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第三章 微分中值定理与导数应用
第一节 微分中值定理
教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容：
一、罗尔定理
1. 罗尔定理
几何意义:对于在上每一点都有不垂直于轴的切线,且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C,使得其切线平行于轴。

C

A B

从图中可以看出:符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理
费马引理 设函数在点的某邻域内有定义, 并且在处可导, 如果对任意, 有 （或）, 那么.
证明：不妨设时,（若，可以类似地证明）.
于是对于，有， 从而当时，
； 而当时， ；
根据函数在处可导及极限的保号性的得

所以, 证毕。
定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点）.
罗尔定理 如果函数满足：（1)在闭区间上连续, (2)在开区间内可导, （3）在区间端点处的函数值相等,即， 那么在内至少在一点 , 使得函数在该点的导数等于零，即.
证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形：
（1)，此时在上必然取相同的数值M，即
由此得因此，任取，有
（2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设（若，可类似证明）,则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有。 证毕
例1 验证罗尔定理对在区间上的正确性
解 显然 在上连续，在上可导，且， 又, 取，有.
说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足， 其结论可能不成立;
2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个。

例如 在上除不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间内找不到一点能使.
例如 除了点不连续外，在上满足罗尔定理的一切条件,但在区间上不存在使得的点
例如除了外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点
又例如满足定理的一切条件，而

2．罗尔定理的应用
罗尔定理1)可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式。
例2 证明方程有且仅有一个小于1的正实根。
证明：设， 则在上连续，且
由介值定理存在使， 即为方程的小于1的正实根。
设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件， 所以至少存在一个(在之间)使得.
但, 矛盾， 所以为方程的唯一实根.
拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）。

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
1.拉格朗日中值定理
在实际应用中，由于罗尔定理的条件(3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉,就是下面要介绍的拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数满足（1）在闭区间上连续， （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点， 使得等式

成立.
几何意义：

上述等式可变形为,等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB. 当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理.
分析与证明:弦AB的方程为 曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数

于是满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点，使得.
又， 所以
即在内至少有一点，使得。证毕
说明: 1。 又称为拉格朗日中值公式(简称拉氏公式）, 此公式对于也成立;
2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设在上连续, 在内可导时, 若 , 则有
当时， 也可写成
试与微分比较： 是函数增量的近似表达式, 而是函数增量的精确表达式。 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
推论 若函数在区间I上导数恒为零,则在区间I上是一个常数.
2. 拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式。
例3 证明
证明：设
由于 , 所以
又 ， 即。
故.
例4 证明当时,
证明: 设， 则在上满足拉氏定理的条件
于是
又, 于是
而， 所以, 故
从而 , 即

三、柯西中值定理
柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点处均不为零,那末在内至少有一点,使等式成立
几何解释： 设曲线弧C由参数方程()表示, 其中为参数。 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线， 那么在曲线C上必有一点 , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB， 曲线C上点 处的切线的斜率为, 弦AB的斜率为. 于是, 即在曲线弧AB上至少有一点，在该点处的切线平行于弦AB.

证明： 作辅助函数

则满足罗尔定理的条件，于是在内至少存在一点，使得， 即， 所以。证毕
特别地 当时,
由 有
即， 故拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
例5 设函数在上连续，在内可导,证明：至少存在一点，使
证明与分析： 结论可变形为
设，则在上满足柯西中值定理的条件
于是至少存在一点，使
所以至少存在一点，使
即
四、 小结
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广； 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
注意中值定理成立的条件。
五、作业
作业卡： P24~P27

第二节 洛必达法则
教学目的:理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求型和型以及型未定式的极限的方法； 了解型极限的求法.
教学重点：洛必达法则.
教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法.
教学内容：
一． 型和型未定式的解：法洛必达法则
定义：若当（或）时，函数和都趋于零(或无穷大），则极限可能存在、也可能不存在，通常称为型和型未定式。
例如 ， (型)； ， (型）.
定理:设 （1)当时, 函数和都趋于零；
(2)在点的某去心邻域内，和都存在且;

