拓展题型-二次函数综合题.ppt

拓展题型拓展题型 二次函数综合题二次函数综合题拓展一拓展一 二次函数与线段和差问题二次函数与线段和差问题拓展二拓展二 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题拓展三拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题二次函数与特殊四边形判定问题拓展一拓展一 二次函数与线段和差问题二次函数与线段和差问题 典例精讲例例1 如图，抛物线如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0)与与x轴交于点轴交于点A、B（1,0)，与，与y轴交于点轴交于点C，直线，直线y=x-2经过点经过点A、C.抛物抛物线的顶点为线的顶点为D,对称轴为直线对称轴为直线l.（1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；【思维教练思维教练】已知直线已知直线y=x-2经过经过点点A、C，结合题干，可求得，结合题干，可求得A、C两两点的坐标，结合点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线，代入抛物线y=ax2+bx+c(a0)求解即可；求解即可；例例1题图题图抛物线解析式为抛物线解析式为y=-x2+x-2；解解：对于直线：对于直线y=x-2，令，令y=0,得得x=4,令令x=0，得，得y=-2，点点A（4，0），点），点C（0，-2），），将将A（4，0），），B（1，0），），C（0，-2）代入抛物线解析）代入抛物线解析式，得式，得 解得解得16a+4b+c=0a+b+c=0c=-2，a=-b=c=-2，例例1题图题图【思维教练思维教练】要求顶点要求顶点D的坐标和对称轴的坐标和对称轴l，需知抛物，需知抛物线的顶点式，线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为中已求得抛物线的一般式，直接化为顶点式即可得到点顶点式即可得到点D的坐标和对称轴的坐标和对称轴l；（2）求顶点）求顶点D的坐标与对称轴的坐标与对称轴l；例例1题图题图解：由抛物线解：由抛物线y=-x2+x-2，得，得y=-（x2-5x）-2=-(x-)2+，抛物线顶点抛物线顶点D的坐标为（的坐标为（,），），对称轴对称轴l为直线为直线x=；例例1题图题图【思维教练思维教练】已知点已知点E在在x轴上，则设轴上，则设E点坐标为（点坐标为（e,0）,要要求点求点E的坐标，已知的坐标，已知AE=CE，需先分别用含，需先分别用含e的式子表示出的式子表示出AE和和CE，由于，由于A点坐标（点坐标（1）中已求得，则）中已求得，则AE4-e,由题图由题图可知点可知点O、E、C三点可构成三点可构成RtCOE，结合，结合C点坐标，利用点坐标，利用勾股定理即可表示出勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；的式子，建立方程求解即可；（3）设点）设点E为为x轴上一点，且轴上一点，且AE=CE，求点，求点E的坐标；的坐标；例例1题图题图例例1题解图题解图在在Rt COE中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得CE2=OC2+OE2=22+e2，AE=CE，(4-e)222+e2，解得解得e=，则点则点E的坐标为（的坐标为（，0）；E解：如解图解：如解图，由点，由点E在在x轴上，可设点轴上，可设点E的坐标为的坐标为（e,0），），则则AE=4-e，连接，连接CE，（4）设点）设点G是是y轴上一点，是否存在点轴上一点，是否存在点G,使得使得GD+GB的值的值最小，若存在，求出点最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例例1题图题图【思维教练思维教练】线段之和最小值问题即线段之和最小值问题即“最短路径问题最短路径问题”，解决这类问题最基本的定理就是解