圆与圆锥曲线的交汇性问题例析.doc
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1、(完整word)圆与圆锥曲线的交汇性问题例析圆与圆锥曲线的交汇性问题例析 随着新课程标准的不断推进与深入,高考对解析几何的要求也随之发生了很大的变化,对圆的要求大大提高,对圆锥曲线的要求则相对降低.因此,近几年圆与圆锥曲线的交汇性问题渐渐成为高考的命题热点,此类问题不仅将圆的内容及性质纳于其中,也将对圆锥曲线的要求体现出来,是当前一种新的命题趋势。下面精选2014年高考中的部分试题并予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法。 1。圆与椭圆的交汇性问题 图1例1(2014年陕西卷文20)如图1,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F1(c,
2、0)、F2(c,0)。 (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足|AB|CD|=534,求直线l的方程。 分析(1)构造关于a,b,c的方程组求解; (2)利用直线与圆的位置关系得|CD,将直线方程与椭圆方程联立得方程组,利用根与系数的关系得AB|,构造关于m的方程求m,进而得出直线l的方程。 解析(1)由题设知b=3, ca=12, b2=a2c2,解得a=2, b=3, c=1,椭圆的方程为x24+y23=1. (2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1, 圆心到直线l的距离d=2m|5, 由db
3、0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知AB=32|F1F2。 (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切。 求直线l的斜率. 分析(1)直接利用AB=32F1F2及椭圆中a,b,c之间的关系得到a,c的关系,进而求得离心率; (2)利用F1P?F1B=0求出P点坐标满足的条件,再由P点坐标满足椭圆的方程,求出P点坐标,设出直线的方程,利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解。 解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)。 由AB=32F1F2|,可得a2+b2=3c2。 又b2=a2c2,则c2
4、a2=12,所以,椭圆的离心率e=22。 (2)由(1)知,a2=2c2,b2=c2,故椭圆方程为x22c2+y2c2=1。 设P(x0,y0),由F1(c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c)。 由已知,有F1P?F1B=0, 即(x0+c)c+y0c=0。 又c0,故有 x0+y0+c=0 又因为点P在椭圆上,故 x202c2+y20c2=1 由和可得3x20+4cx0=0, 而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c, 代入得y0=c3,即点P的坐标为(-43c,c3)。 设圆的圆心为T(x1,y1),则 x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23
5、c, 进而圆的半径 r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c。 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx. 由l与圆相切,可得kx1y1k2+1=r,即k23c+23c|k2+1=53c, 整理得k28k+1=0,解得k=415. 所以,直线l的斜率为4+15或4-15. 命题立意知识:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。能力:通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力。试题难度:较大. 2.圆与双曲线的交汇性问题 例3(2014年江西卷文9)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐
6、近线相交于点A。若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )。 A.x24-y212=1B.x27-y29=1 C.x28-y28=1D.x212y24=1 解析先求出交点坐标,再结合已知条件求出双曲线的方程。 由x=a, y=bax,解得x=a, y=b,, A(a,b). 由题意知右焦点到原点的距离为c=4,右焦点坐标为(4,0),由题意有(a-4)2+b2=4,即(a4)2+b2=16。 又a2+b2=c2=16, 由解得 a=2,b=23。 双曲线C的方程为x24-y212=1。 故选A。 命题立意知识:双曲线的标准方程和渐近线的确定。能力
7、:结合双曲线方程的求解,考查运算求解能力和应用意识.试题难度:中等. 图2例4(2014年辽宁卷理20)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图2).双曲线C1:x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3. (1)求C1的方程; (2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程. 分析(1)先求切线方程,再利用条件列出方程组求解字母a、b的值; (2)利用题设关系设出椭圆方程,再利用直线与椭圆的位置关系求解。 解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00
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