（3) 存在（或无穷大），
则

定义:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则
证明： 定义辅助函数
，
在内任取一点, 在以和为端点的区间上函数和满足柯西中值定理的条件, 则有
, （在与之间）
当时,有, 所以当, 有
故。 证毕
说明: 1。如果仍属于型， 且和满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则, 即;
2.当时, 该法则仍然成立, 有;
3.对（或）时的未定式,也有相应的洛必达法则；
4. 洛必达法则是充分条件;
5. 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限。

例1 求, （型）
解 原式==
例2 求， (型）
解 原式= =
例3 求 ， (型)
解 原式===1
例4 求 ， (型）。
解 原式= = =1
例5 求 , (型）
解 原式== =
= =
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用,效果更好。
例6 求
解 原式= = ==

二．型未定式的求法
关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型和型。
1．型未定式的求法
步骤：或
例7 求 型
解 原式==

步骤：
例8 求 型
解 原式=

步骤：
例9 求 型
解 原式=
例10 求 型
解 原式=
例11 求 型
解 由于
而
所以 原式=
注意：洛必达法则的使用条件．
例12 求
解 原式=极限不存在
（洛必达法条件不满足的情况）
正确解法为 原式=

例13 求
解 设，则
因为
==
从而 原式=
三．小结
1． 洛必达法则是求型和型未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能使用.因此在实际运算时，每使用一次洛必达法,必须判断一次条件。
2． 将等价无穷小代换等求极限的方法与洛必达法则结合起来使用,可简化计算。
3． 洛必达法则是充分条件，当条件不满足时,未定式的极限需要用其他方法求，但不能说此未定式的极限不存在。
4． 如果数列极限也属于未定式的极限问题，需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则,从而求出数列极限.

四．作业
作业卡： P28~P30

第三节 泰勒公式
教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。
教学重点：泰勒中值定理.
教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用.
教学内容：
一、泰勒(Taylor)中值定理的引入
对于一些较复杂的函数， 为了便于研究， 往往希望用一些简单的函数来近似表达。 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数。
在微分的应用中已经知道， 当很小时, 有如下的近似等式：
，
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高， 这所产生的误差仅是关于的高阶无穷小； 其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小。 因此， 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式.
设函数在含有的开区间内具有直到阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于的次多项式

来近似表达， 要求与f（x）之差是比高阶的无穷小, 并给出误差的具体表达式。
我们自然希望与在的各阶导数(直到阶导数)相等, 这样就有

……，
于是, ， , ,…， .
按要求有, ，
, ， × × × × ×，

从而有， ， ,
, …… ，，
即 ().
于是就有
.
二、泰勒中值定理
泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数， 则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即

其中(介于与之间)。
证明：由假设,在内具有直到阶导数，且

两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得（介于与之间）
两函数及在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得(介于与之间）， 此下去，经过次后,得 所以
则由上式得（介于与之间）。 证毕
说明：
1．这里多项式.
称为函数按的幂展开的次近似多项式， 公式
2．
称为按的幂展开的阶泰勒公式, 而R n（x)的表达式
3．(介于与之间)称为拉格朗日型余项。
4．当时， 泰勒公式变成(介于与之间）-拉格朗日中值公式, 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
5．如果对于某个固定的, 当在区间内变动时， 总不超过一个常数M， 则有估计式及
.
可见， 当时, 误差是比高阶的无穷小, 即
,该余项称为皮亚诺形式的余项.
6．在不需要余项的精确表达式时, 阶泰勒公式也可写成

7．当时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式, 就是

或
其中。
8．由此得近似计算公式.
误差估计式变为。
三、简单的应用
例1 求的阶麦克劳林公式
解 由于
所以
而 代入公式，得

由公式可知
估计误差: 设
取， 其误差
例2．求的阶麦克劳林公式。
解： 因为,
所以
于是 。
当时, 有近似公式
, ， .
例3 计算 .
解 由于
所以
故 原式=
四、常用函数的麦克劳林公式

