2019届江苏省南通市高三适应性考试数学试题(解析版).doc
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1、2019届江苏省南通市高三适应性考试数学试题一、填空题1已知集合,则集合_.【答案】【解析】根据交集的概念,可直接得出结果.【详解】因为集合,所以.故答案为【点睛】本题主要考查集合的交集,熟记概念即可,属于基础题型.2若,其中为虚数单位,则的值为_.【答案】-2【解析】先由复数的除法运算化简,再由复数相等的充要条件,即可求出结果.【详解】因为,又,所以,所以有,解得,因此.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算,以及由复数相等求参数,熟记复数运算法则以及复数相等的充要条件即可,属于基础题型.3已知一组数据7,8,11,14,15,则该组数据的方差为_.【答案】10【解析】先求出该组数据的平均数
2、,再由方差计算公式,即可求出结果.【详解】因为7,8,11,14,15的平均数为,所以其方差为.故答案为10【点睛】本题主要考查几个数的方差,熟记方差的计算公式即可,属于基础题型.4一个算法的流程图如图所示,则输出的的值为_.【答案】9【解析】根据程序框图,逐步执行,即可得出结果.【详解】初始值,第一步:,继续循环;第二步:,继续循环;第三步:,结束循环,输出.故答案为9【点睛】本题主要考查程序框图,分析框图的作用,逐步执行,即可得出结果.5函数的定义域为_.【答案】(2,2)【解析】根据对数真数大于零,解一元二次不等式求得函数的定义域.【详解】由于对数的真数要大于零,故,解得,即函数的定义域
3、为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑:一个是对数的真数大于零,一个是分母不能为零,一个是偶次方根被开方数要为非负数,一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.6一根绳子长为5米,若将其任意剪为两段,则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为_.【答案】【解析】根据与长度有关的几何概型的概率计算公式,可直接得出结果.【详解】由题意,将5米长的绳子剪为两段,有一段大于3米的概率为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型,熟记概率计算公式即可,属于基础题型.7在平面直角坐标系中,双曲线的离心率
4、为,则该双曲线的焦距为_.【答案】4【解析】先由离心率求出,进而可求出焦距.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,解得,所以该双曲线的焦距为.故答案为4【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距,熟记双曲线的简单性质即可,属于基础题型.8某长方体的长、宽、高分别为,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为_.【答案】【解析】根据题中条件,先求出长方体的体积,再由长方体的体对角线等于其外接球的直径,求出外接球半径,得到外接球体积,即可求出体积之比.【详解】因为长方体的长、宽、高分别为,所以其体积为;其外接球直径为,故;所以其外接球体积为,因此,该长方体的体积与其外接球的体积之比为.故答案为【点睛】本题主
5、要考查棱柱的体积及其外接球的体积,熟记体积公式即可,属于常考题型.9已知等差数列满足,且,成等比数列,则的所有值为_.【答案】3,4【解析】先设等差数列公差为,根据题意求出公差,进而可求出结果.【详解】设等差数列公差为,因为,且,成等比数列,所以,即,解得或.所以或.故答案为3,4【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算,熟记等差数列的通项公式即可,属于基础题型.10若函数存在零点,且与函数的零点完全相同,则实数的值为_.【答案】1【解析】不妨先令为函数零点,得到,根据函数与函数的零点完全相同,得到,进而可求出结果.【详解】因为函数存在零点,不妨令为函数零点,则,又函数与函数的零点完全相同,
6、所以,即,所以.故答案为1【点睛】本题主要考查根据函数零点相同求参数的问题,熟记复合函数的相关知识即可,属于常考题型.11如图,在边长为2的正三角形中,、分别为边、上的动点,且满足(为定常数,且),若的最大值为,则_.【答案】【解析】以中点为坐标原点,方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立平面直角坐标系,设,其中,根据题中条件,表示出,结合二次函数最值,即可求出结果.【详解】以中点为坐标原点,方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立如图所示平面直角坐标系,因为正三角形边长为2,所以,则,因为为边上的动点,所以设,其中,则,所以;又,所以,因此,所以,故,因为,所以,又,所以当且仅当时,取得最大值,即
7、,整理得,解得或(舍)故答案为【点睛】本题主要考查由向量数量积求出参数,熟记向量数量积的坐标运算,以及二次函数的性质即可,属于常考题型.12在中,已知边上的中线,且,成等差数列,则的长为_.【答案】【解析】先由,成等差数列,结合正弦定理与余弦定理,得到,再由边上的中线,得到,进而可求出结果.【详解】因为,成等差数列,所以,即,所以,由正弦定理可得,又由余弦定理可得,所以,故,又因为边上的中线,所以,因为,所以,即,解.即的长为.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的应用,熟记正弦定理与余弦定理,以及向量数量积的运算即可,属于常考题型.13已知函数,若存在实数使得,则的最大值为_.【答
8、案】【解析】先作出函数图像,由题意,令为方程的两个根,结合函数图像,求出的范围,根据,求出,将化为,令,用导数方法求出其最大值,即可得出结果.【详解】作出函数图像如下:由题意,令为方程的两个根,由图像易得;由得,解得或,因为,所以,因此,令,则,因为,所以由得;由得,即函数在上单调递增;在上单调递减;所以,因此的最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用,由转化与化归的思想,先将问题转化为求函数最值的问题,利用导数的方法研究函数的单调性与最值即可,属于常考题型.14在长方体中,已知底面为正方形,为的中点,点为正方形所在平面内的一个动点,且满足,则线段的长度的最大值是_.【答案】【解析】在
9、正方形所在平面内建立平面直角坐标系,设,由,可得,进而可得出结果.【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系,设,则有,因为,所以,整理得,所以点的轨迹是以为圆心,以为半径的圆,所以线段长度的最大值为.故答案为6【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算,以及立体几何中的轨迹问题,常用坐标系的方法处理,属于常考题型.二、解答题15如图,在三棱锥中,点是的中点,.(1)平面;(2)平面平面.【答案】(1)见证明;(2)见证明【解析】(1)根据线面平行的判定定理,直接证明,即可得出结论成立;(2)先由线面垂直的判定定理证明平面,再由面面垂直的判定定理,即可证明结论成立;【详解】(1)在中,因为,所以
10、为的中点.又因为点是的中点,所以.又平面,平面,所以平面.(2)在中,因为,所以.又因为,所以.又因为,所以,即.又因为,平面,平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面.【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的证明,熟记判定定理即可,属于常考题型.16在中,已知,.(1)求的长;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)先由,求出,再由求出,根据正弦定理,即可求出结果;(2)同(1)由求出,由二倍角公式求出与,进而可求出结果.【详解】解:(1)因为,所以.在中,所以,于是.在中,由正弦定理知,所以.(2)在中,所以,于是,于是,.因此,.【点睛】本题主要考查解三角形与三角恒等变换,熟记公
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