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短两点之间线段最短”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使如此问，要使GD+GB的值最小，先找点的值最小，先找点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B,再连接再连接BD,BD与与y轴的交点即为所求的轴的交点即为所求的G点，求直线点，求直线BD的解析式，再的解析式，再求其与求其与y轴的交点即可；轴的交点即可；设直线设直线BD 的解析式为的解析式为y=kx+d（k0），其中），其中D(,)，则则 解得解得直线直线BD的解析式为的解析式为y=x+，令，令x=0,得得y=，点点G的坐标为（的坐标为（0，）；例例1题解图题解图-k+d=0 k+d=，k=d=，解：存在解：存在.如解图如解图，取点，取点B关于关于y轴的对称点轴的对称点B，则点，则点B的的坐标为（坐标为（-1,0）.连接连接BD，直线，直线BD与与y轴的交点轴的交点G即为所求即为所求的点的点.BG（5）在直线）在直线l上是否存在一点上是否存在一点F，使得，使得BCF的周长最小，的周长最小，若存在，求出点若存在，求出点F的坐标及的坐标及BCF周长的最小值；若不存在，周长的最小值；若不存在，请说明理由；请说明理由；例例1题图题图【思维教练思维教练】要使要使BCF的周长最小，因的周长最小，因为为BC长为定值，即要使长为定值，即要使CF+BF的值最小，的值最小，由点由点A,B关于直线关于直线l对称，可知对称，可知AC与与l的交点的交点为点为点F，即可使得，即可使得CF+BF最小，将最小，将x=代代入直线入直线AC的解析式，即可求得的解析式，即可求得F点的坐标，点的坐标，在在RtAOC中可得中可得AC的长，在的长，在RtOBC中可得中可得BC的长，的长，即可得到即可得到BCF周长的最小值；周长的最小值；在在RtOBC中，中，OB=1，OC=2，由勾，由勾股定理得股定理得BC=为定值，为定值，当当BF+CF最小时，最小时，CBCF最小最小.点点B与点与点A关于直线关于直线l对称，对称，AC与对称轴与对称轴l的交点即为所求的点的交点即为所求的点F，将将x=代入直线代入直线y=x-2，得，得y=-2=-，点点F的坐标为（的坐标为（,-）.例例1题解图题解图解：存在，要使解：存在，要使BCF的周长最小，即的周长最小，即BC+BF+CF最小，最小，如解图如解图所示所示.F在在RtAOC中，由中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得，根据勾股定理得AC=2 ，BCF周长的最小值为周长的最小值为BC+AC=+2 =3 ；例例1题解图题解图F【思维教练思维教练】要使要使SD-SB的值最大，则的值最大，则需分两种情况讨论：需分两种情况讨论：S、B、D三点不三点不共线时构成三角形，由三角形三边关系共线时构成三角形，由三角形三边关系得到得到SD-SBBD；当三点共线时，有当三点共线时，有SD-SB=BD.从而得到当点从而得到当点S在在DB的延长的延长线上时满足条件，求出直线线上时满足条件，求出直线BD的解析式的解析式后，再求出直线后，再求出直线BD与与y轴的交点坐标即可；轴的交点坐标即可；（6）在）在y轴上是否存在一点轴上是否存在一点S，使得，使得SD-SB的值最大，若的值最大，若存在，求出点存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由;例例1题图题图当当S与与DB不在同一条直线上时，不在同一条直线上时，由三角形三边关系得由三角形三边关系得SD-SBBD，当当S与与DB在同一条直线上时，在同一条直线上时，SD-SB=BD，SD-SBBD，即当，即当S在在DB的延长线上时，的延长线上时，SD-SB最大，最大值为最大，最大值为BD.设直线设直线BD的解析式为的解析式为y=mx+n,由由B（1，0），），D（，），得），得例例1题解图题解图S解：存在解：存在.