基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案).docx

基本不等式及其应用

1．基本不等式
若a>0,，b>0，则≥，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：
(1)各项或各因式均正；（一正）
(2)和或积为定值；（二定）
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）
2．常用不等式
(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．
(2)
注：不等式a2＋b2≥2ab和≥它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab≤（）2.
(3) ab≤ (a，b∈R)．
(4)＋≥2(a，b同号且不为0)．
(5)(a，b∈R).
（6）
(7)abc≤;
(8)≥；
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ .
(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即 .

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(　　)
A.6 B.4 C.2 D.2
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　)
A. B.1 C.2 D.4
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.当且仅当a＝1，b＝时等号成立.故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)
A.a＜v＜ B.v＝
C.＜v＜ D.v＝
解：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，∴v＝＝＜＝.
又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.故选A.
()若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.
解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2，当且仅当x＝±时等号成立.故填2.
点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.
解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，
所以mn≤＝，
当且仅当m＝n＝时取等号，
∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2，故填－2.

类型一　利用基本不等式求最值
　(1)求函数y＝(x＞－1)的值域.
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9.
又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).
(2)下列不等式一定成立的是(　　)
A.lg>lgx(x>0) B.sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2(x∈R) D.>1(x∈R)
解：A中，x2＋≥x(x＞0)，当x＝时，x2＋＝x.
B中，sinx＋≥2(sinx∈(0，1])；
sinx＋≤－2(sinx∈[－1，0)).
C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).
D中，∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.
点拨：
这里(1)是形如f(x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
　(1)已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 .
解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，
当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值.
解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.
类型二　利用基本不等式求有关参数范围
　若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)
A.2∈M，0∈M B.2∉M，0∉M
C.2∈M，0∉M D.2∉M，0∈M
解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).
解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.
故选A.
点拨：
一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：
(1) a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；
(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.
　已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式
mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.
解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，且m≤－＝ －对任意t＞1成立.
∵t－1＋＋1≥2＋1＝3，
∴－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立.
故实数m的取值范围是.
类型三　利用基本不等式解决实际问题
　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).

(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x≥2).
(2)∵x≥0，∴225x＋≥2＝10800，
∴y＝225x＋－360≥10440，
当且仅当225x＝，即x＝24时等号成立.
答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
　如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).

解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，
根据题意可知：y＝，其中k是比例系数且k＞0.
依题意要使y最小，只需ab最大.
由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，
即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).
∵a＋2b≥2，
∴2·＋ab≤30，得0＜≤3.
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.
故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.
解法二：同解法一得b≤，代入y＝求解.

1.若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A.2 B.a C.3 D.
解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.
2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是(　　)
A.ab＜1＜ B.ab＜1≤ C.1＜ab＜ D.ab≤≤1
解：运用不等式ab≤2⇒ab≤1以及(a＋b)2≤2(a2＋b2)⇒2≤a2＋b2(由于a≠b，所以不能取等号)得，ab＜1＜，故选A.
3.函数f(x)＝在(－∞，2)上的最小值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解：当x＜2时，2－x＞0，因此f(x)＝＝＋(2－x)≥2·＝2，当且仅当＝2－x时上式取等号.而此方程有解x＝1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.
4.()要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解：假设底面的长、宽分别为x m， m，由条件知该容器的最低总造价为y＝80＋20x＋≥160，当且仅当底面边长x＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.
5.下列不等式中正确的是(　　)
A.若a，b∈R，则＋≥2＝2
B.若x，y都是正数，则lgx＋lgy≥2
C.若x<0，则x＋≥－2＝－4
D.若x≤0，则2x＋2－x≥2＝2
解：对于A，a与b可能异号，A错；对于B，lgx与lgy可能是负数，B错；对于C，应是x＋＝－≤－2＝－4，C错；对于D，若x≤0，则2x＋2－x≥2＝2成立(x＝0时取等号).故选D.
6.()若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A.6＋2 B.7＋2
C.6＋4 D.7＋4
解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且 即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.
7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.
解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故填a≥.
8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
解：易知定点A(0，0)，B(1，3).
且无论m取何值，两直线垂直.
所以无论P与A，B重合与否，均有
|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立.故填5.
9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.
解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.
∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.
∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.
当且仅当 即x＝，y＝时“＝”成立.
∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.
10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.
解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.
11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
解法一：由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，即S≤.
当且仅当2x＝3y时等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.
解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x＞0，∴0＜y＜6.
S＝xy＝y＝(6－y)y.
∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大.
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.
解法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.
13 / 13