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数字信号处理期末试卷
一、填空题：（每空1分，共18分）
1、 数字频率是模拟频率对采样频率的归一化，其值是连续（连续还是离散？）。
2、 双边序列变换的收敛域形状为圆环或空集。
3、 某序列的表达式为，由此可以看出，该序列时域的长度为N，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是。
4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为，则系统的极点为；系统的稳定性为不稳定。系统单位冲激响应的初值；终值不存在。
5、 如果序列是一长度为64点的有限长序列，序列是一长度为128点的有限长序列，记（线性卷积），则为64+128-1＝191点点的序列，如果采用基算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则的点数至少为256点。
6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率与数字频率之间的映射变换关系为。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率与数字频率之间的映射变换关系为或。
7、当线性相位数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应满足的条件为，此时对应系统的频率响应，则其对应的相位函数为。
8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器巴特沃什滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器。
二、判断题（每题2分，共10分）
1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可以了。（╳）
2、 已知某离散时间系统为，则该系统为线性时不变系统。(╳)
3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（），也就能对其做变换。（╳）
4、 用双线性变换法进行设计数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非线性畸变。（√）
5、 阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。（╳）
三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
系统初始状态为，，系统激励为，
试求：（1）系统函数，系统频率响应。
（2）系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
解：（1）系统函数为
系统频率响应
解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得
即：
上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为
将展开成部分分式之和，得
即
对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
故系统全响应为
解二、（2）系统特征方程为，特征根为：，；
故系统零输入响应形式为
将初始条件，带入上式得
解之得，，
故系统零输入响应为：
系统零状态响应为
即
对上式取z反变换，得零状态响应为
故系统全响应为
四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取点基的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列（）的。
（3） 试写出利用计算的步骤。
解：（1）
4点按时间抽取FFT流图加权系数
（2）
即：
（3）1）对取共轭，得；
2）对做N点FFT；
3）对2）中结果取共轭并除以N。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为rad，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设）
解：（1）预畸
（2）反归一划
（3）双线性变换得数字滤波器
（4）用正准型结构实现
六、（12分）设有一数字滤波器，其单位冲激响应如图1所示：
图1
试求：（1）该系统的频率响应；
（2）如果记，其中，为幅度函数（可以取负值），为相位函数，试求与；
（3）判断该线性相位系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），说明你的判断依据。
（4）画出该系统的线性相位型网络结构流图。
解：（1）
（2）
，
（3）
故当时，有，即关于0点奇对称，；
当时，有，即关于点奇对称，
上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。
（4）线性相位结构流图
八、（15分）简答题
（1） 试写出双线性变换法设计数字高通滤波器的主要步骤。
（2） 简述利用窗函数来设计FIR滤波器时，对理想低通滤波器加矩形窗处理后的影响。为了改善FIR滤波器的性能，尽可能的要求窗函数满足哪两个条件？
解：（1）1）将数字高通滤波器的频率指标转换为模拟高通滤波器的频率指标(其中将高通截止频率通过预畸转换为模拟高通滤波器的截止频率)
2）将模拟高通滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标
3）设计模拟低通原型滤波器
4）将模拟低通原型滤波器通过双线性映射为数字低通原型滤波器
5）将数字低通原型滤波器通过频域变换为数字高通滤波器
（3） 理想低通滤波器加窗后的影响有3点：
1）幅频特性的陡直的边沿被加宽，形成一个过渡带，过渡带的带宽取决于窗函数频响的主瓣宽度。
2）渡带的两侧附近产生起伏的肩峰和纹波，它是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大起伏就越强。
3）截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度，但却不能减小旁瓣相对值。只能减小过渡带带宽，而不能改善滤波器通带内的平稳性和阻带中的衰减。
为了改善滤波器的性能，尽可能要求窗函数满足：
1） 主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带
2） 值尽可能小，以改善通带的平稳度和增大阻带中的衰减。