五、小结
Taylor公式在近似计算中具有非常重要的应用

六、作业

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
教学目的:理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理,会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。
教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法.
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点.
教学内容:
一、函数单调性的判定法
如果函数在上单调增加（单调减少）， 那么它的图形是一条沿轴正向上升(下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）， 即 （或） 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.
反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?
定理1 （函数单调性的判定法） 设函数在上连续， 在内可导.
(1）如果在内, 那么函数在上单调增加；
(2）如果在内， 那么函数在上单调减少.
证明 只证(1)（（2）可类似证得）
在上任取两点， 应用拉格朗日中值定理, 得到
.
由于在上式中， 因此, 如果在内导数保持正号，
即, 那么也有， 于是

从而,因此函数在上单调增加. 证毕
注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间.
例1 判定函数在上的单调性.
解 因为在内,
所以由判定法可知函数在上单调增加。
例2 讨论函数的单调性.
解 由于 且函数的定义域为
令, 得, 因为在内, 所以函数在上单调减少; 又在内, 所以函数在上单调增加。
例3. 讨论函数的单调性。
解： 显然函数的定义域为， 而函数的导数为
所以函数在处不可导.
又因为时，, 所以函数在上单调减少;
因为时， , 所以函数在上单调增加.
说明： 如果函数在定义区间上连续， 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间, 就能保证在各个部分区间内保持固定的符号， 因而函数在每个部分区间上单调。
例4. 确定函数的单调区间.
解 该函数的定义域为。
而,令, 得。
列表

+
-
+

↗
↘
↗
函数f(x）在区间和内单调增加， 在区间上单调减少.
例5. 讨论函数的单调性.
解 函数的定义域为
函数的导数为:， 除时, 外， 在其余各点处均有 因此函数在区间上单调减少；
因为当时， ， 所以函数在及上都是单调增加的. 从而在整个定义域内是单调增加的. 其在处曲线有一水平切线。
说明：一般地， 如果在某区间内的有限个点处为零， 在其余各点处均为正（或负）时， 那么在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少）的.
例6. 证明： 当时， 。
证明: 令, 则
因为当时,, 因此在上单调增加, 从而当时, ,又由于， 故，
即, 也就是，()。
二、曲线的凹凸与拐点
1. 凹凸性的概念:

x1
x 2
y
x
O
f(x2)
f(x1)
x1
x 2
y
x
O
f(x2)
f(x1)

定义 设在区间I上连续, 如果对I上任意两点 ， 恒有
,
那么称在I上的图形是(向上)凹的（或凹弧); 如果恒有
,
那么称在I上的图形是（向上)凸的(或凸弧）。
定义¢ 设函数在区间I上连续， 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的。

2.曲线凹凸性的判定
定理 设在上连续, 在（a， b）内具有一阶和二阶导数, 那么
（1)若在内, 则在上的图形是凹的;
（2）若在内 ， 则在上的图形是凸的.
证明 只证（1)（（2）的证明类似）. 设, 记.
由拉格朗日中值公式, 得
, ,
, ,
两式相加并应用拉格朗日中值公式得

, ,
即, 所以在上的图形是凹的.
拐点： 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.
确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2)求出在二阶导数 ；
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点;
注: 根据具体情况（1）、（3)步有时省略.
例1. 判断曲线的凹凸性.
解: ， .
因为在函数的定义域内, , 所以曲线是凸的。
例2。 判断曲线的凹凸性.
解: 因为 ， . 令 得.
当时， ， 所以曲线在内为凸的；
当时,, 所以曲线在内为凹的.
例3。 求曲线的拐点。
解: ， ，令, 得.
因为当时,； 当时， ， 所以点（, ）是曲线的拐点。
例4. 求曲线的拐点及凹、凸的区间。
解: （1)函数的定义域为;
(2) ,；
（3)解方程， 得， ;
（4)列表判断：
(-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥)
f ¢¢(x) + 0 - 0 +
È 1 Ç 11/27 È

