2022-2023学年浙江省杭州市英特外国语学校数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．9
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( )

A．1:2 B．1:4 C．1:5 D．1:6
3．已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（ ）
A．若，函数的最大值是5
B．若，当时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
4．二次函数的图像如图所示，它的对称轴为直线，与轴交点的横坐标分别为，，且.下列结论中：①；②；③；④方程有两个相等的实数根；⑤.其中正确的有（ ）

A．②③⑤ B．②③ C．②④ D．①④⑤
5．如图，在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，则cosA的值为( )

A． B． C． D．
6．在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，而它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上 C．两根不平行 D．两根平行倒在地上
7．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（　　）
A．开口向下 B．抛物线过点(0，8)
C．抛物线与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝3
8．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（　　）
A．= B．=
C．= D．=
9．如图，菱形在第一象限内，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）

A． B． C． D．4
10．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2 (m是常数，且m≠0)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若、是方程的两个实数根，代数式的值是______．
12．如图，在矩形中，，点在边上，，则BE=__________；若交于点，则的长度为________．

13．如图，点、、在上，若，，则________．

14．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．

15．如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___．

16．如图，在中，是斜边的垂直平分线，分别交于点，若，则______．

17．在一个不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从袋子中任意摸出一个球，摸出_______颜色的球的可能性最大.
18．如图，矩形中，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径的长是(结果保留)____________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）已知：二次函数y=x2﹣6x+5，利用配方法将表达式化成y=a（x﹣h）2+k的形式，再写出该函数的对称轴和顶点坐标．
20．（6分）对于实数a，b，我们可以用表示a，b两数中较大的数，例如，．类似的若函数y1、y2都是x的函数，则y＝min{y1， y2}表示函数y1和y2的取小函数．
（1）设，，则函数的图像应该是___________中的实线部分．

（2）请在下图中用粗实线描出函数的图像，观察图像可知当x的取值范围是_____________________时，y随x的增大而减小．

（3）若关于x的方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是_____________________．
21．（6分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.
购买件数
销售价格
不超过30件
单价40元
超过30件
每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元

22．（8分）（8分）向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
23．（8分）定义：点P在△ABC的边上，且与△ABC的顶点不重合．若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（但不全等），则称点P为△ABC的自相似点．如图①，已知点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，1）．
（1）若点P的坐标为（2，0），求证点P是△ABC的自相似点；
（2）求除点（2，0）外△ABC所有自相似点的坐标；
（3）如图②，过点B作DB⊥BC交直线AC于点D，在直线AC上是否存在点G，使△GBD与△GBC有公共的自相似点？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．

24．（8分）解方程：x2﹣4x﹣12=1．
25．（10分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，，，车杆与所成的，图1中、、三点共线，图2中的座板与地面保持平行.问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请写出的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：，，）

26．（10分）如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，平分，且．
（1）求证：；
（2）求证：与相切．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据负整数指数幂的计算方法：，为正整数），求出的结果是多少即可．
【详解】解：，
计算的结果是1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂：，为正整数），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（2）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
2、B
【解析】试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：1．
故选B．
考点：位似变换．
3、D
【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
【详解】当时，，
∴当时，函数取得最大值5，故A正确；
当时，，
∴函数图象开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确；
当x=1时，，
∴无论a为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C正确；
当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
4、A
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤.
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线
∴b=-2a＞0
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜-1，
∴abc＞0，所以①错误；
∵，对称轴为直线
∴故，②正确；
∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y值相等，
故当x=0时，y=c＜0，
∴当x=2时，y=，③正确；
如图，作y=2，与二次函数有两个交点，
故方程有两个不相等的实数根，故④错误；
∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，
当x=0时，y=c＜-1
∴3a＞1，
故，⑤正确；
故选A.

【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了二次函数的性质．
5、B
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
；
故选：B.
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
6、C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在变，依此进行分析.
【详解】在同一时刻，两根竿子置于阳光下，但看到他们的影长相等，那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，而竿子长度不等，故两根竿子不平行，故答案选择C.
【点睛】
本题考查投影的相关知识，解决此题的关键是掌握平行投影的特点.
7、C
【分析】根据△的符号，可判断图像与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图像与y轴的交点坐标，利用配方法可求图像的顶点坐标．
【详解】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞0，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．
B、x＝0时，y＝﹣8，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．
C、△＝62﹣4×1×(-8)＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．
D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的开口，与y轴x轴的交点，对称轴等基本性质，掌握二次函数的基本性质是解题的关键.
8、A
【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
9、C
【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.
【详解】如图，过A作AE⊥x轴于E，

设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=60°
∴AE=，OA=
∴A，菱形边长为
由图可知S菱形AOCB=2S△AOD
∴，即
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键.
10、D
【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=−，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【详解】A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=−＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=− ＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
此题考查一次函数和二次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它们的性质才能灵活解题．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】先对所求代数式进行变形为，然后将代入方程中求出的值，根据根与系数的关系求出的值，最后代入即可求解．
【详解】∵是方程的根
∴
∴
∵、是方程的两个实数根

∴原式=
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，根与系数的关系，掌握根与系数的关系，能够对所求代数式进行适当变形是解题的关键．
12、5
【分析】根据矩形的性质得出∠DAE=∠AEB，再由AB和∠DAE的正切值可求出BE，利用勾股定理计算出AE的长，再证明△ABE∽△FEA，根据相似三角形的性质可得，代入相应线段的长可得EF的长，再在在Rt△AEF中里利用勾股定理即可算出AF的长，进而得到DF的长．
【详解】解：∵点在矩形的边上，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴.
∵
∴△ABE∽△FEA，
∴，即，解得.
∵.
∴.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握相似三角形的判定方法和性质定理．相似三角形对应边的比相等，两个角对应相等的三角形相似．
13、
【分析】连接OB，先根据OA=OB计算出，再根据计算出，进而计算出，最后根据OB=OC得出即得．
【详解】解：连接OB，如下图：

∴
∴，
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆的性质及等腰三角形的性质，解题关键是熟知同圆的半径相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
14、1．
【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解
【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b
把y=b代入y＝得,b=
则x=,即B的横
坐标是
同理可得:A的横坐标是：
则AB=-（）=
则 S =×b=1.
故答案为1
【点睛】
此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b
15、
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键.
16、2
【分析】连接BF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，再根据等边对等角的性质求出∠ABF=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBF，再根据三角函数的定义即可求出CF．
【详解】如图，连接BF，

∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴，
，
在△BCF中，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角函数的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
17、白
【分析】根据可能性大小的求法，求出各个事件发生的可能性的大小，再按照大小顺序从小到大排列起来即可．
【详解】根据题意，袋子中共6个球，其中有1个红球，2个绿球和3个白球，故将球摇匀，从中任取1球，
①恰好取出红球的可能性为 ，
②恰好取出绿球的可能性为 ，
③恰好取出白球的可能性为 ，
摸出白颜色的球的可能性最大．
故答案是：白．
【点睛】
本题主要考查了可能性大小计算，即概率的计算方法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中．
18、
【分析】根据勾股定理求出BD的长，点B旋转所经过的路径应是弧线，根据公式计算即可.
【详解】如图，
∵，
∴,
由旋转得： ,,,,
点B两次旋转所经过的路径长为=.
故答案为：.

【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式，明确各字母代表的含义并正确代入公式进行计算即可

三、解答题(共66分)
19、y=（x﹣3）2-4；对称轴为：x=3；顶点坐标为：（3，-4）
【分析】首先把x2-6x+5化为（x-3）2-4，然后根据把二次函数的表达式y=x2-6x+5化为y=a（x-h）2+k的形式，利用抛物线解析式直接写出答案．
【详解】y=x2-6x+9-9+5=（x-3）2-4，即y=（x-3）2-4；
抛物线解析式为y=（x-3）2-4，
所以抛物线的对称轴为：x=3，顶点坐标为（3，-4）．
【点睛】
此题考查二次函数的三种形式，解题关键在于熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．
20、（1）D；（2）见解析；或；（3）．
【分析】（1）根据函数解析式，分别比较 ，，，时，与的大小，可得函数的图像；
（2）根据的定义，当时，图像在图像之上，当时，的图像与的图像交于轴，当时，的图像在之上，由此可画出函数的图像；
（3）由（2）中图像结合解析式与可得的取值范围．
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，
∴函数的图像为