如解图如解图，延长，延长DB交交y轴于点轴于点S.m+n=0 m+n=，m=解得解得 ，n=-直线直线BD的解析式为的解析式为y=x-,当当x=0时时,y=-,即当点即当点S的坐标为（的坐标为（0，-）时，）时，SD-SB的值最大；的值最大；例例1题解图题解图S（7）若点）若点H是抛物线上位于是抛物线上位于AC上方的一上方的一点，过点点，过点H作作y轴的平行线，交轴的平行线，交AC于点于点K，设点设点H的横坐标为的横坐标为h，线段，线段HKd.求求d关于关于h的函数关系式；的函数关系式；求求d的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标；点的坐标；例例1题图题图【思维教练思维教练】平行于平行于y轴的两点之间的距离为此两点的纵坐轴的两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，要求标之差的绝对值，如此问，要求d关于关于h的函数关系式，由的函数关系式，由题可得点题可得点H的横坐标为的横坐标为h，分别将分别将h代入抛物线及直线代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点的纵坐标，再由点H在点在点K的的上方，可得到上方，可得到d关于关于h的函数关系式；的函数关系式；利用二次函数的性利用二次函数的性质求最值，即可得质求最值，即可得HK的最大值及此时的最大值及此时H点的坐标；点的坐标；点点H的坐标为（的坐标为（h,-h2+h-2），），HKy轴，交轴，交AC于于K，点点K的坐标为（的坐标为（h,h-2），），点点H在点在点K的上方，的上方，HK=d=（-h2+h-2）-（h-2）=-h2+2h（0h4）;由由d=-h2+2h=-(h2-4h)=-(h-2)2+2可知，可知，当当h=2时，时，d最大，最大，024,符合题意，符合题意，当当h=2时，时，d最大，最大值为最大，最大值为2,此时点此时点H的坐标（的坐标（2,1）；）；例例1题解图题解图HK解：解：如解图如解图,点点H在抛物线上，点在抛物线上，点H的横坐标为的横坐标为h，（8）设点）设点P是直线是直线AC上方抛物线上一点，当上方抛物线上一点，当P点与直线点与直线AC距离最大时，求距离最大时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？点的坐标，并求出最大距离是多少？例例1题图题图【思维教练思维教练】要求要求P点的坐标及点的坐标及P点到点到AC的的最大距离，可根据三角形相似，确定对应最大距离，可根据三角形相似，确定对应边的最大值即可，通过作边的最大值即可，通过作PTy轴交轴交AC于于L,作作PQAC于点于点Q，证明，证明PLQACO,得到得到PQ与与PL的比等于的比等于AO与与AC的比，即可的比，即可得到得到PQ与与PL的关系的关系,再由（再由（7）得到）得到PL的最的最大值，即可得到大值，即可得到PQ的最大距离及此时的的最大距离及此时的P点坐标点坐标.PLQ=ACO,PQL=AOC=90，PLQACO，,，设设P点的横坐标为点的横坐标为t，由（由（7）知）知PL=-t2+2t，例例1题解图题解图解：如解图解：如解图，过点，过点P作作PTy轴，交轴，交AC于于L，作，作PQAC于点于点Q，PTLQ当且仅当当且仅当t=2时时,PL取最大值取最大值2，当当t=2时，时，PQ取最大距离取最大距离 ，此时点此时点P的坐标为（的坐标为（2,1）.PTLQ拓展二拓展二 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题例例2 如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线y=x+3与与x轴相交轴相交于点于点A,与与y轴相交于点轴相交于点C，点，点B在在x轴的正半轴上，且轴的正半轴上，且AB=4，抛物线抛物线y=ax2+bx+c经过点经过点A,B,C.