是_5平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ）A外角和等于360 B对角线互相平分C内角和等于360 D有两条对角线6.如图,ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）A.8.3B。9。6C.12.6D.13.67在 ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ） A AB=4,AD=4 B AB=4，AD=7 C AB=9，AD=2 D AB=6,AD=28平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ） A 8cm和14cm B 10cm和14cm C 18cm和20cm D 10cm和34cm9在 ABCD中,AB=2，BC=3，B=60，则 ABCD的面积为（ )A 6 B C 3 D 3二、思考运用1如图，在 ABCD中，AE平分BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm,求EC的长2、ABCD中，A=150，AB=8 cm,BC=10 cm，求：四边形ABCD的面积.3如图，在 ABCD中，ADDB，AC与BD相交于点O，OD=1,CAD=30,求AC和DC的长4、如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点,BEAC，DFAC，垂足分别为E、F。那么OE与OF是否相等？为什么？5如图，在 ABCD中,点E，F在对角线AC上，且AE=CF请你以点F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等（只需证明一组线段相等即可)(1）连结_ (2）猜想：_=_（3）证明 6如图，在中,过AC中点O的直线分别交BC、AD的延长线于E、F,那么吗?为什么？三、探究拓展1有两张全等的三角形纸片,三角形纸片的三条边长分别为2cm，3cm，4cm你能用这两张三角形纸片拼出几种形状不同的平行四边形？ （1)请画图说明各种不同拼法，并说明理由：（2)计算所拼的各个平行四边形的周长2、 平行四边形的判定考点一、利用边判定平行四边形（1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。例1、 在四边形ABCD中,AB=CD, ADB=CBD=90,则四边形ABCD是平行四边形吗?D CA B考点二、利用对角线判定平行四边形（1） 两组对角线互相平分的四边形是平行四边形。CD例2、(2012云南) AECF的对角线相交于点O,DB经过点O，分别与AE，CF相交于B,D,求证:四边形ABCD是平行四边形。FOEBA考点三、三角形的中位线（1） 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（2） 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。例3、求证：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。考点四、两条平行线间的距离（1） 定义:两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离。（2） 性质：两条平行线间的距离处处相等。 夹在两条平行线间的平行线段相等。例4、直线AB直线CD，ACD与BCD的面积相等吗？ A B C D练习题1、以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（ )A、4个 B、3个 C、2个 D、1个2下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ) A一组对边相等； B两条对角线互相平分 C一组对边平行； D两条对角线互相垂直3、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A、一组对边相等，另一组对边平行;C、一组对角相等，一组邻角互补；B、一组对边平行，一组对角互补;D、一组对角互补，另一组对角相等。4、如图1，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,则图中平行四边形一共有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5、如图1所示,在ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到F，使EFDE,若AB10，BC8，则四边形BCFD的周长_。6、如图2,在ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点,则图中的平行四边形共有_个，其中_ _。7、BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是_8、 如图, 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形变式一：在ABCD中，E,F为AC上两点，BE/DF求证:四边形BEDF为平行四边形变式二：在ABCD中，E,F分别是AC上两点，BEAC于E,DFAC于F.求证:四边形BEDF为平行四边形。想一想：在ABCD中， E，F为AC上两点， BEDF那么可以证明四边形 BEDF是平行四边形吗？9、如图,平行四边形ABCD中,AFCH，DEBG。求证：EG和HF互相平分.10、如图所示，在四边形ABCD中，M是BC中点,AM、BD互相平分于点O，那么请说明AM=DC 且AMDC 11、如图，在ABCD中,已知两条对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点,尽可能多地画出平行四边形12、在四边形ABCD 中，ADBC，且AD BC,BC = 6cm，P,Q 分别从A，C 同时出发,P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 成为平行四边形？ 13、如图，在ABC中，BD平分ABC，DEBC交AB于点E，EFAC交BC于点F，那么BE=CF，请你说明理由。14、 已知，如图,ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DGBC，交AB于点G，在GD和延长线上取点E,使DEDC，连接AE、BD。 （1）求证：AGEDAB；_G_F_E_D_C_B_A（2）过点E作EFDB,交BC于点F，连结AF，求AFE的度数。15、如图4。417，等边三角形ABC的边长为a，P为ABC内一点，且PDAB,PEBC，PFAC，那么,PD+PE+PF的值为一个定值。这个定值是多少?请你说出这个定值的来历.16.如图所示，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点，求证：四边形AP1CP2是平行四边形17.已知如图所示,点O为平行四边形ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于E、F两点，求证：AE=CF18。已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，又知G、H分别为OA、OC的中点求证:四边形EHFG是平行四边形3、 矩形考点一、矩形的定义（1） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。