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(完整版)专题勾股定理培优版(综合)
专题 勾股定理在动态几何中的应用
一.勾股定理与对称变换
（一）动点证明题
1。如图，在△ABC中，AB=AC,
（1)若P为边BC上的中点，连结AP,求证：BP×CP=AB2—AP2；

（2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；
A
B
P
C

（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论。

（二）最值问题
2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 ，BE=1，P为AC上的动点,则PB+PE的最小值是

3。 如图，四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证:△AMB≌△ENB；
E
A D
B C C
N
M

(2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

E
A D
B C C
N
M
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小,并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长。
E
A D
B C C
N
M

4。问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
(1）请你回答：图中BD的长为 ;
（2）参考小明的思路,探究并解答问题：如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点，若∠BAD=
∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

图① 图②

二.勾股定理与旋转
5。阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角)中，AB=2，AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC，连接，当点A落在上时,此题可解（如图2)．
请你回答:AP的最大值是 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简)

6。如图,P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.

变式1：∆ABC中， ∠ACB=90º，AC=BC，点P是∆ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC 的度数
C
B
A
P

变式2：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．
小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2）,然后连结PE,问题得以解决．
请你回答：图2中∠APB的度数为 ．
请你参考小娜同学的思路，解决下列问题:
如图3,P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
(1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹)；
（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．

图1 图2 图3

7。 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时，如图①，求证：;
C
A
B
E
F
M
N
图①

（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
C
A
B
E
F
M
N
图②

变式1:如图，在中，
且，,则=

变式2：如图,在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕
点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
B
C
D
E
F
A
①△≌△;
②△≌△；
③；
④其中正确的是（ )
A．②④； B．①④;　 C．②③；　D．①③
（三）其它应用
7. 在中,、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小宝同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点(即三个顶点都在小正方形的顶点处）,如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1）请你将的面积直接填写在横线上__________________；
思维拓展：
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（)，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上__________________；
探索创新：
(3）若中有两边的长分别为、（），且的面积为,试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为)中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况),并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．

8.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在
∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F。
（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时,求此时EF的长（直接写出结果)；
（2）如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3)若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的关系式．

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