图形变换相似三角形综合应用.doc
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1、相似三角形综合应用2014年中考怎么考内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题自检自查必考点模型一 角分线模型1、内角平分线是的角平分线,则【证明】过作交直线于.,又平分,由可得:,2、外角平分线的外角平分线交对边的延长线于,则【证明】过作交直线于.,又平分,由可得:,模型二 梯形模型若,则中考满分必做题考点一 与公共边有关的相似问题【例1】 如图,在矩形中,对角线、相交于点,为的中点,连接交于,连接,若,则下列四对三角形:与;与;与;与,其中相似的为( )A B C D【答案】D【解析】,故【例
2、2】 如图,矩形中,于,恰是的中点,下列式子成立的是( )A B C D【答案】A【例3】 如图,中,于,于,于,交于,、的延长线交于点,求证:.【解析】可通过射影定理转化成证明,证明即可.【例4】 如图,中,于为的中点,的延长线交于求证:【答案】,为中点,又,又,又,【巩固】在中,过直角顶点作斜边的垂线,取的中点,连接并延长交的延长于点,求证:【解析】,【例5】 如图,在中,平分,的垂直平分线交于,交的延长线于,求证:【答案】连接垂直平分,即,又,平分,又,又,【巩固】如上图,在中,的垂直平分线交于,交的延长线于,求证:平分【答案】连接,垂直平分,又,即平分【例6】 已知,如图,为等边三角形
3、,且的两边交直线于两点,求证:【解析】,又,即,考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图,直角梯形中,为梯形内一点,且,将绕点旋转使与重合,得到,连交于已知,则的值为( )A B C D 【答案】C【例8】 如图,四边形和均为正方形,求_.【答案】连接。,【例9】 (1)如图1,等边中,为边上的动点,以为一边,向上作等边,连接,求证:(2)如图2,将(1)中的等边改为以为底边的等腰三角形,所作的改成相似于,请问:是否有?证明你的结论【答案】(1)由,得,故(2)由,得,故考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图,内有一点,过作各边的平行线,把分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形
4、的面积分别为,则的面积是_【解析】设的面积为,则,故【答案】【例11】 如图所示,是一个凸六边形,、分别是直线与、与、 与的交点,、分别是与、与、与的交点,如果,求证:【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式,且、构成一个与相似的三角形的三边,因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三角形如图所示,将平移至位置,则,且,所以,且,因此,从而,且这说明,且,进而,且又因为,于是,所以,注意到,故【例12】 已知:的高所在直线与高所在直线相交于点(1)如图l,若为锐角三角形,且,过点作,交直线于点,求证:;(2)如图 2,若,过点作,交直线于点,则之间满足的数量关系是_;(3
5、)在(2)的条件下,若,将一个角的顶点与点重合并绕点旋转,这个角的两边分别交线段于两点(如图3),连接,线段分别与线段、线段相交于两点,若,求线段的长【答案】(1)证明:,(2)(3)如图,由(2)知,为等腰直角三角形分别过,作于点 于点四边形为矩形, ,考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图,中,点从出发,沿方向以的速度移动,点从出发,沿方向也以的速度移动,若分别从出发,经过多少时间与相似?【答案】,设,即,解得(负值已舍去)设经过后与相似此时本题需分两种情况:(1)当时,即,解得(2)当时,即,解得综上,当秒或秒时,与相似【例14】 如图,在矩形中,点沿边从点开始向点以秒的速度移动,
6、点沿边以秒的速度从点开始移动,如果同时出发,用(秒)表示移动的时间(1)当为何值时,为等腰直角三角形?(2)求四边形面积,提出一个与计算结果相关的正确结论(3)当为何值时,以点为顶点的三角形与相似【答案】(1)当为等腰直角三角形时,(2),即四边形的面积为定值(3)分2种情况当时,即,解得 当时,即,解得综上当或时,以点为顶点的三角形与相似中考满分必做题【例1】 如图,已知在等腰ABC中,AB30,过点C作CDAC交AB于点D若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与BCO相似,若存在,则DP的长为_BACDBACDOP1P2(09年浙江丽江中
7、考试题)【解析】BCDACBACD1209030BCDB,DBDC又在RtACD中,DCADsin30,DB过点D作DP1OC,交BC于点P1,则P1DBCOB,OBODDBDP1OC过点D作DP2AB,交BC于点P2,则BDP2BCO,BC3DP2OC1【例2】 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,2),点P是线段OA上的一个动点(不与O,A重合),过点P作PQx轴于Q,以PQ为边向右作正方形PQMN连接AN并延长交x轴于点B,连接ON设OQt,BMN与MON相似时,则BMN的面积为_BMQOPNAyxBMQOPNAyxH图2(09年甘肃中考试题)【答案】或【解析】当0 t 1时,如
8、图1若BMNMON,则即,tNM,BMSBMN BMNM当1 t 2时,如图2若BMNMON,则即,tNM,BMSBMN BMNM【例3】 如图,ACB90,CD是ACB的平分线,点P在CD上,CP将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G(1)当点F在射线CA上时求证:PFPE设CFx,EGy,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域(2)连接EF,当CEF与EGP相似时,求EG的长ACBPD备用图ACBFPDGE(12年中考模拟试题)【解析】(1)证明:过点P作PMAC,PNBC,垂足分别为M、NCD
9、是ACB的平分线,PMPNACBFPDEMN21G由PMCMCNCNP90,得MPN901FPN902FPN90,12PMFPNE,PFPE解:CP,CNCM1CFx,PMFPNE,NEMF1xCE2xCFPN, ,即 ACBFPGE1DCG y 2x(0 x1)(2)当CEF与EGP相似时,点F的位置有两种情况:当点F在射线CA上时GPEFCE90,1PEGG1,FGFE,CGCECP在RtEGP中,EG2CP2ACBMPFGNE15234D当点F在AC延长线上时GPEFCE90,12,32145+5,145+2,52易证34,可得54CFCP,FM1易证PMFPNE,ENFM1CFPN,
10、,即 GN1EG1 12【例4】 如图,在RtABC中,ACB90,CE是斜边AB上的中线,AB10,tanA 点P是CE延长线上的一动点,过点P作PQCB,交CB延长线于点Q设EPx,BQy(1)求y关于x的函数关系式及定义域;(2)连接PB,当PB平分CPQ时,求PE的长;(3)过点B作BFAB交PQ于F,当BEF和QBF相似时,求x的值APCQEBABCE备用图ABCE备用图(2012年上海模拟试题)【解析】(1)在RtABC中,ACB90,AB10,tanA AC6,BC8CE是斜边AB上的中线,CEBE AB5ABPCQEHPCQABC又PQCACB90,PCQABC ,即 y x4
11、(x 5)(2)过点B作BHPC于HPB平分CPQ,BQPQ,BHBQyBH BC , x4 ABPCQEFx11(3)BQFACB90,QBFABFQABC当BEF和QBF相似时,则BEF和ABC也相似有两种情况:当BEFA时在RtEBF中,EBF90,BE5,BF yABPCQEF( x4) 5,解得x10当BEFABC时在RtEBF中,EBF90,BE5,BF y( x4) 5,解得x 当BEF和QBF相似时,求x的值为10或 【例5】 如图1,在RtAOC中,AOOC,点B在OC边上,OB6,BC12,ABOC90,动点M和N分别在线段AB和AC边上(1)求证:AOBCOA,并求cos
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