例1、在 ABCD中，AB=3，BC=4，AC=5，则 ABCD是矩形吗？ A D B C考点二、矩形的性质（1） 矩形具有平行四边形的所有性质；（2） 矩形的对角线相等；（3） 矩形的四个角都是直角；（4） 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。例2、E，F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF。求证：BE=CF。 A D E F OCB考点三、直角三角形斜边上的中线的性质（1） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。A例3、BD、CE是ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点,求证：FGDEFEDCGB考点四、矩形的判定方法（1） 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（2） 方法一:对角线相等的平行四边形是矩形。（3） 方法二：有三个角是直角的四边形是矩形.DA例4、 ABCD的四个内角的角平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形.GFHECB练习题一、选择题1矩形具备而平行四边形不具有的性质是( ) A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D对角线相等2在下列图形性质中，矩形不一定具有的是( ） A对角线互相平分且相等 B四个角相等 C既是轴对称图形，又是中心对称图形 D对角线互相垂直平分3若矩形的一条对角线与一边的夹角是40,则两条对角线相交所成的锐角是（ ) A20 B40 C80 D1004直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（ ） A26 B13 C30 D655下列识别图形不正确的是（ )A有一个角是直角的平行四边形是矩形；B有三个角是直角的四边形是矩形C对角线相等的四边形是矩形 D对角线互相平分且相等的四边形是矩形6四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定它是矩形的是（ ） AAB=CD，ABCD，BAD=90 BAO=CO，BO=DO，AC=BD CBAD=ABC=90，BCD+ADC=180 DBAD=BCD,ABC=ADC=907如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点,则SBEF为（ ）A8 B12 C16 D24 （1） （2) (3）8（2006成都）把一张长方形的纸片按如图2所示的方式折叠，EM、FM为折痕,折叠后的C点落在BM或BM的延长线上，那么EMF的读度为（ ）A85 B90 C95 D1009（2006黑龙江）如图3,在矩形ABCD中,EFAB，GHBC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ) A3对 B4对 C5对 D6对10如图4，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为( ）A98 B196 C280 D284二、填空题11矩形ABCD中,对角线AC=10cm，AB：BC=3:4，则它的周长是_12矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm,又AOB的周长比ABC的周长少7cm，则AB=_cm，BC=_cm13在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB=110，则OAB=_14如图5所示,把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则FAC=_,FCA=_ (4） （5) （6)15如图6，在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，添加的条件是:_三、解答题16已知:如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，对角线AC、BD相交于点O,且BE：ED=1：3，AB=6cm，求AC的长17已知：如图，M为ABCD的AD边上的中点，且MB=MC，求证：ABCD是矩形18（2006泸州)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DFAE,垂足为F，线段DF与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明即DF=_（写出一条线段即可)19如图，四边形ABCD中，ABC=ADC=90,M、N分别是AC、BD的中点,那么MNBD成立吗?试说明理由20（2006江苏淮安)如图，AB=CD=ED，AD=EB，BEDE，垂足为E （1）求证：ABDEDB;（2)只需添加一个条件，即_,可使四边形ABCD为矩形,加以证明21如图，在ABCD的纸片中，ACAB，AC与BD相交于点O，将ABC沿对角线AC翻转180，得到ABC （1）求证:以A，C，D，B为顶点的四边形是矩形（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即SACE22（2006南宁)如图a中的矩形ABCD,沿对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平行移动，得到图b在图b中，ADCCBA,ACAC,ABDC除DAC与CBA外，指出有哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？选择其中一对加以证明 （a) （b)23如图所示，以ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即：ABD，BCE，ACF，回答下列问题: （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当ABC满足什么条件时，以A,D,E，F为顶点的四边形不存在？4、 菱形考点一、菱形的定义（1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形例1、四边形ABCD中,ABCD，AB=CD=BC，则四边形ABCD是菱形吗？ A DB C考点二、菱形的性质（1） 菱形的四条边都相等;（2） 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。（3） 菱形是轴对称图形，它有2条对称轴.例2、已知菱形周长为16cm,两邻角之比为1:2，则较短对角线的长为_。考点三、菱形的判定方法（1） 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2） 判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形。A例3、AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD,分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？