-一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--.ppt

1.会用直接开平方法解形如 的方程.2.灵活运用因式分解法解一元二次方程.3.了解转化、降次思想在解方程中的运用。合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。平方根2.如果 ，则 =。1.如果 ，则 就叫做 的 。3.如果 ，则 =。4.把下列各式分解因式：1).232).3).223(3)(23)(+1)(1).2=4(2).21=0对于方程(1),可以这样想:2=4根据平方根的定义可知:是4的().=即:=2 这时,我们常用1、2来表示未知数为的一元二次方程的两个根。方程 2=4的两个根为 1=2，2=2.平方根利用平方根的定义直接开平方求一元二利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫次方程的解的方法叫直接开平方法。直接开平方法。1、利用直接开平方法解下列方程:(1).2=25(2).2900=0解：（1）2=25直接开平方，得=5 1=5，2=5（2）移项，得2=900直接开平方，得=301=30 2=302、利用直接开平方法解下列方程：（1）（+1）24=0（2）12（2）29=0（1）（+1）24=0（2）12（2）29=0分析：我们可以先把（+1）看作一个整体整体，原方程便可以变形为：（+1）2=4现在再运用直接开平方的方法可求得的值。解：(1)移项，得（+1）2=4 +1=2 1=1，2=3.1.直接开平方法的理论根据是平方根的定义平方根的定义 2.用直接开平方法可解形如2 2=a(=a(a a0)或（a）2=b（b0)类的一元二次方程。3.方程2=a(a0)的解为：=方程（a）2=b（b0)的解为：=小结中的两类方程为什么要加条件：小结中的两类方程为什么要加条件：a0,b0a0,b0呢？呢？对于方程（2）21=0，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（+1）（1）=0则必有：1=0，或1=0.分别解这两个一元一次方程，得1=1,2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做叫做因式分解法。因式分解法。1、利用因式分解法解下列方程：1)23=0；2）162=25；3）（2+3）225=0.解：1）方程左边分解因式，得（3）=0.=0,或3=0，解得 1=0，2=3.2)方程移项，得16225=0方程左边分解因式，得（45）（45）=0 4+5=0，或45=0，解得 1=，2=。采用因式分解法解方程的一般步骤：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。用你喜欢的方法解下列方程：（1）（+2）216=0；（2）22+1=49；（3）（2）2+2=0（4）（2+1）22=0 小张和小林一起解方程 （3+2）6（3+2）=0.小张将方程左边分解因式，得 （3+2）（6）=0，3+2=0，或6=0.方程的两个解为 1=，2=6.小林的解法是这样的：移项，得 （3+2）=6（3+2）.方程两边都除以（3+2），得 =6.小林说：“我的方法多简单！”可另一个解=哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？完全平方公式完全平方公式:填一填填一填14配方时配方时,等式两边同时加上的是一次项系数等式两边同时加上的是一次项系数一半一半一半一半的平方的平方问题问题2 要使一块矩形场地的长比宽多要使一块矩形场地的长比宽多要使一块矩形场地的长比宽多要使一块矩形场地的长比宽多6m,6m,并且并且并且并且 面积为面积为面积为面积为16 ,16 ,场地的长和宽应各是多少场地的长和宽应各是多少场地的长和宽应各是多少场地的长和宽应各是多少?解解:设设场地的宽场地的宽场地的宽场地的宽xm,xm,长长长长(x+6)m,(x+6)m,根据矩形面积根据矩形面积根据矩形面积根据矩形面积 为为为为16 ,16 ,列方程列方程列方程列方程 X(x+6)=16怎样解怎样解?移项两边加上32,使左边配成左边写成完全平方形式降次降次例例2：用：用配方法配方法解下列方程解下列方程二次项系数为二次项系数为1 1二次项系数不为二次项系数不为1 1可以先将系数化为可以先将系数化为1 1用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤:移项移项:把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边;系数化为系数化为1 1：将二次项系数化为将二次项系数化为1 1；配方配方:方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数一半的平方一半的平方;开方开方:根据平方根意义根据平方根意义,方程两边开平方方程两边开平方;求解求解:解一元一次方程解一元一次方程;定解定解:写出原方程的解写出原方程的解.练一练练一练1（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)=(+)2=()2=()2左边左边:所填常数等于一次项系数一半的平方所填常数等于一次项系数一半的平方.填上适当的数或式填上适当的数或式,使下列各等式成立使下列各等式成立.大胆试一试：大胆试一试：共同点：共同点：()2=()2(4)观察(1)(2)看所填的常数与一次项系数之间有什么关系?例例1:用配方法解方程用配方法解方程解解:配方得：配方得：开平方得：开平方得：移项得：移项得：原方程的解为：原方程的解为：心动 不如行动反馈练习巩固新知反馈练习巩固新知用配方法解下列方程用配方法解下列方程:(1)x2+8x-15=0(2)x2-5x-6=0(3)2x2-5x-6=0(4)x2+px+q=0(p2-4q 0)成功者是你吗成功者是你吗w用配方法解下列方程用配方法解下列方程.w1.4x2-12x-1=0;w2.3x2+2x 3=0 ;w3.2x2+x 6=0;w4.4x4.4x2 2+4x+10=1-8x.