高三复习导数专题.doc

导 数
导 数
导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的定义、几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则
比较两个的代数式大小
导数与不等式
讨论零点的个数
求切线的方程

一、导数的基本知识
1、导数的定义：=.
2、导数的公式： （为常数） （）

3、导数的运算法则：

4、掌握两个特殊函数
（1）对勾函数 （ ，）
其图像关于原点对称

（2）三次函数
三次函数 的图像

三次函数是关于M对称的中心对称图

导数的基本题型和方法
1、、导数的意义：（1）导数的几何意义： （2）导数的物理意义：
2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；
（2）判断或证明函数的单调性；
（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
3、、函数的极值与最值：(1)求函数极值或最值； 是极值点
（2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。
4、导数与不等式。通过研究函数的最值，进而证明不等式
⑴ 证明不等式f(x)>g(x)在区间A上成立
方法一：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求出函数在区间A上的最小值
方法二：转化为证明
⑵ f(x)>g(x)在区间A恒成立,求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在
区间A上的最小值,解此不等式既得参数的范围
⑶ 不等式f(x)>g(x)的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出
函数在区间A上的 最小值 解此不等式既得参数的范围
⑷ 不等式f(x)>g(x)的解集非空，求参数取值范围。：构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出
函数在区间A上的 最小值 解此不等式既得参数的范围
⑸ 比较两个代数式f(x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g(x), 再利用导数求函数在
区间A上的最值，若最小值，则；若最大值，则
5、讨论讨论函数f(x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨
论零点的个数

三、习题精选：
【例1】导数的意义 (特别提醒①利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上②切点处的三
个性质）
1、(2010·新课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为 (　A　)
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
解析：y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3－2＝1，∴切线方程为：y－0＝x－1， 即y＝x－1.
2、（2012全国）曲线在点（1,1）处的切线方程为________
【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.
3、[2014·广东] 曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0
　[解析] ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是y－(－2)＝－5(x－0)，
即5x＋y＋2＝0.
4、2014课标全国Ⅰ)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
则b= ；
分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f′(1)＝0，即可求出b的值；
解：(1)f′(x)＝＋ (1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
5、(2011湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为 (　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B　y′＝＝，故切线斜率k＝y′|x＝＝，选B.

6、[2014·江西] 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e)　[解析] 由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，
令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．
7、如果质点A按规律s＝2t3(s的单位是m)运动，则在t＝3 s时的瞬时速度为 (　C　)

A．6 m/s B．18 m/s C．54 m/s D．81 m/s
解析：∵s′＝6t2，∴s′|t＝3＝54.
8、已知曲线y=，则曲线过Q( 1,0 )点处的切线方程为
9、若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线，求实数a= ．
解：设切点为P(x0，y0)，对y＝x3－a求导数得y′＝3x2， ∴3x＝3，∴x0＝±1.
当x0＝1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．
又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；
当x0＝－1时，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，
即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.
综上可知，实数a的值为－3或1.
10． [2014·江苏] 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在
点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．－3
　[解析] 易知y′＝2ax－.根据题意有解得故a＋b＝－3.
11、已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f (－1) )处的切线方程为x＋2y＋5＝0，则函数y ＝f(x)=
解：由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，
知－1＋2f(－1) ＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′(－1)＝－.
∵f′(x)＝，∴
即＝－. 解得a＝2，b＝3(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．
所以所求的函数解析式是f(x)＝.
12、 （2010辽宁）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 ( )
(A)[0,) (B) （C） (D)
解析：选D.，，
即，
13、设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．
解析：设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.而g(a)＝a2－a＋1＝2＋，
当a＝时，g(a)min＝.a＝2时，g(a)max＝3，故P点纵坐标范围是.
【例2】函数的单调性
1、 （2014·湖北）函数f(x)＝的单调递增区间为 ；单调递减区间为
解： 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
当f′(x)>0，即0<x<e时，函数f(x)单调递增； 当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．
故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
2、 设函数f(x)＝x(ex－1)x2则函数f(x)的单调递增区间 为
答案：
递增区间为，
递减区间为

3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 (　B　)
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．
又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3.
4、(2014课标全国Ⅱ11)若函数f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是 ( D ）
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：由f ′(x)＝k－，又f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即在x∈(1，＋∞)上恒成立．
又当x∈(1，＋∞)时，，故k≥1.故选D.
5、(2014湖南)若0＜x1＜x2＜1，则 (　C　)
A．＞ln x2－ln x1 B．＜ln x2－ln x1
C． D．
解析：设f(x)＝ex－ln x，则.当x＞0且x趋近于0时，x·ex－1＜0；
当x＝1时，x·ex－1＞0，因此在(0,1)上必然存在x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，因此A，B不正确；
设，当0＜x＜1时，，所以g(x)在(0,1)上为减函数．所以g(x1)＞g(x2)，
即，所以.故选C.
6、若函数f(x)＝mx2＋ln x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得：f′(x)＝2mx＋－2在(0，＋∞)上有f′(x)≥0恒成立，所以2mx＋
－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m≥－在(0，＋∞)上恒成立，设t(x)＝－＋＝
－2＋1，只要求出t(x)在(0，＋∞)上的最大值即可．而当＝1，即x＝1时，t(x)max＝1，所以2m≥1，即m≥. 答案：
7、已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
故当a≤0时，f(x)在定义域R内单调递增．
8、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.设函数f(x)在区间内是减函数，求a的取值范围．
解析：若函数在区间内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋ 2ax＋1＝0两根在区间外，由此f′≤0，且f′≤0，由此可以解得a≥2.因此a的取值范围是[2，＋∞)
或用变量分离法
9、【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2
求f(x)的单调区间