OFEDCB考点四、菱形面积的计算（1） 菱形面积=底高=两对角线乘积的一半。A例4、已知菱形ABCD的边长为2cm，BAD=120，对角线AC和BD相交于点O,求这个菱形的面积。OBDC练习题一、选择题1把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形ABCD的位置,它们重叠部分的四边形AFCE是( ) A正方形 B矩形 C菱形 D不确定 2如图,菱形ABCD中,B60，AB2,E、F分别是BCCD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ） A B C D 3已知菱形的周长为96，两个邻角的比是12，这个菱形的较短对角线的长是（ )A21 B22 C23 D244若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为（ ） A240 cm2 B120 cm2 C60 cm2 D30 cm25如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( ) ABCDABCD6如图，在三角形中，、分别是、上的点, 沿线段翻折，使点落在边上,记为若四边形是菱形，则下列说法正确的是（ ） A是的中位线 B是边上的中线 C是边上的高 D是的角平分线7如图，将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ )ABCD8若菱形的边长为1cm,其中一内角为60,则它的面积为 ( ） A B C D9一个菱形两条对角线之比为12,一条较短的对角线长为4cm，那么菱形的边长为( ) A2cm B4cm C D210如图，在菱形ABCD中,A110，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC( ）A35 B45 C50 D55二、填空题11如图，菱形的边长为1,；作于点,以为一边,做第二个菱形，使；作于点，以为一边做第三个菱形，使；依此类推，这样做的第个菱形的边的长是 1B33AC2B2C3D3B1D2C112如图，菱形的边长为2，则点的坐标为 O(B)ADxyC13如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 14菱形ABCD中，AE垂直平分BC,垂足为E，AB4cm那么，菱形ABCD的面积是 ，对角线BD的长是 ADCEB15如图，菱形的对角线相交于点请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形16如图，菱形中,是对角线的交点，则_cm17菱形的对角线长分别为6和8,则菱形的边为 ，菱形的面积为 。18己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的值是 19如图，ABCD中,AE、CF分别是BAD和BCD的角平分线,根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 (只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点和“线”)。20如图，在菱形中,，、分别是、的中点,若，则菱形的边长是_三、证明题21矩形ABCD的对角线相交于点O，DE/AC，CE/DB,CE、DE交于点E,请问:四边形DOCE是什么四边形?请说明理由22在矩形ABCD中,AB6cm, BC8cm，若将矩形对角线BD对折,使B点与D点重合，四边形EBFD是菱形吗？请说明理由,并求这个菱形的边长四、解答题23在矩形ABCD中，AB6cm， BC8cm， 若将矩形对角线BD对折，使B点与D点重合,四边形EBFD是菱形吗？请说明理由,并求这个菱形的边长24如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点(1）探究：线段与的数量关系并加以证明;(3分)（2）当点在边上运动时,四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3分)（3)当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形?(3分)AFNDCBMEO25如图，点E,F分别是菱形ABCD中BC,CD边上的点(E,F不与B，C，D重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AEAF26两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置,ABBF求证：四边形BNDM为菱形27如图，四边形ABCD是菱形,DEAB交BA的延长线于E,DFBC，交BC的延长线于F.请你猜想DE与DF的大小有什么关系?并证明你的猜想5、 正方形考点一、正方形的定义（1） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.A例1、ABC中，ABC=90，BD平分ABC,DEBC，DFAB,试说明四边形BEDF是正方形。DFBCE考点二、正方形的性质（1） 四条边都相等，邻边垂直,对边平行；（2） 四个角都是直角；（3） 对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;（4） 是轴对称图形，有4条对称轴；（5） 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45,正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰三角形.AB例2、点E是正方形ABCD内的一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA,延长BE交边AD于点F。（1） 求证：ADEBCEFE（2） 求AFB的度数。DC考点三、正方形的判定（1） 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；（2） 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。ABCDFEHG例3、已知点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AE=BF=CG=DH。求证:四边形EFGH是正方形.练习题一、填空1、正方形的对称轴有条，它的对称中心是.2、正方形的边长为4cm，则周长为，面积为.3、正方形的对角线与一边的夹角为。4、已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AEAD,ADE75，则AEB.5、菱形的周长为20cm,相邻内角度数之比为21，则菱形较短的对角线长为cm。6、已知:矩形ABCD中，AB2CB，点E中DC上，且AEAB，则EBC。7、以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则FAB。8、一个正方形的对角线长3cm，则它的面积为。9、 如图所示，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、C、D都是小正方形的顶点,则四边形ABCD的面积为。10、正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点,则点P到AC、BD的距离之和是.11、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是形。