圆锥曲线基础知识专项练习.doc

(完整版)圆锥曲线基础知识专项练习
圆锥曲线练习

一、选择题（本大题共13小题,共65。0分)
1.若曲线表示椭圆,则k的取值范围是(　　）
A。k＞1              B。k＜-1
C.—1＜k＜1            D.-1＜k＜0或0＜k＜1
2.方程表示椭圆的必要不充分条件是(　　)
A.m∈(—1，2）          B。m∈（—4，2）
C.m∈（-4，-1）∪(-1,2）    D.m∈（—1，+∞）
3.已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（　　)
A.1或3    B。1      C。3      D.6
4。已知椭圆的焦点为（-1,0）和（1,0），点P(2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程为（　　）
A. B。 C。 D。
5。平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA｜+|PB｜是定值”,命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么(　　）
A。甲是乙成立的充分不必要条件   B。甲是乙成立的必要不充分条件
C。甲是乙成立的充要条件      D。甲是乙成立的非充分非必要条件
6。“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（　　）
A.充要条件            B.充分非必要条件
C。必要非充分条件         D.既不充分也不必要条件
7。方程+=10，化简的结果是（　　）
A.+=1 B.+=1 C。+=1 D.+=1
8.设椭圆的左焦点为F，P为椭圆上一点，其横坐标为，则｜PF|=（　　)
A。 B. C。 D.
9。若点P到点F（4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小1,则P点的轨迹方程是（　　)
A.y2=—16x   B。y2=-32x   C。y2=16x   D。y2=32x
10。抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（　　）
A.y=- B.y=— C.y= D。y=
11。设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（　　）
A.3      B.4      C。6      D。8
12.已知点P是抛物线x=y2上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（　　）
A。2      B.      C.—1      D.+1
13.若直线y=kx—2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2,则k=(　　)
A。2      B。—1     C.2或—1    D。1±

二、填空题(本大题共2小题，共10.0分）
14。在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A（-4，0)和C（4,0），顶点B在椭圆上，则= ______ ．
15。已知椭圆，焦点在y轴上,若焦距等于4,则实数k=____________．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分)
16。已知三点P（,-）、A（—2，0)、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程．

17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2相交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；  
（2）求弦长|AB|

18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x,且焦距为4，已知点A（1，)
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点A(1,)，过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点,求直线L方程．

19。已知抛物线的标准方程是y2=6x，
（1）求它的焦点坐标和准线方程，
(2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．

20.已知椭圆的离心率,直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（1,0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

21.已知椭圆C:4x2+y2=1及直线L：y=x+m．
（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时,求直线L所在的直线方程．

答案和解析

【答案】
1.D    2.B    3。A    4.B    5。B    6。C    7.C    8。D    9.C    10。B    11。A    12。C    13.A    
14.
15.816.解：（1)2a=PA+PB=2，
所以a=,又c=2，所以b2=a2—c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为：+=1．
17。解：（1）∵椭圆+=1(a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4,
∴,
解得a=4,b=2，
∴椭圆方程为=1．
（2）联立，得5x2+16x=0，
解得,，
∴A（0，2)，B（-,—），
∴｜AB｜==．
18.解：（1）设双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0），则
∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，
∴，c=2∵c2=a2+b2
∴a=1，b=
∴双曲线的标准方程为；
（2）设M(x1，y1）,N（x2，y2）,代入双曲线方程可得，
两式相减，结合点A(1，)为线段MN的中点，可得
∴=
∴直线L方程为,即4x-6y-1=0．
19.解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上,开口向右，2p=6，∴=
∴焦点为F(，0)，准线方程:x=—，
（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，
∴直线L的方程为y=x—，
代入抛物线y2=6x化简得x2—9x+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，
所以｜AB｜=x1+x2+p=9+3=12．
故所求的弦长为12．
20。解：（1)因为直线l：y=bx+2与圆x2+y2=2相切，
∴，
∴b=1，
∵椭圆的离心率，
∴，
∴a2=3，
∴所求椭圆的方程是．
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2)x2+12kx+9=0∴△=36k2—36＞0，∴k＞1或k＜—1,
设C(x1，y1)，D（x2，y2），则有，，
若以CD为直径的圆过点E,则EC⊥ED，
∵,，
∴(x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+(2k—1)（x1+x2）+5=0∴,
解得,
所以存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．
21.解：（1)由方程组,消去y，
整理得5x2+2mx+m2-1=0．(2分）
∴△=4m2—20（m2-1）=20-16m2（4分）
因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20—16m2≥0，
解之得-．(5分）
（2)设直线L和椭圆C相交于两点A（x1,y1）,B（x2,y2)，
由韦达定理得，（8分）
∴弦长|AB｜=
==，—，
∴当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线L方程为y=x．（10分）