（1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；例例2题图题图【思维教练思维教练】要求抛物线的解析式，要求抛物线的解析式，需知过抛物线的三点需知过抛物线的三点A、B、C的坐标，的坐标，利用直线利用直线y=x+3求得求得A、C两点的坐标，两点的坐标，结合已知的结合已知的AB=4，求得，求得B点坐标，代入求解即可；点坐标，代入求解即可；典例精讲解解：对于：对于y=x+3，当，当x=0时，时，y=3；当当y=0时，时，x=-3，A（-3，0），），C（0，3），），AB=4，B（1，0），），抛物线抛物线y=ax2+bx+c经过点经过点A（-3，0），），B（1，0），），C（0，3），），解得，解得 ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;9a-3b+c=0a+b+c=0c=3a=-1b=-2c=3例例2题图题图【思维教练思维教练】要求要求ABC的面积，需知的面积，需知ABC的一条边的的一条边的长度和这条边上高的长度，由于长度和这条边上高的长度，由于ABC的边的边AB已知，底已知，底边边AB上的高为上的高为OC，即为点，即为点C的纵坐标，代入面积计算公的纵坐标，代入面积计算公式即可求解；式即可求解；（2）求）求ABC的面积；的面积；解：解：点点C坐标为坐标为(0，3)，OC=3，SABC=ABOC=43=6;例例2题图题图【思维教练思维教练】QAE与与CBE的底边的底边AE=BE，要使两三角形面积相等，故，要使两三角形面积相等，故只要高相等，只要高相等，CBE底边底边BE的高为的高为3，点点Q的纵坐标为的纵坐标为3和和-3时，满足条件，时，满足条件，分别代入抛物线解析式即可求解；分别代入抛物线解析式即可求解；（3）点）点D为抛物线的顶点，为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点是抛物线的对称轴，点E在在x轴上，在抛物线上存在点轴上，在抛物线上存在点Q,使得使得QAE的面积与的面积与CBE的的面积相等，请直接写出点面积相等，请直接写出点Q的坐标；的坐标；例例2题图题图例例2题解图题解图Q1（Q2）PQ4（Q3）解：解：Q点的坐标为（点的坐标为（-2，3）或（）或（0，3）或（或（-1+，-3）或（）或（-1-，-3）；）；【解法提示解法提示】如解图如解图，依题意，依题意，AE=BE，当当QAE的边的边AE上的高为上的高为3时，时，QAE的面积与的面积与CBE的面积相等的面积相等.当当y=3时，时，-x2-2x+3=3，解得，解得x1=-2，x2=0，点点Q的坐标为（的坐标为（-2，3）或（）或（0，3）.当当y=-3时，时，-x2-2x+3=-3，解得，解得x=-1 ，点点Q的坐标为（的坐标为（-1+，-3）或）或（-1-，-3）.综上所述，点综上所述，点Q的坐标为（的坐标为（-2，3）或（）或（0，3）或）或（-1+，-3）或（）或（-1-，-3）.【思维教练思维教练】要求四边形要求四边形AOCD和和ACD的面积，由于的面积，由于四边形四边形AOCD是不规则图形，则可利用是不规则图形，则可利用S四边形四边形AOCD=SAOD+SCOD计算计算.由于由于ACD的底与高不容易计算，的底与高不容易计算，所以可利用所以可利用S四边形四边形AOCD-SAOC计算；计算；（4）在（）在（3)的条件下，连接的条件下，连接AD,CD，求四边形，求四边形AOCD和和ACD的面积；的面积；例例2题图题图易知点易知点D的坐标为（的坐标为（-1，4），），S四边形四边形AOCD=SAOD+SCOD=34+31=，SACD=S四边形四边形AOCD-SAOC=-33=3；例例2题解图题解图解：如解图解：如解图，连接，连接OD，（5）在直线）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点的上方的抛物线上，是否存在一点M,使使MAC的面积最大？若存在，请求出点的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出的坐标，并求出MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由；面积的最大值；若不存在，请说明理由；例例2题图题图【思维教练思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解求解.