+4x+10=1-8x.w5.3x2-9x+2=0;w6.2x2+6=7x ;w7.x2 x+56=0;w8.-3x8.-3x2 2+22x-24=0.+22x-24=0.心动心动 不如行动不如行动 例例4、解下列方程、解下列方程 解解 把方程左边分解因式，得把方程左边分解因式，得因此，有因此，有解得解得例例5因式分解，得因式分解，得解：解：快速回答：下列各方程的根分快速回答：下列各方程的根分别是多少？别是多少？习题习题1 1、解下列方程、解下列方程（4 4）x x2 26 6x x7=0 7=0 （6 6）(x x+1)(+1)(x x+3)=15+3)=15解：原方程可变形为解：原方程可变形为 解：原方程可变形为解：原方程可变形为 (x x7 7)()(x x+1+1)=0)=0 x x2 2+4+4x x1212=0=0 (x x2 2)()(x x+6+6)=0)=0 x x7 7=0=0或或x x+1+1=0 =0 x x2 2=0=0或或x x+6+6=0=0 x x1 1=7 7,x x2 2=-1-1 x x1 1=2 2,x x2 2=-6-6快速回答：下列各方程的根分别是多少？我最棒 ,用分解因式法解下列方程w 参考答案：1.;2.；4.;右化零左分解右化零左分解两因式各求解两因式各求解简记歌诀简记歌诀：1.1.把原方程化成把原方程化成 x x2 2+px+q=0+px+q=0的形式。的形式。2.2.移项整理移项整理 得得 x x2 2+px=-q+px=-q 3.3.在方程在方程 x x2 2+px=-q+px=-q 的两边同加上一次项系的两边同加上一次项系数数 p p的一半的平方的一半的平方。x x2 2+px+()+px+()2 2 =-q+()=-q+()2 24.4.用直接开平方法解方程用直接开平方法解方程:(x+):(x+)2 2=-q=-q 用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程:2x 2x2 2+4x+1=0+4x+1=0用用配方法配方法解一元二次方程的步骤：解一元二次方程的步骤：x x2 2+2x=-,(x+1)+2x=-,(x+1)2 2=,=,用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程 ax ax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 (a0a0)解解:把方程两边都除以把方程两边都除以a a,得得x x2 2+x+=0+x+=0解得解得 x=-x=-当当b b2 2-4ac0-4ac0 时时,x+=,x+=4a4a2 20 0即即 (x+)(x+)2 2=移项，得移项，得 x x2 2+x=-+x=-即即 x=x=用求根公式解一元二次方程的方法叫做用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法公式法。配方，得配方，得 x x2 2+x+()+x+()2 2=-+()=-+()2 2例例1.用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=0解解:a=2,b=5,c=-3,b2-4ac=52-42(-3)=491、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。x=即即 x1=-3,用公式法解一元二次方程的一般用公式法解一元二次方程的一般步骤：步骤：求根公式求根公式:X=4、写出方程的解：、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入、代入求根公式求根公式:X=(a0,b2-4ac0)(a0,b2-4ac0)x2=例例1.用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=0解解:a=2,b=5,c=-3,b2-4ac=52-42(-3)=491、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。x=即即 x1=-3,用公式法解一元二次方程的一般用公式法解一元二次方程的一般步骤：步骤：求根公式求根公式:X=4、写出方程的解：、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入、代入求根公式求根公式:X=(a0,b2-4ac0)(a0,b2-4ac0)x2=1.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(2)(2)x x2 2+x-6=0+x-6=0(3)(3)3x3x2 2-6x-2=0-6x-2=0做一做1.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(4)(4)4x4x2 2-6x=0-6x=0(5)(5)6t6t2 2-5=13t-5=13t做一做例2 用公式法解方程：x x2 2 x-=0 x-=0解：方程两边同乘以3 3,得 2 x 2 x2 2-3x-2=0 -3x-2=0 x=x=即 x1=2,x2=-例3 用公式法解方程：x x2 2+3=2 x+3=2 x 解：移项，得x2 2-2 x+3=0-2 x+3=0a=1a=1，b=-2 b=-2 ，c=3c=3b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 )2 2-413=0-413=0 x=x=x x1 1=x=x2 2=当当 时，时，一元二次方程有两个相一元二次方程有两个相等的实数根。等的实数根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.b2-4ac=(-3)2-42(-2)=25.2.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(4)(4)4x4x2 2-3x+2=0-3x+2=0随堂随堂练习练习当当 时，一时，一元二次方程没有实数根。