【解析】
1。 解：∵曲线表示椭圆，∴，解得—1＜k＜1，且k≠0．
故选：D．
曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2。 解：方程表示椭圆的充要分条件是，即m∈（-4，-1）∪(-1，2）．
由题意可得，所求的m的范围包含集合（—4，-1）∪（-1,2），
故选：B．
由条件根据椭圆的标准方程,求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围,则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论．
本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义,属于基础题．
3. 解：①椭圆+=1，中a2=2，b2=k,
则c=，
∴2c=2=2,
解得k=1．
②椭圆+=1,中a2=k,b2=2，
则c=，
∴2c=2=2,
解得k=3．
综上所述，k的值是1或3．
故选:A．
利用椭圆的简单性质直接求解．
本题考查椭圆的简单性质,考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．
4。 解：设椭圆方程为=1(a＞b＞0)，
由题意可得c=1,a=2，b=,
即有椭圆方程为+=1．
故选：B．
设椭圆方程为=1（a＞b＞0）,由题意可得c=1，a=2，再由a，b,c的关系，可得b,进而得到椭圆方程．
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题．
5. 解：命题甲是：“｜PA|+｜PB｜是定值”,
命题乙是:“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离,
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆,一定能够推出|PA｜+｜PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选B．
6. 解：a＞0,b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如a=b=1；
反之,若方程ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0．
∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．
故选：C．
直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查了椭圆的标准方程，是基础题．
7. 解：由+=10,可得点（x，y）到M（0，—3)、N(0，3）的距离之和正好等于10，
再结合椭圆的定义可得点(x，y）的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,且2a=10、c=3，∴a=5,b=4，
故要求的椭圆的方程为+=1，
故选：C．
有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质,求得椭圆的标准方程．
本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
8。 解：椭圆的左焦点为F（—，0)，右焦点为（，0），
∵P为椭圆上一点，其横坐标为，
∴P到右焦点的距离为
∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离｜PF|=4—=
故选D．
确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．
9。 解：∵点P到点(4,0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，
∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=—4，
可得点P到直线x=-4的距离等于它到点（4，0）的距离．
根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以点（4,0）为焦点，以直线x=—4为准线的抛物线．
设抛物线方程为y2=2px，可得=4，得2p=16,
∴抛物线的标准方程为y2=16x，即为P点的轨迹方程．
故选：C
根据题意，点P到直线x=—4的距离等于它到点(4，0)的距离．由抛物线的定义与标准方程,不难得到P点的轨迹方程．
本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大1，求点P的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．
10。 解:抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为．
故选B．
抛物线y=ax2(a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．
本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．
11。 解：抛物线y2=4x的准线为x=-1，
∵点P到直线x=-3的距离为5，
∴点p到准线x=—1的距离是5-2=3，
根据抛物线的定义可知,点P到该抛物线焦点的距离是3,
故选A．
先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x=-3的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等,从而求得答案．
本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．
12。 解：抛物线x=y2，可得：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．
依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到(0，2)与P到该抛物线准线的距离的和减去1．
由抛物线的定义，可得则点P到点A（0,2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1,
可得:—1=．
故选:C．
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．
本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想．
13. 解：联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x,
消去y，可得k2x2-(4k+8）x+4=0，（k≠0），
判别式（4k+8）2—16k2＞0，解得k＞-1．
设A（x1，y1），B（x2，y2)，
则x1+x2=，
由AB中点的横坐标为2,
即有=4，
解得k=2或—1(舍去）,
故选：A．
联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x,消去y,可得x的方程，由判别式大于0,运用韦达定理和中点坐标公式,计算即可求得k=2．
本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．
14. 解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=
故答案为
先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．
本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．
15. 解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然k—2＞10—k，即k＞6,
,解得k=8故答案为：8．
16.
利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．
本题考查了椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．
17.
(1)由椭圆的离心率为，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．
(2）联立，得5x2+16x=0,由此能求出弦长｜AB|．
本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
18。
(1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量,即可求双曲线的标准方程;
(2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．
本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力,属于中档题．
19。
(1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程,
（2)先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．
本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题,所以利用了焦半径公式．属于基础题．
20.
（1）利用直线l:y=bx+2与圆x2+y2=2相切，求出b，利用椭圆的离心率求出a，得到椭圆方程．
(2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0，设C（x1,y1),D(x2，y2)，则利用韦达定理结合EC⊥ED，求解k,说明存在实数使得以CD为直径的圆过定点E．
本题考查椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位置关系的应用,考查存在性问题的处理方法，设而不求的应用，考查计算能力．
21。
（1）由方程组，得5x2+2mx+m2—1=0，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．
（2）设直线L和椭圆C相交于两点A(x1，y1），B(x2，y2）,由韦达定理求出弦长|AB｜=，由此能求出当m=0时，｜AB｜取得最大值，此时直线L方程为y=x．
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．