【例3】函数的极值与最值
1、函数f(x)＝x3－3x2＋2的极大值是 2 极小值是
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2
2、(2014北京)已知函数f(x)＝2x3－3x.，则f(x)在区间[－2,1]上的最大值为
解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，
令f′(x)＝0，得或.
因为f(－2)＝－10，，，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2,1]上的最大值为.
3、 函数在上的值域是_______________
4、 (2014陕西)设函数，则f(x)的极小值为
解析：，则，
∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2， ∴f(x)的极小值为2.
5、已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么函数在[－2,2]上的最小值
是 (　A　)
A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，从而f(－2)＝－37， f(2)＝－5. ∴最小值为－37.
6、函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是 (　B　)
A．(0,3) B. C．(0，＋∞) D．(－∞，3)
解析：令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±(a＞0，否则函数y为单调增函数)．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则＜1，∴0＜a＜.
7、∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则 (　A　)
A．a＜－1 B．a＞－1 C．a＞－ D．a＜－
解析：由y′＝(ex＋ax)′＝ex＋a＝0得ex＝－a， 即x＝ln(－a)＞0⇒－a＞1⇒a＜－1.
8、y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，
则a的值等于 (　D　)
A. B. C. D．1
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1，当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，
令f′(x)＝0得x＝，又a＞，∴0＜＜2.
令f′(x)＞0，则x＜，∴f(x)在上递增；令f′(x)＜0，则x＞，∴f(x)在上递减，
∴f(x)max＝f＝ln －a·＝－1，∴ln ＝0，得a＝1.
9、函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
解： f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．
当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，x1＝a－，x2＝a＋.
由题意知，2＜a－＜3，① 或2＜a＋＜3.②
①式无解，②式的解为＜a＜， 因此a的取值范围是.
或用二次函数根的分布做此题
10、（2013年福建）已知函数(,为自然对数的底数).
(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(2)求函数的极值;
【答案】解:(Ⅰ)由,得.
又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得.
(Ⅱ),
①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.
②当时,令,得,.
,;,.
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上,当时,函数无极小值;
当,在处取得极小值,无极大值.
11、(2014四川)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；
分析：(1)先利用求导求出g(x)的解析式，再求出其导函数g′(x)，根据a的不同取值分类讨论g′(x)的符
号变化，判断其单调性，从而求其最值；
解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当时，g′(x)≥0， 所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0,1)．
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．

于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
【例4】导数与函数的零点
1、若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 (　A　)
A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
且当x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.
所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值．
要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足解之得－2＜a＜2.
（或转换成两个函数的图像来做）
2、 (2014课标全国Ⅰ12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则a的取值范围是 (　C　)
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1存在两个零点，不合题意；
当a＞0时，f′(x)＝3ax2－6x＝， 令f′(x)＝0，得x1＝0，，
所以f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在处取得极小值，
要使f(x)有唯一的零点，需，但这时零点x0一定小于0，不合题意；
当a＜0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，令f′(x)＝0，得x1＝0，，
这时f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在处取得极小值，
要使f(x)有唯一零点，应满足，解得a＜－2(a＞2舍去)，
且这时零点x0一 定大于0，满足题意，故a的取值范围是(－∞，－2)．

3、已知函数．判断函数零点的个数；
解： ，其定义域是
∴
令，即，解得或．，∴ 舍去．
当时，；当时，．
∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴ 函数只有一个零点．
4、 (2014陕西)设函数，m∈R.，
讨论函数零点的个数；
解析：由题设 (x＞0)，
令g(x)＝0，得(x＞0)，
设(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为. 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图)，可知
①当时，函数g(x)无零点；
②当时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当时，函数g(x)无零点；
当或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当时，函数g(x)有两个零点．
5、(2014北京 )已知函数f(x)＝2x3－3x.若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
解析：设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则，且切线斜率为，
所以切线方程为，
因此．
整理得，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
g(x)与g′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)

t＋3

t＋1

所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，
所以g(x)至多有2个零点．
当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，
所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)＞0，且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，
所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和
(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．