在区间和上曲线是凹的, 在区间上曲线是凸的。 点 和是曲线的拐点。
例5 问曲线是否有拐点？
解 , .
当时， , 在区间内曲线是凹的, 因此曲线无拐点。
例6. 求曲线的拐点.
解 （1）函数的定义域为;
（2) , ;
（3）函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ;
（4）判断： 当时,； 当时， 。
因此， 点是曲线的拐点.
三、小结
曲线的弯曲方向—-曲线的凹凸性;凹凸性的判定.
改变弯曲方向的点-—拐点;拐点的求法1, 2。
四、作业
作业卡：P31～P33

第五节 函数极值与最大值最小值
教学目的:理解函数极值的概念，掌握函数极值和最大值、最小值的求法及其简单应用
教学重点：函数的极值概念、函数极值的判断方法和求法
教学难点：函数极值的概念
教学内容：
一、
二、
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、
十三、
十四、

一、函数的极值及其求法
定义 设函数在的某一邻域内有定义, 如果对于去心邻域内的任一，有（或）, 则称是函数的一个极大值（或极小值）.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点。
说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果是函数的一个极大值， 那只是就附近的一个局部范围来说， 是的一个最大值； 如果就的整个定义域来说, 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.
极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处， 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方， 函数不一定取得极值.
由费马引理可得
定理1 （必要条件）设函数在点处可导, 且在处取得极值, 那么函数在处的导数为零， 即.
定理1可叙述为：可导函数的极值点必定是函数的驻点。 但是反过来， 函数的驻点却不一定是极值点.
考察函数在处的情况. 显然是函数的驻点，但却不是函数的极值点.
定理2 (第一种充分条件)设函数在点处连续， 在的某去心邻域内可导。
（1） 若时，, 而时，， 则函数在处取得极大值;
(2） 若时，, 而时，, 则函数在处取得极小值；
(3)如果时，不改变符号， 则函数在处没有极值。
定理２¢ (第一种充分条件）设函数在含的区间内连续, 在及内可导.
（1）如果在内， 在内, 那么函数在处取得极大值；
（2)如果在内， 在内， 那么函数在处取得极小值;
(3)如果在及内的符号相同, 那么函数在处没有极值。
定理2也可简单地叙述为: 当在的邻近渐增地经过时, 如果的符号由负变正, 那么在处取得极大值； 如果的符号由正变负， 那么在处取得极小值； 如果的符号并不改变, 那么在处没有极值.
确定极值点和极值的步骤:
（1)求出导数；
（2）求出的全部驻点和不可导点;
（3)列表判断（考察的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点， 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值）；
(4）确定出函数的所有极值点和极值.
例1 求出函数的极值
解
令得驻点 列表讨论

极大值

极小值

所以极大值极小值
函数的图形如下

例2 求函数的极值.
解 显然函数在内连续, 除外处处可导, 且
令, 得驻点，为的不可导点;
（3)列表判断

-1

1

+
不可导
-
0
+

↗
0
↘

↗
所以极大值为, 极小值为.
如果存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有
定理3 (第二种充分条件) 设函数在点处具有二阶导数且,
, 那么
（1）当时， 函数在处取得极大值；
(1）当时, 函数在处取得极小值；
证明 对情形（1）, 由于， 由二阶导数的定义有
。
根据函数极限的局部保号性， 当在的足够小的去心邻域内时，
。 但, 所以上式即为。
于是对于去心邻域内的来说, 与符号相反. 因此, 当即时,; 当即时，。 根据定理2， 在处取得极大值.
类似地可以证明情形（2)。
说明:如果函数在驻点处的二导数, 那么该点一定是极值点, 并可以按的符来判定是极大值还是极小值。 但如果, 定理3就不能应用。
例如讨论函数, 在点是否有极值？
因为， ，所以，
但当时, 当时， 所以为极小值。
而，，所以,
但
不是极值．
例3 求出函数 的极值
解
令得驻点 ，由于
由于 所以极大值
而所以极小值
函数 的图形如下

注意 当时，在点处不一定取得极值，此时仍用定理2判断.
函数的不可导点,也可能是函数的极值点。

例4 求出函数的极值
解 由于 ，所以时函数的导数不存在
但当时，当时，所以为的极大值
函数的图形如下

例5 求函数的极值.
解 ,令f ¢（x)=0， 求得驻点
又, 所以
因此在处取得极小值， 极小值为。
因为， 所以用定理3无法判别. 而在处的左右邻域内， 所以在处没有极值； 同理, 在处也没有极值.