元二次方程没有实数根。b2-4ac0用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式、代入求根公式:2、求出、求出 的值，的值，1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值。的值。4、写出方程的解：、写出方程的解：特别注意特别注意:当当 时时,方程无实数解方程无实数解;3、练习、练习:用公式法解方程用公式法解方程:x2 2-2 x+2=0.1、方程、方程3 x x2 2+1=2 x+1=2 x中，中，b2-4ac=.2、若关于、若关于x的方程的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则n=.动手试一试吧！动手试一试吧！0-1或或4解：去括号，化简为一般式：解：去括号，化简为一般式：例例4 解方程：解方程：这里这里 方程没有实数解。方程没有实数解。3.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(2)(2)x x2 2+4x+8=4x+11+4x+8=4x+11随堂随堂练习练习1、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解有两个相等的实数解 思考题思考题 思考题思考题2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)。当当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果二、用公式法解一元二次方二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。并写并写出出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。3、代入、代入求根公式求根公式:X=(a0,b2-4ac0)4、写出方程的解、写出方程的解:x1=?,x2=?n.1.解一元二次方程的方法有：解一元二次方程的方法有：n 因式分解法n 直接开平方法n 公式法n 配方法（方程一边是方程一边是0，另一边整式容易因式分解），另一边整式容易因式分解）（()()2 2=C C0=C C0）(化化方程为一般式）方程为一般式）（二（二次项次项系数为系数为1，而一次项系为偶数），而一次项系为偶数）5x2-3 x=0 3x2-2=0 x2-4x=6 2x2-x-3=0 2x2+7x-7=0 2.引例：给下列方程选择较简便的方引例：给下列方程选择较简便的方法法（运用因式分解法）运用因式分解法）（运用直接开平方法）（运用直接开平方法）（运用配方法）运用配方法）（运用因式分解法）（运用因式分解法）（运用公式法）（运用公式法）例例1.选择适当的方法解下列方程：选择适当的方法解下列方程：n nn1、填空：、填空：x x2 2-3x+1=0 3x-3x+1=0 3x2 2-1=0 -3t-1=0 -3t2 2+t=0+t=0 x x2 2-4x=2 2x-4x=2 2x2 2-3x+1=0 5(m+2)-3x+1=0 5(m+2)2 2=8=8 3y 3y2 2-y-1=0 2x-y-1=0 2x2 2+4x-1=0 2x+4x-1=0 2x2 2-5x-3=0-5x-3=0 适合运用直接开平方法适合运用直接开平方法 适合运用因式分解法适合运用因式分解法 适合运用公式法适合运用公式法 适合运用配方法适合运用配方法 3x 3x2 2-1=0-1=0 5(m+2)5(m+2)2 2=8=8-3t-3t2 2+t=0+t=0 2x 2x2 2-3x+1=0-3x+1=0 2x2x2 2-5x-3=0-5x-3=0 x x2 2-3x+1=0-3x+1=0 3y 3y2 2-y-1=0-y-1=0 2x 2x2 2+4x-1=0+4x-1=0 x x2 2-4x=2-4x=2 规律：一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方直接开平方法法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）也可考虑配方法）2、用适当方法解下列方程 -5x2-7x+6=0 2x2+7x-4=0 4(t+2)2=3 x2+2x-9999=0例2.解方程 (x+1)(x-1)=2x(x+1)(x-1)=2x 2(x-2)2(x-2)2 2+5(x-2)-3=0+5(x-2)-3=0 (2m+3)(2m+3)2 2=2(4m+7)=2(4m+7)总结总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。思考：（思考：（1）变方程）变方程为：为：2(x-2)2(x-2)2 2+5(2-x)-3=0+5(2-x)-3=0再变为：再变为：2(x-2)2(x-2)2 2+5x-13=0 +5x-13=0 （能不能用整体思想？）能不能用整体思想？）2(x-2)2(x-2)2 2-5(x-2)-5(x-2)-3=0-3=0 或或 2(2-x)2(2-x)2 2+5(2-x)-3=0+5(2-x)-3=02(x-2)2(x-2)2 2+5x-10-35x-10-3=0=0=2(x-2)2(x-2)2 2+5(x-2)5(x-2)-3=0-3=0小结小结：ax2+c=0 =ax2+bx=0 =ax2+bx+c=0 =因式分解法因式分解法公式法（配方法）公式法（配方法）2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用虑能否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）法）3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。一般形式再选取合理的方法。1、直接开平方法直接开平方法因式分解法因式分解法