12、如图所示不，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H,若AM10cm,则GH。13、 如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中心,则图中阴影部分的面积是。二、选择1、在四边形ABCD中,O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是。A、ACBD，ABCD，ABCDB、ADBC,ACC、AOBOCODO，ACBDD、ACCO，BODO，ABBC2、如图所示，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CECH,连结DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是.A、 BEDHB、 B、HBEC90C、 C、BGDHD、 D、HDCABE903、正方形具有而菱形没有的性质是。A、对角线互相平分B、每条对角线平分一组对角C、对角线相等 D、对边相等4、 以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形,一共可作. A、1个B、2个C、3个D、4个5、在正方形ABCD所在平面内找一点P,使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有。A、5个B、12个C、9个D、15个6、如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ADE，则AEB.A、10B、15C、20D、12.57、下列说法错误的是A、四个角相等的四边形是矩形B、四条边相等的四边形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形8、如图所示，在平行四边形ABCD中，AD2DC，M、N分别在AB两边的延长线上，且有MAABBN，则MC与DN的关系是。A、相等B、垂直C、垂直且相等D、不能确定9、两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是cm2。A、75B、150C、200D、300三、说理与简答1、如图所示，正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PEAB于E，PFBC于F。请猜想EF与PD的数量关系、位置关系，并说明理由。2、已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A,把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE。试说明：DGBE.3、已知:如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AD、DC的交点，AF、BE交于点G，连结CG，试说明:CGB是等腰三角形。4、如图所示，在RtABC中，C90，A、B的平分线交于点D，DEBC于E，DFAC于F，试说明四边形CEDF为正方形。5、已知:如图所示，E、F分别是正方形的边BC、DC上的点，且EAF45，求证：BEDFEF6、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MNDM，BN平分CBE，试说明：MDMN。7、已知:如图所示,ABCD是正方形，过B作BFAC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明:FCA5F.8、如图所示，ABCD是正方形，AEDB，BEBD，BE交AD于F，试说明:DEF是腰三角形。9、如图所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AGEB,垂足为G，AG交BD于F，请说明OEOF对于上述命题,若点E在AC的延长线上，AGEB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图所示,请你想一想,结论“OEOF”还成立吗？如果成立,请给予说明;如果不成立,请说明理由.10、如图所示,点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PEMC，PFBM,垂足分别为E、F。当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形，请猜想并说明理由。在中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？11、四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D同时出发,沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A移动.运动中的四边形PQEF是正方形吗？请说明理由;PE在运动中是否总过某一点？请说明理由是；四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？12、如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8个小块，每个小块的面积分别为S1，S2，S8.试比较S3与S2S7S8的大小，并说明理由；将前述问题条件中的正方形ABCD变为ABCD,其余条件不变，上述结论还成立吗?13、如图所示，在矩形ABCD中，AB24cm,BC12cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t(s）表示移动时间(0t12），那么：当t为何值时,QAP为等腰直角三角形；求出此时四边形QAPC的面积,并提出一个与计算结果有关的结论。14、操作：如图,是从长40cm，宽30cm的矩形的钢板的左上角截取一块长为20cm，宽为10cm的矩形后,剩下的一块余料。工人师傅要将它作适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原余料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件。请根据上述要求,设计出将这块余料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图和图中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）15、操作:将一把三角尺放中正方形ABCD中，并使它的直角顶点F在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：当点Q在DC上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试说明你观察到的结论；当点Q在DC的延长线上时,中你观察到的结论还成立吗？说明理由。图中供操作用,、供说明用16、如图所示，在ABCD中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.试说明OEOF；当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请简要说明理由.当点O运动时,四边形AECF有可能是正方形吗？请简要说明理由。17、在以ABC的AB、AC为边向外作正方