二、最大值最小值问题
1．极值与最值的关系:
设函数在闭区间上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得， 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间内取得， 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者。 同理, 函数在闭区间［a, b］上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者.
2．最大值和最小值的求法:
设在内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点）为, 则比较的大小， 其中最大的便是函数在上的最大值, 最小的便是函数在上的最小值。
求最大值和最小值的步骤
（1).求驻点和不可导点;
(2)。求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小,那个大那个就是最大值，那个小那个就是最小值；
注意：如果区间内只有一个极值，则这个极值就是最值。(最大值或最小值)
例6 求函数在上的最大值和最小值
解
由于
因此函数在上的最大值为
最小值为
例7 求函数在上的最大值与最小值.
解 由于,
所以
求得在（-3, 4）内的驻点为，不可导点为
而，,
经比较在处取得最大值20, 在处取得最小值0.
3. 最大值、最小值的应用
实际问题求最值步骤:

(1）建立目标函数; (2）求最值.

例8 工厂铁路线上AB段的距离为100km. 工厂C距A处为20km， AC垂直于AB。 为了运输需要, 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路。 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3：5。 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省, 问D点应选在何处？

解 设, 则 , .
再设从B点到C点需要的总运费为y, 那么(是某个正数)
即。
于是问题归结为： 在内取何值时目标函数的值最小.
先求对的导数： .解方程得.
由于， ,, 其中以为最小， 因此当时总运费最省。
注意:在一个区间（有限或无限, 开或闭）内可导且只有一个驻点, 且该驻点是函数的极值点， 那么当是极大值时, 就是该区间上的最大值； 当是极小值时,就是在该区间上的最小值.
f(x 0)
O
a
x 0
b
x
y=f(x )
y
f(x 0)
O
a
x 0
b
x
y=f(x )
y

说明: 实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数确有最大值或最小值， 和一定在定义区间内部取得. 这时如果在定义区间内部只有一个驻点， 那么不必讨论是否是极值就可断定是最大值或最小值.
d
h
b
例9 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁。 问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W ()最大?
解 与有下面的关系:
因而
于是问题转化为: 当等于多少时目标函数W 取最大值？
为此， 求W对b 的导数 .解方程得驻点.
由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 且在内部取得; 又函数在内只有一个驻点, 所以当时， W 的值最大。此时,
， 即. .
例10 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月元，租出去的房子有套
每月总收入为
，
（唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为
例11 由直线及抛物线围成一个曲边三角形,在曲边上求一点,使曲线在该点处的切线与直线所围成的三角形面积最大

解 设所求切点为 切线为PT
由于 所以

令 解得 （舍去）
又因为，所以为极大值
故为所有三角形中面积的最大者
三、小结

极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值，极小值可能大于极大值。

驻点和不可导点统称为临界点。 函数的极值必在临界点处取得。

极值的判别法 要注意使用条件
注意最值与极值的区别.

四、作业
作业卡:P31~P38

第六节 函数图形的描绘
教学目的：培养学生运用微分学综合知识的能力，描绘函数的图形。
教学重点：复习利用导数判断函数单调性、极值的求法、利用导数判断函数图形的凹凸性、函数图形拐点的求法及水平、铅直渐近线和斜渐近线的求法。会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.
教学内容：
一、渐近线
当曲线上的一动点P沿曲线移向无穷点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线的一条渐近线.
1． 铅直渐近线(垂直于轴的渐近线）
如果或，那么就是曲线的一条铅直渐近线。
例如曲线有两条铅直渐近线
2． 水平渐近线（平行于轴的渐近线)
如果或（为常数），那么就是曲线的一条水平渐近线。
例如曲线有两条水平渐近线
3． 斜渐近线
如果或（为常数）那么就是曲线的一条斜渐近线。
注意:如果（1) 不存在;
（2) 存在，而不存在, 那么曲线无斜渐近线。
斜渐近线的求法：
求出,，则就是曲线的斜渐近线
例1 求曲线的渐近线
解 , 因为，
所以是铅直渐近线
又因为，