【例5】导数与不等式
1、 已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c. 若f(x)在x＝1时取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，
求c的取值范围．
解：由题意，x＝1是方程3x2－x＋b＝0的一个根，设另一根为x0，
则∴ ∴f(x)＝x3－x2－2x＋c， f′(x)＝3x2－x－2，
当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0；x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
∴当x＝－时，f(x)有极大值＋c，
又f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，
即当x∈[－1,2]时，f(x)的最大值为f(2)＝2＋c，
∵对x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，
∴c2＞2＋c，解得c＜－1或c＞2，
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
2、已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)
上是减函数，且f′＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.又由f(x)在区间[0,1]上
是增函数，在区间(－∞，0)与(1，＋∞)上是减函数，可知x＝0和x＝1是
f′(x)＝0的解，
∴即解得
∴f′(x)＝3ax2－3ax.
又由f′＝，得f′＝－＝，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)由f(x)≤x，得－2x3＋3x2≤x，即x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤或x≥1.
又f(x)≤x在区间[0，m](m＞0)上恒成立，∴0＜m≤.
3、当ln x＜ax在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围．
解：设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． f′(x)＝－a.
∵x＞0，所以当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当a≤0时，f(x)＝ln x－ax＜0在(0，＋∞)上不恒成立
当a＞0时，f(x)在上f′(x)＝－a＞0， f(x)在上f′(x)＝－a＜0，
故f(x)在上是增函数，f(x)在上是减函数．
f(x)在x＝处取得最大值ln－1，因此ln－1＜0，即a＞时，f(x)＜ln x－ax＜0在(0，＋∞)上恒成立，即ln x＜ax在(0，＋∞)上恒成立．
所以当ln x＜ax在(0，＋∞)上恒成立时，a的取值范围为.
4、设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
当x＜0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4， 综上可知a＝4.
(或看做函数x来做)
5、(2014辽宁，文12)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　C　)．
A．[－5，－3] B． C．[－6，－2] D．[－4，－3]
解析：∵当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，即当x∈[－2,1]时，
不等式ax3≥x2－4x－3(*)恒成立．
(1) 当x＝0时，a∈R.
(2) 当0＜x≤1时，由(*)得恒成立．
设，则.
当0＜x≤1时，x－9＜0，x＋1＞0，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(0,1]上单调递增．
当0＜x≤1时，可知a≥f(x)max＝f(1)＝－6.
(3) 当－2≤x＜0时，由(*)得.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝9(舍)．
∴当－2≤x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，∴f(x)在[－2，－1)上递减，
在(－ 1,0)上递增．
∴x∈[－2,0)时，f(x)min＝f(－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a≤f(x)min＝－2.
综上所述，当x∈[－2,1]时，实数a的取值范围为－6≤a≤－2.故选C.
【例6】用导数比较大小设，．
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．
【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．
【解】（1）由题设知，∴令0得=1，
当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。
当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，
因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为
(2)，设，则，
当时，，即，当时，，
因此，在内单调递减，当时，，即
（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立
即从而得。

【例7】函数的图像
1、已知函数的图象如右下图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是 ( C ）
-2
2

O
1
-1
-1
1

O
-2
2

1
-1
-2
1
2
O

-2
-2
2
1
-1
1
2
O
-2
4

1
-1
-2
1
2
O
-2
2

-1
2
4
A
B
C
D

2、(2013浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，
且其导函数y＝f ′ (x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 (　B　)．

答案：
解析：由导函数图象知，函数f(x)在[－1,1]上为增函数．当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.

3、 、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是
【 A 】
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．
4、（08福建11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数的图象可能是 （ A ）

答案　A　由图形语言，不妨设函数y＝f(x)在(－b，－a)和(0，a)上为
增函数(b＞a＞0)．在(－a，0)和(a，b)上为减函数，则导函数y＝f ′(x)
在(－b，－a)和(0，a)上有f ′(x)＞0.在(－a，0)和(a，b)上有f ′(x)＜0，
∴函数y＝f ′(x)的图象在(－b，－a)上时在x轴上方，在(－a，0)上时
在x轴下方，在(0，a)上时在x轴上方，在(a，b)上时在x轴下方．故选A.

5、（08全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 （ A ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．

答案　A　刚开始时，瞬时速度在变大，即曲线上对应切线的斜率变大；加速行驶过程中，瞬时速度变大得更快；匀速行驶过程中，速度不变，即曲线上对应切线的斜率不变；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，即曲线上对应切线的斜率变小，故选A.
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
6、（浙江理8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是 （ D ）

【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。
C
B

7、(2010·青岛模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间(a，b)内的图象如图，则函数y＝f(x)
在区间(a，b)内极大值的个数为 (　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
8、设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是 (　D　)
A．f(1)与f(－1) B．f(－1)与f(1)
C．f(2)与f(－2) D．f(－2)与f(2)
解析：由y＝x·f′(x)的图象知±2是y＝f′(x)的
两个零点，设f′(x)＝a(x－2)(x＋2)．
当x＞2时，xf′(x)＝ax(x－2)·(x＋2)＞0，∴a＞0.
由f′(x)＝a(x－2)(x＋2)知f(－2)是极大值，f(2)是极小值，故选D.

10、 (2012重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数
y＝x f ′(x)的图象可能是(　　)

答案　C　∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f ′(x)<0，
当x<－2时，xf ′(x)>0. 在x＝－2附近的右侧f ′(x)>0，
当－2<x<0时，xf ′(x)<0，故选C.
11、(2011浙江)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是(　　)

答案　D　设F(x)＝f(x)·ex，则f ′(x)＝ex[f ′(x)＋f(x)]