《现代控制理论》第3版(刘豹-唐万生)课后习题答案.doc

(完整版)《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案
《现代控制理论参考答案》

第一章答案

1-1 试求图1—27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式.

解:系统的模拟结构图如下：

系统的状态方程如下：

令，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

1—2有电路如图1—28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程.

解：由图，令，输出量
有电路原理可知： 既得
写成矢量矩阵形式为:

1—4 两输入，,两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵.

解:系统的状态空间表达式如下所示：

1—5系统的动态特性由下列微分方程描述

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图.
解:令，则有

相应的模拟结构图如下：

1—6 （2)已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：

1—7 给定下列状态空间表达式
‘
（1） 画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数
解：

(2）

1-8 求下列矩阵的特征矢量
（3）
解：A的特征方程
解之得：
当时，

解得： 令 得
（或令，得)

当时，
解得: 令 得
（或令，得）
当时，
解得： 令 得

1—9将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解）
（2）
解：A的特征方程

当时，
解之得 令 得

当时，
解之得 令 得
当时,
解之得 令 得

约旦标准型

1—10 已知两系统的传递函数分别为W1（s）和W2（s）

试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果
解：（1）串联联结

（2）并联联结

1-11 （第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数
解：

1-11（第2版教材) 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

求系统的闭环传递函数
解：

1-12 已知差分方程为

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为
（1)
解法1：

解法2：

求T,使得 得 所以

所以,状态空间表达式为

第二章习题答案
2—4 用三种方法计算以下矩阵指数函数.
(2) A=
解:第一种方法： 令
则 ，即。
求解得到，
当时，特征矢量
由 ，得
即，可令
当时，特征矢量
由，得
即 ，可令
则,

第二种方法，即拉氏反变换法：

第三种方法，即凯莱—哈密顿定理
由第一种方法可知，

2—5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
（3） （4)
解：（3）因为 ,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

（4）因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件

2—6 求下列状态空间表达式的解：

初始状态，输入时单位阶跃函数。
解：

因为 ，

2—9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。

图2.2 系统结构图
解：将此图化成模拟结构图

列出状态方程

则离散时间状态空间表达式为

由和得：

当T=1时

当T=0。1时

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性.系统中a，b，c，d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？
(1)系统如图3。16所示：

解:由图可得：

状态空间表达式为：

由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统.
（3）系统如下式：

解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。
要使系统能观,则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有。
3—2时不变系统

试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：方法一:

方法二:将系统化为约旦标准形。

，

中有全为零的行，系统不可控.中没有全为0的列,系统可观。
3—3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数

解：构造能控阵：

要使系统完全能控，则，即
构造能观阵:

要使系统完全能观，则，即
3—4设系统的传递函数是

（1）当a取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的？
（2)当a取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式。
（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。
解:（1） 方法1 ：
系统能控且能观的条件为W（s）没有零极点对消.因此当a=1，或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

方法2：

系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观。
（2）当a=1, a=3或a=6时,系统可化为能控标准I型

（3）根据对偶原理，当a=1， a=2或a=4时，系统的能观标准II型为

3-6已知系统的微分方程为：
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解：
系统的状态空间表达式为

传递函数为

其对偶系统的状态空间表达式为：

传递函数为
3—9已知系统的传递函数为

试求其能控标准型和能观标准型。
解：
系统的能控标准I型为

能观标准II型为

3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型.

解：

3—11试将下列系统按能控性进行分解
（1）
解:
rankM=2<3,系统不是完全能控的。
构造奇异变换阵：，其中是任意的，只要满足满秩.
即 得

3—12 试将下列系统按能观性进行结构分解
(1）
解： 由已知得
则有
rank N=2<3，该系统不能观
构造非奇异变换矩阵,有
则

3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
（1)
解：由已知得
rank M=3，则系统能控

rank N=3，则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
取，则
则,，
3—14求下列传递函数阵的最小实现.
(1）
解： ，，
，，
系统能控不能观
取，则
所以，
，
所以最小实现为，，，
验证:
3-15设和是两个能控且能观的系统

（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；
（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
解：
（1）和串联
当的输出是的输入时，
，

则rank M=2<3,所以系统不完全能控.

当得输出是的输入时
，
因为
rank M=3 则系统能控
因为
rank N=2<3 则系统不能观

（2）和并联
，

因为rank M=3,所以系统完全能控

因为rank N=3，所以系统完全能观

现代控制理论第四章习题答案
4—1判断下列二次型函数的符号性质：
（1)
（2）
解：（1）由已知得

,，
因此是负定的
(2）由已知得

，，
因此不是正定的
4-2已知二阶系统的状态方程：

试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件.
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。
即：

有解，且解具有负实部。
即：
方法（2)：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于.
取,令，则带入，得到

若 ，则此方程组有唯一解。即

其中
要求正定，则要求

因此，且
4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。
（1）
（2）
解:(1）系统唯一的平衡状态是.选取Lyapunov函数为，则

是负定的。，有.即系统在原点处大范围渐近稳定。
（2）系统唯一的平衡状态是。选取Lyapunov函数为，则

是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为:

试确定平衡状态的稳定性。
解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有:

取

很明显,的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则

是负定的。,有。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4—9设非线性方程：

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性.
解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：

，有。
取

则 ,根据希尔维斯特判据,有:
，的符号无法判断。
（2)李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为,则

是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4—12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

解：假设的梯度为：

计算的导数为:

选择参数，试选，于是得：
，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。则有：

如果，则是负定的，因此，是的约束条件。
计算得到为：

是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。

现代控制理论第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为：

试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，—2,-3。
解:依题意有：

，系统能控。
系统的特征多项式为：

则将系统写成能控标准I型，则有.
引入状态反馈后，系统的状态方程为：，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

比较各对应项系数，可解得：则有：。

5—3有系统：

（1） 画出模拟结构图。
（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？
（3） 若指定极点为-3，—3，求状态反馈阵。
解(1）系统模拟结构图如下:

（2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控.
对于系统有：
，系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点。
（3）系统的特征多项式为：

则将系统写成能控标准I型，则有.
引入状态反馈后,系统的状态方程为：，设，则系统的特征多项式为：

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

比较各对应项系数，可解得：。

5—4设系统传递函数为

试问能否利用状态反馈将传递函数变成

若有可能，试求出状态反馈，并画出系统结构图。
解:
由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观.
能控标准I型为

令为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为

由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为—2,-2,—3，得期望特征多项式为

比较与的对应项系数，可得

即
系统结构图如下：

5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定.
（1）
解:系统的能控阵为：
,系统能控.
由定理5。2.1可知，采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是完全能控。又由于，系统能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。

5-7设计一个前馈补偿器，使系统

解耦,且解耦后的极点为。
解：

5-10已知系统：

试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，—2r（r>0)。
解：因为满秩，系统能观，可构造观测器。
系统特征多项式为，所以有

于是

引入反馈阵，使得观测器特征多项式:

根据期望极点得期望特征式:

比较与各项系数得：

即，反变换到x状态下
观测器方程为: