课时达标检测27平面向量基本定理及坐标表示.doc

课时达标检测（二十七） 平面向量基本定理及坐标表示
[练基础小题——强化运算能力]
1．若向量＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
解析：选B　由向量的三角形法则，＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.
2．(2017·丰台期末)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)，若a∥b，则(　　)
A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0
C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0
解析：选C　由平面向量共线基本定理可得3y＋4x＝0，故选C.
3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
4．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(3,5)，＝(2,4)，则＝(　　)
A．(－1，－1) 　B．(5,9) C．(1,1) D．(3,5)
解析：选A　由题意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．
5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
答案：－
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b＝(　　)
A．(7,2) B．(7，－14) C．(7，－4) D．(7，－8)
解析：选B　∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．
2．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．0
解析：选B　因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，∴解得m＝±2.又m<0，
∴m＝－2，x＝m＝－2.
3．已知在平行四边形ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为在平行四边形ABCD中，有＝＋，＝，所以＝(＋)＝[(－3,4)＋(2,8)]＝×(－1,12)＝，故选B.
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d＝(　　)
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：选D　设d＝(x，y)，由题意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．
5．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝＝.∴＝.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B. C．2 D．4
解析：选A　因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
二、填空题
7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
解析：＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴＝2＝2(－3,2)＝(－6,4)．＝＋＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
8．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝________.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即解得所以λμ＝－3.
答案：－3
9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则得此时a＝b＝(－13，－23)．
答案：{(－13，－23)}
10．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＋ ＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
答案：
三、解答题
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.
解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b.
12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
解：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B－，，设∠AOC＝αα∈0，，则C(cos α，sin α)，
由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，
又α∈，则α＋∈.
所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.