如此问，要使如此问，要使MAC的面积最大，可先用含字母的的面积最大，可先用含字母的式子表示出式子表示出SMAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进，再利用二次函数性质讨论其最值，进而求得而求得M点坐标；点坐标；设设M（x，-x2-2x+3），则），则N（x，x+3），），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，SMAC=SAMN+SCMN=MN3=(-x2-3x)=-(x+)2+，-0，当当x=-时，时，SMAC的值最大为的值最大为 ，当当x=-时，时，y=-(-)2-2(-)+3=，点点M的坐标为（的坐标为（-，）；）；例例2题解图题解图解：存在点解：存在点M，使得，使得MAC的面积最大的面积最大.如解图如解图，过点，过点M作作MNy轴，交轴，交AC于点于点N，NM【思维教练思维教练】要确定要确定H点的位置，根据点的位置，根据HGA被分成面积被分成面积为为1 2的两部分，的两部分，HAI和和AIG高相等，对称轴在高相等，对称轴在y轴左侧，轴左侧，可分可分HI与与IG为为1 2或或2 1两种情况，列方程即可求解；两种情况，列方程即可求解；（6）点）点H是抛物线第二象限内一点，作是抛物线第二象限内一点，作HGx轴，试确轴，试确定定H点的位置，使点的位置，使HGA的面积被直线的面积被直线AC分为分为1 2的两部的两部分；分；例例2题图题图解：如解图解：如解图，由（，由（5）可知，可分两种情况讨论：）可知，可分两种情况讨论：若若HI=2IG，则有，则有-x2-3x=2(x+3)（-3x0），），整理得整理得x2+5x+6=0，解得解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），H（-2，3）；）；若若2HI=IG，则有，则有2(-x2-3x)=x+3（-3x0），整理得），整理得2x2+7x+3=0，解得解得 x1=-，x2=-3（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），H（-，）.综上所述，有两种情况：综上所述，有两种情况：H（-2，3）或）或H（-，）；）；例例2题解图题解图H1G2G1OH2I1I2（7）在抛物线上是否存在一点）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使，且位于对称轴的左侧，使SRBC=，若存在，求出此时点，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请的坐标；若不存在，请说明理由说明理由.【思维教练思维教练】先假设存在点先假设存在点R，使得，使得SRBC=.过点过点R作作BC的垂线交的垂线交BC的延长线于点的延长线于点K，可得，可得 BCRK=，此时点此时点R，K坐标不易计算，可考虑作坐标不易计算，可考虑作RHy轴与轴与BC的延长线交于点的延长线交于点F，利，利用用RKF与与BOC相似，相似，RFBOBCRK9，设出，设出R点点坐标利用此关系式列方程即可求解坐标利用此关系式列方程即可求解.例例2题图题图例例2题解图题解图解：存在点解：存在点R，使得，使得SRBC ，且位于对称轴的左侧，且位于对称轴的左侧.如解如解图图，过点，过点R作作RKBC，交，交BC的延长线于点的延长线于点K，作，作RHy轴，轴，交交x轴于点轴于点H，交，交BC的延长线于点的延长线于点F，则则F=BCO，RKF=BOC=90，RKFBOC，RFBO=BCRK，又又SRBC=，BO=1，BCRK=BORF=，RF=9.FRKH由由B（1，0），），C（0，3）可求出直线）可求出直线BC的解析式为的解析式为y=-3x+3，设设R（x，-x2-2x+3），则），则F（x，-3x+3），），RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x，x2-x=9，解得解得x1=，x2=（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），R（，）.FKHR例例2题解图题解图拓展三拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题二次函数与特殊四边形判定问题例例 3 如图如图，抛物线经过，抛物线经过A（-5，0），），B（-1，0），），C（0，5）三点，顶点坐标为）三点，顶点坐标为M，连接，连接AC.