故选：D．
（2）函数的图像如图中粗实线所示：

令得，，故A点坐标为(-2,0),
令得，，故B点坐标为(2,0),
观察图像可知当或时，随的增大而减小；
故答案为：或；
（3）将分别代入，得，故C(0,-4)，
由图可知，当时，函数的图像与有4个不同的交点．
故答案为：．
【点睛】
本题通过定义新函数综合考查一次函数、反比例函数与二次函数的图像与性质，关键是理解新函数的定义，结合解析式和图像进行求解．
21、王老师购买该奖品的件数为40件．
【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
试题解析：∵30×40=1200＜1400，
∴奖品数超过了30件，
设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：
x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，
解得：x1=40，x2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，
∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件．
考点：一元二次方程的应用．
22、10%．
【解析】试题分析：设这两年的平均增长率为x，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．
试题解析：设这两年的平均增长率为x，由题意得：，解得：（不合题意舍去），．
答：这两年的平均增长率为10%．
考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．
23、（1）见解析；（2）△CPA∽△CAB，此时P（，）；△BPA∽△BAC，此时P(，)；（3）S（3，-2）是△GBD与△GBC公共的自相似点，见解析
【分析】（1）利用：两边对应成比例且夹角相等,证明△APC∽△CAB即可；
（2）分类讨论：△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC，分别求得P点的坐标；
（3）先求得点D的坐标，说明点G（5，）、S（3，-2）在直线AC：上，证得△ABC△SGB，再证得△GBS∽△GCB，说明点S是△GBC的自相似点；又证得△DBG△DSB，说明点S是△GBD的自相似点．从而说明S（3，-2）是△GBD与△GBC公共的自相似点.
【详解】（1）如图，

∵A（1，0），B（3，0），C（0，1），P（2，0），
∴AP=2－1＝1，
AC=，
AB=3-1=2，
∴，，
∴=，
∵∠PAC=∠CAB，
∴△APC∽△CAB，
故点P是△ABC的自相似点；
（2）点P只能在BC上，
①△CPA∽△CAB，如图，

由(1)得：AC，AB，
又，
∵△CPA∽△CAB，
∴，
∴，
∴，
过点P作PD∥y轴交轴于D，
∴，，
∴，，
∴，，
P点的坐标为(，)
②△BPA∽△BAC，如图，

由前面获得的数据：AB，，
∵△BPA∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
过点P作PE∥y轴交轴于E，
∴，
∴，
∴，，
∴，
P点的坐标为(，)；
（3）存在．当点G的坐标为（5，）时，△GBD与△GBC公共的自相似点为S（3，）．理由如下：
如图：

设直线AC的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵∠CBO+∠DBE=90，∠EDB+∠DBE=90，
∴∠CBO=∠EDB，
∴，
∴，
设BE=a，则DE=3a，
∴OE=3-a，
∴点D的坐标为(3-a，-3a) ，
∵点D在直线AC上，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为(，) ；

如下图：当点G的坐标为（5，）时，△GBD与△GBC公共的自相似点为S（3，）．
直线AC的解析式为：，
∵，，
∴点G、点S在直线AC上，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵，
∴，
由S（3，）、B（3，0）知BS⊥x轴，
∴△AED、△ABS、△AHG为等腰直角三角形，
∵D (，)，S，G( ，
∴，，B，
，
，，
，，，
，
在△ABC和△SGB中
∵，，
∴，
∵

∴
∴△ABC△SGB
∴∠SBG=∠BCA，
又∠SGB=∠BGC，
∴△GBS∽△GCB，
∴点S是△GBC的自相似点；
在△DBG和△DSB中，
∵，，
∴，且，
∴△DBG△DSB；
∴点S是△GBD的自相似点．
∴S（3，）是△GBD与△GBC公共的自相似点．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，涉及的知识有：平面内点的特征、待定系数法求直线的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，读懂题意，理清“自相似点”的概念是解题的关键.
24、x1=6，x2=﹣2．
【解析】试题分析：用因式分解法解方程即可.
试题解析：
或
所以
25、的长度发生了改变，减少了.
【分析】根据图形的特点构造直角三角形利用三角函数求出变化前BC与变化后的BC长度即可求解.
【详解】图1：作DF⊥BC于F点，∵
∴BF=EF=BDcos≈30×=18
∴BC=2BF+CE
图2：作DF⊥BC于F点，由图1可知∠DE’F=53°，
∴∠DE’C=180°-∠DE’F=127°
∵DE∥BC，
∴∠E’DE=∠DE’F=53°
根据题意可知DE’=DE,CE’=CE,
连接CD，∴△DCE≌△DCE’
∴∠DEC=∠DE’C=127°
∴∠ECB=360°-∠DEC-∠DE’C-∠E’DE=53°，
作EG⊥BC于G点
∴BC=BF+FG+GC= BDcos+DE+CE∠ECB30×+30+40×=
76-72=4cm，
答：的长度发生了改变，减少了.

【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的运用.
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出；
（2）由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出 ，从而有 ，根据平行线的性质即可得出 ，则结论可证．
【详解】（1）∵平分，
∴

∴
（2）连接OC

∵是的直径，

∵

∵

∴与相切．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键．