离散数学课后习题.doc
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1、一、选择或填空(数理逻辑部分)1、下列哪些公式为永真蕴含式?()(1)Q=QP (2)Q=PQ (3)P=PQ (4)P(PQ)=P 答:(1),(4)2、下列公式中哪些是永真式?( )(1)(PQ)(QR) (2)P(QQ) (3)(PQ)P (4)P(PQ)答:(2),(3),(4)3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=PQ (2) PQ=P (3) PQ=PQ (4)P(PQ)=Q (5) (PQ)=P (6) P(PQ)=P答:(2),(3),(4),(5),(6)4、公式x(A(x)B(y,x) $z C(y,z)D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。答
2、:x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+818,则三角形有4条边。(5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是(4) 是,T (5) 不是 (6) 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。答:所有人都不是大学生,有些人不会死7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。(1)只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校(3)当且仅当我
3、生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1) (2) (3) (4)8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。(1) x$y(x+y=0) (2) $yx(x+y=0)答:(1)对任一整数x存在整数 y满足x+y=0(2)存在整数y对任一整数x满足x+y=09、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:(1) x$y (xy=y)()(2) $xy(x+y=y)()(3) $xy(x+y=x) ()(4) x$y(y=2x) ()答:(1) F (2) F (3)F (4)T11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。答:2不是偶数且-3不是负数。12、永真式
4、的否定是( )(1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)-(3)均有可能答:(2)13、公式(PQ)(PQ)化简为( ),公式 Q(P(PQ)可化简为( )。答:P ,QP15、令R(x):x是实数,Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为( )。答:x(R(x)Q(x)(二元关系部分)28、设1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,从到B的关系x,y|x=y2,求(1)R (2) R-1 。答:(1)R=, (2) R=,29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。()答:A上的恒等关系30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?( )答
5、:自反性、对称性和传递性31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?( )答:自反性、反对称性和传递性32、设S=,,上的关系1,2,2,1,2,3,3,4求(1)RR (2) R-1 。答:RR =1,1,1,3,2,2,2,4R-1 =2,1,1,2,3,2,4,333、设1,2,3,4,5,6,是A上的整除关系,求R= ()。答:R=,34、设1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,从到B的关系x,y|x=2y,求(1)R (2) R-1 。答:(1)R=, (2) R=,(3,635、设1,2,3,4,5,6,B=1,2,3,从到B的关系x,y|x=y2,求R和R-1的关系矩阵。答:R的
6、关系矩阵= R的关系矩阵=36、集合A=1,2,10上的关系R=|x+y=10,x,yA,则R 的性质为( )。(1) 自反的(2) 对称的 (3) 传递的,对称的 (4) 传递的答:(2)(代数结构部分)37、设A=2,4,6,A上的二元运算*定义为:a*b=maxa,b,则在独异点中,单位元是( ),零元是( )。答:2,638、设A=3,6,9,A上的二元运算*定义为:a*b=mina,b,则在独异点中,单位元是( ),零元是( );答:9,3(半群与群部分)39、设G,*是一个群,则(1) 若a,b,xG,ax=b,则x=( );(2) 若a,b,xG,ax=ab,则x=( )。答:
7、(1) ab (2) b40、设a是12阶群的生成元, 则a2是( )阶元素,a3是( )阶元素。答: 6,441、代数系统是一个群,则G的等幂元是()。答:单位元42、设a是10阶群的生成元, 则a4是( )阶元素,a3是( )阶元素。答:5,1043、群的等幂元是(),有()个。答:单位元,144、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。答:循环群,任一非单位元45、设G,*是一个群,a,b,cG,则(1) 若ca=b,则c=( );(2) 若ca=ba,则c=( )。答:(1) b (2) b46、是的子群的充分必要条件是( )。答:是群 或 a,b G, abH,a-1H 或 a
8、,b G,ab-1H 47、群A,*的等幂元有()个,是(),零元有()个。答:1,单位元,048、在一个群G,*中,若G中的元素a的阶是k,则a-1的阶是( )。答:k49、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?( ) (1) a*b=a-b(2) a*b=maxa,b(3) a*b=a+2b(4) a*b=|a-b|答:(2)50、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。(1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群 (4) 是交换群答:(1)51、6阶有限群的任何子群一定不是( )。(1) 2阶(2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶答:(3)(数理逻辑部分)二、求下列各
9、公式的主析取范式和主合取范式: 1、(PQ)R 解:(PQ)R(PQ )R(PR)(QR) (析取范式)(P(QQ)R)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)(PQ)R)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)( PQR)(原公式否定的主析取范式)(PQ)R(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)2、(PR)(QR)P 解: (PR)(QR)P(析取范式)(P(QQ)R)(PP)QR)(P(QQ)(RR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)( PQR)( PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)
10、(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (主析取范式)((PR)(QR)P)(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)(PR)(QR)P (PQR)(PQR)(主合取范式)3、(PQ)(RP)解:(PQ)(RP)(PQ)(RP)(合取范式)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式) (PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)4、Q(PR) 解:Q(PR)QPR(主合取范式)(Q(PR)
11、)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)Q(PR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)5、P(P(QP) 解:P(P(QP)P(P(QP)PP T (主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)6、(PQ)(RP)解: (PQ)(RP)(PQ)(RP)(PQ)(RP)(析取范式)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)(PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主析取
12、范式)(PQ)(RP)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)7、P(PQ) 解:P(PQ)P(PQ)(PP)QT(主合取范式)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)8、(RQ)P解:(RQ)P(RQ )P(RP)(QP) (析取范式)(R(QQ)P)(RR)QP)(RQP)(RQP)(RQP)(RQP)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)(RQ)P)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(原公式否定的主析取范式)(RQ)P(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)9、PQ 解:PQPQ(主合取范式)(P(QQ)(PP
13、)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)10、PQ 解: PQ (主合取范式)(P(QQ)(PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主析取范式)11、PQ解:PQ(主析取范式)(P(QQ)(PP)Q)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(主合取范式)12、(PR)Q解:(PR)Q(PR)Q(PR)Q(PQ)(RQ)(合取范式)(PQ(RR)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(PR)Q (PQR)(PQR)(P
14、QR)(PQR)(PQR) (原公式否定的主析取范式)(PR)Q(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)13、(PQ)R解:(PQ)R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PQ(RR)(PP)(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)(PQ)R(PQ)R(PQ)R(析取范式)(PR)(QR)(合取范式)(P(QQ)R)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)14、(P(QR)(P(QR)解:(P(QR)(P(QR)(P(QR
15、)(P(QR)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(合取范式)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(P(QR)(P(QR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(P(QR)(P(QR)(PQR)(PQR)(主析取范式)15、P(P(Q(QR)解:P(P(Q(QR) P(P(Q(QR) PQR(主合取范式)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(PQ
16、R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)16、(PQ)(PR)解、(PQ)(PR)(PQ)(PR) (合取范式)(PQ(RR)(P(QQ)R)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式)(PQ)(PR)(PQ)(PR)P(QR)(合取范式)(P(QQ)(RR)(PP)QR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)三、证明:1、PQ,QR,R,SP=S证明:(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q (1),(2)(4) P
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