抛物线的对抛物线的对称轴为称轴为l，l与与x轴交点为轴交点为D，与，与AC交点为交点为E.(1)分别求出抛物线的解析式，顶点分别求出抛物线的解析式，顶点M的坐标，对称轴的坐标，对称轴l的解析式；的解析式；例例3题图题图 典例精讲【思维教练思维教练】要确定抛物线的解析式，顶点要确定抛物线的解析式，顶点M的坐标和的坐标和对称轴对称轴l的解析式，由于的解析式，由于A、B、C的坐标已知，设抛物线的坐标已知，设抛物线解析式为一般式，将点解析式为一般式，将点A、B、C代入求出抛物线解析式，代入求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，顶点将解析式转化为顶点式，顶点M的坐标，对称轴的坐标，对称轴l的解析的解析式即可求解；式即可求解；例例3题图题图解解：设抛物线解析式为：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点将点A（-5，0），），B（-1，0），），C（0，5）代入，得）代入，得 ，解得，解得 ，抛物线解析式为抛物线解析式为y=x2+6x+5，=(x+3)2-4，25a-5b+c=0a-b+c=0c=5a=1b=6c=5顶点顶点M的坐标为（的坐标为（-3，-4），对称轴），对称轴l的解析式为：的解析式为：x=-3;例例3题图题图【思维教练思维教练】由点由点P在对称轴上结合抛物线的解析式，设在对称轴上结合抛物线的解析式，设P（-3，p），根据），根据PMCO，分，分P在在M点上方和点上方和P在在M点下点下方两种情况进行讨论，求出点方两种情况进行讨论，求出点P坐标；坐标；（2）设）设P是直线是直线l上一点，且上一点，且PM=CO，求点，求点P的坐标；的坐标；例例3题图题图解：解：点点C（0，5），），CO=5，设点设点P的坐标为（的坐标为（-3，p），如解图），如解图，当点当点P在在M点上方时点上方时，即为，即为P1点，点，则则P1M=p-（-4）=5，解得，解得p=1，此时点此时点P1的坐标为（的坐标为（-3，1）；）；当点当点P在在M点下方点下方，即为，即为P2点，点，则则P2M=-4-p=5，解得，解得p=-9，此时点此时点P2的坐标为（的坐标为（-3，-9），），综上，这样的点综上，这样的点P有两个，坐标分别为有两个，坐标分别为P1（-3，1），），P2（-3，-9）；）；例例3题解图题解图P1P2（3）在线段）在线段CO上取一点上取一点F,使得使得CF=DE,求点求点F的坐标的坐标,并并判定四边形判定四边形DECF的形状的形状;例例3题图题图【思维教练思维教练】要求点要求点F的坐标，可根据的坐标，可根据CF=DE，结合，结合C点坐标求解，点坐标求解，C点坐标点坐标已知，故只需求解已知，故只需求解DE的长度，由点的长度，由点E为为l与与AC的交点可知点的交点可知点E在在AC上，先求上，先求直线直线AC的解析式，从而确定点的解析式，从而确定点E的坐标，的坐标，然后确定然后确定DE的长，再结合的长，再结合DE确定确定CF，从而得到点从而得到点F的坐标，利用的坐标，利用DECF，DE=CF，即可判定四，即可判定四边形边形DECF的形状；的形状；解：设直线解：设直线AC的解析式为的解析式为 ，将点将点A（-5,0），），C（0,5）代入得）代入得 ，解得，解得 ，直线直线AC的解析式为的解析式为y=x+5.令令x=-3得得y=-3+5=2，点点E的坐标为（的坐标为（-3,2），易得点），易得点D的坐标为（的坐标为（-3,0），），DE=2.