所以为斜渐近线
二、描绘函数图形的一般步骤：
（1)确定函数的定义域, 并求函数的一阶和二阶导数;
(2）求出一阶、二阶导数为零的点, 求出一阶、二阶导数不存在的点;
（3）列表分析, 确定曲线的单调性和凹凸性；
（4）确定曲线的渐近性；
（5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它特殊点;
（6）联结这些点画出函数的图形。
例2. 做出函数的图形。
解: 函数的定义域为 非奇非偶函数，且无对称性.

， , 令， 得驻点
再令得特殊点， 又
得水平渐近线，而,铅直渐近线
列表

-

—
0
+
不存在
-

-
0
+

+

+

Ç↘
拐点
È↘
极值点
È↗
间断点
È↘

补充点：，，，

例3。 画出函数的图形.
解: (1)函数的定义域为（-¥， +¥),
(2） (3x+1)（x-1)。
令得，再令得.
（3)列表分析:

（-¥， -1/3)
-1/3
(-1/3， 1/3）
1/3
(1/3， 1）
1
(1, +¥）

+
0
-
-
-
0
+

-
-
-
0
+
+
+

Ç↗
极大
Ç↘
拐点
È↘
极小
È↗
因为当x ®+¥时, y ®+¥; 当x ®-¥时, y ®-¥。 故无水平渐近线
计算特殊点：， ， , ； ， .
描点联线画出图形：

例4. 作函数的图形。
解： 函数为偶函数， 定义域为（-¥， +¥）， 图形关于y轴对称。
(2), .
令， 得驻点; 再令, 得和。
列表:

-1

0

1

＋

＋
0
－

－

＋
0
－

－
0
＋

↗
È
拐点
↗
Ç

极大值
↘
Ç
拐点
↘
È
曲线有水平渐近线y=0。
先作出区间内的图形, 然后利用对称性作出区间内的图形.

例5。 作函数的图形。
解: 函数的定义域为。
, 。
令, 得驻点； 再令, 得
列表:

3

6

-
+
0
-
-
-

-
-
-
-
0
+

↘Ç
↗Ç
极大4
↘Ç

拐点
↘È
是曲线的铅直渐近线, 是曲线的水平渐近线。
补充点:， ， ，.
图

四、作业
作业卡：P39~P43

第七节 曲率
教学目的:了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
教学重点：曲率和曲率半径的概念.
教学难点：曲率和曲率半径的概念
教学内容：
一、弧微分
设函数在区间内具有连续导数。 在曲线上取固定点作为度量弧长的基点， 并规定依增大的方向作为曲线的正向. 对曲线上任一点, 规定有向弧段的值（简称为弧)如下： 的绝对值等于这弧段的长度, 当有向弧段的方向与曲线的正向一致时 ， 相反时 。 显然, 弧是的函数: ， 而且是的单调增加函数。 下面来求的导数及微分。

设, 为内两个邻近的点, 它们在曲线上的对应点为M, N， 并设对应于的增量 , 弧的增量为， 于是

,
,
因为==1， 又，
因此=±。 由于是单调增加函数, 从而， =。 于是 . 这就是弧微分公式.

二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．

曲线弯曲程度的直观描述:
设曲线C是光滑的， 在曲线C上选定一点作为度量弧的基点。 设曲线上点M 对应于弧， 在点M处切线的倾角为 ， 曲线上另外一点N对应于弧 ， 在点N处切线的倾角为.
)
)
)

弧段弯曲程度 转角相同弧段越
越大转角越大 短弯曲程度越大

用比值， 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.记, 称为弧段的平均曲率。
记, 称K为曲线C在点M处的曲率。
在存在的条件下, 。
曲率的计算公式：
设曲线的直角坐标方程是， 且具有二阶导数（这时连续， 从而曲线是光滑的）. 因为， 所以
。
又 , 从而得曲率的计算公式
。
若曲线的参数方程为, 则曲率

例1。 计