例例3题图题图如解图如解图，连接，连接DFDECF，DE=CF，四边形四边形DECF是平行四边形；是平行四边形；例例3题解图题解图CF=DE=2，点，点F在线段在线段CO上，点上，点C坐标为（坐标为（0,5），），点点F的坐标为（的坐标为（0,3）.F（4）设）设G是抛物线上一点，过点是抛物线上一点，过点G作作GHx轴交轴交l于点于点H，点点G坐标为何值时，以坐标为何值时，以A、B、G、H为顶点的四边形是平为顶点的四边形是平行四边形？行四边形？【思维教练思维教练】由于由于GHx轴，轴，AB在在x轴上可知轴上可知GHAB，要使以，要使以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形，则需证则需证GH=AB即可；即可；例例3题图题图解：解：点点G在抛物线上，则设点在抛物线上，则设点G的坐标为的坐标为(g,g2+6g+5)，GH x轴，点轴，点H在在l：x=-3上，上，点点H(-3,g2+6g+5).GHAB，要得到以，要得到以A、B、G、H为顶点的四边形是为顶点的四边形是平平行四边形，则必须行四边形，则必须GH=AB=4，如解图如解图，即，即|g+3|=4，解得解得g=1或或g=-7，当当g=1时时，g2+6g+5=12，此时点此时点G的坐标为（的坐标为（1,12）；）；当当g=-7时时，g2+6g+5=12，此时点此时点G的坐标为（的坐标为（-7,12），），综上，这样的点综上，这样的点G有两个，坐标有两个，坐标分别为（分别为（1,12），（），（-7,12）；）；例例3题解图题解图EH1（H2）G1G2【思维教练思维教练】由折叠的性质得到由折叠的性质得到M、M关于关于x轴对称，再轴对称，再由抛物线性质得到由抛物线性质得到A、B关于关于MM对称，从而利用菱形性对称，从而利用菱形性质得出结论；质得出结论；（5）如图）如图，沿，沿x轴将抛物线在轴将抛物线在x轴下方的部分翻折到轴下方的部分翻折到x轴上方，点轴上方，点M的对应点为的对应点为M，判断四边形，判断四边形AMBM的形状，的形状，并说明理由；并说明理由；例例3题图题图由折叠性质可得由折叠性质可得点点M与与M关于关于x轴对称，轴对称，MD=MD，MMAB.由抛物线性质得点由抛物线性质得点A与点与点B关于关于l对称，对称，AD=BD，ABMM，四边形四边形AMBM是菱形是菱形;例例3题解图题解图解：解：四边形四边形AMBM是菱形是菱形.理由如下：如解图理由如下：如解图，（6）设点）设点Q是抛物线上一点，点是抛物线上一点，点R是平面内一点，点是平面内一点，点Q的的坐标为何值时，四边形坐标为何值时，四边形AQCR是菱形？是菱形？例例3题图题图【思维教练思维教练】由四边形由四边形AQCR是菱形可是菱形可知知AC是对角线，结合是对角线，结合OC=OA，从而过，从而过点点O作作OPAC，且，且OP平分平分AC，从而，从而可得点可得点Q在在OP上，只需求出上，只需求出QP所在直所在直线的解析式，与抛物线联立解方程组线的解析式，与抛物线联立解方程组即可求得点即可求得点Q的坐标的坐标.例例4题解图题解图解：存在解：存在.如解图如解图，过点，过点O作作OPAC于点于点P.PQ1Q2POA=OC=5，AP=CP，OP是是AC的垂直平分线的垂直平分线.四边形四边形AQCR是菱形，是菱形，点点Q、R在在AC的垂直平分线上，的垂直平分线上，点点Q是直线是直线OP与抛物线的交点，与抛物线的交点，过点过点P作作PPx轴于点轴于点P，则，则PP是是AOC的中位线，的中位线，PP=OC=，PO=AO=，点点P的坐标为（的坐标为（,），），设直线设直线QP的解析式为的解析式为y=kx，将点，将点P的坐标代入，可得的坐标代入，可得k=-1,直线直线QP的解析式为的解析式为y=-x,与抛物线联立得与抛物线联立得解得解得 ，y=x2+6x+5y=-x，x2=y2=x1=y1=例例3题解图题解图PQ2PQ1这样的这样的Q点有两个，坐标分别为（点有两个，坐标分别为（,），），（,）.更多师生关注的更多师生关注的掌上中考专家掌上中考专家100100多位中考专家负责内容策划多位中考专家负责内容策划3 3大主题、大主题、6 6个时段，全年系统规划，有趣有料个时段，全年系统规划，有趣有料