第六章：多元函数积分学2.doc

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分析:由于由平面，围成，不难看出所有边界曲面的方程中含有变量的方程恰好有两个，故可将向平面投影，得一平面区域;的边界曲面的全部方程中只含变量的方程及两个含变量的方程消去得到的一个关于变量、的方程便是平面区域的边界曲线的方程；的边界曲面的全部方程中含变量的方程，为先积的定积分的积分限．
解:将向平面投影，得一平面区域，
由，围成，见图

．
（2）“先二后一”
即将三重积分化为：

评注：当积分域是旋转体时，一般采用“先二后一"计算．
命题1：如果积分区域是绕轴旋转而成的旋转体时
① 将向轴投影得投影区间;
② ，过点作轴的垂直平面，该平面截得平面区域
则

其余两个命题类似．
［例2。3］ 计算,其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与两平面围成的立体．
分析：由于是旋转体，故采用“先二后一”计算，而是绕轴旋转而成的旋转体，需将向轴投影．
解：将向轴投影得投影区间，
由于由及曲面围成,所以为
于是

．
3．利用柱坐标计算
⑴ 柱坐标系下的体积元素，
⑵ 柱坐标系下的三次积分的先后次序一般为

评注：当是圆柱体、圆锥体、锥球体、旋转抛物面与平面围成的立体、旋转抛物面与球面围成的立体,而被积函数形如时,一般采用柱坐标来计算三重积分．
［例2。4］ 计算,其中是由及围成的闭区域．
分析：是圆锥体,被积函数形如，故选用柱坐标计算．
解：
．
4．利用球坐标计算
⑴ 球坐标与直角坐标的关系:,，，
⑵ 球坐标系下的体积元素，
⑶ 球坐标系下三次积分的先后次序一般为

评注:当是球体、球体的一部分、锥球体，而被积函数形如时，一般用球坐标计算三重积分．
[例2。5］ ，其中是由球面所围成的闭区域．
分析：由于是球体,被积函数形如，故选用球坐标计算．
解：
．
三、三重积分的应用
设有一物体，在空间占有区域,其上每一点的体密度为,且在上连续,在空间点处有一质量为的质点，则
1．该物体的质心坐标为：
， ，
2．该物体绕轴的转动惯量
绕轴的转动惯量：
绕轴的转动惯量：
绕轴的转动惯量:
绕直线的转动惯量：

3．该物体对质点的引力为:
，

●● 常考题型及其解法与技巧
一、概念、性质的理解
［例6.2.1] 设是连续函数，,则时，下面说法正确的是
（A）是的一阶无穷小 （B)是的二阶无穷小
（C)是的三阶无穷小 （D）至少是的三阶无穷
解：由积分中值定理得
，其中，
当时，，于是，因此选（D)．
[例6。2。2］ 设，则．
解：因为是的奇函数,且关于平面对称，故，
所以．
二、三重积分的计算
Ⅰ 利用“先二后一”计算
若被积函数是一元函数,积分域是球体、半球体、椭球体、半椭球体,一定选择利用“先二后一"完成;若积分域是旋转体时一般选择利用“先二后一”完成．解题的一般思路:①将积分域向相应坐标轴投影，得投影区间;②确定先积的二重积分的积分域；③将三重积分化为“先二后一"计算 ．
［例6。2。3] 计算下列三重积分
（1）,其中；
（2），其中为
解：（1）将投影到轴，得投影区间，此时可得,则

．
(2）将投影到轴，得投影区间，此时可得，则

．
［例6。2.4] 计算下列三重积分
(1)，其中是由曲线绕轴旋转一周所得曲面与平面围成的立体;
（2)计算其中是由及围成的闭区域．
解：（1）由旋转抛物面与平面围成．
将投影到轴，得投影区间,此时可得,则

;
（2）将投影到轴，得投影区间，此时可得，则

．
评注：“先二后一”是三重积分计算部分最重要的做题手段,除了前面提到的两种情况用该方法外,当是其它一些情况时也应留意用该方法．
[例6。2。5] 计算，其中为由及围成的四面体．
解：将投影到轴,得投影区间，此时可得由围成,则

．
Ⅱ 利用“先一后二”计算
此法特别适合无法画出积分域的图形，或者域的图形非常复杂的三重积分的计算．解题思路：①写出积分区域的全部边界曲面的方程;②根据的全部边界曲面的方程的特点将向相应坐标面投影，得平面区域；③确定先积的定积分的上下限；④将三重积分化为“先一后二”计算．
［例6.2。6］ 计算，其中由曲面及平面围成．
解法一:由曲面及平面围成，从而的所有边界曲面中含有变量的方程刚好有两个，因此将投影到平面上得
投影区域为．
由及围成．其图形如右下图所示
所以

．
解法二：由曲面及平面围成，从而的所有边界曲面中含有变量的方程刚好有两个,因此将投影到平面上得投影区域为．
由及围成．其图形如右下图所示
所以

．
［例6.2.7] 计算，其中由抛物柱面平面，,
所围成的区域．
解：由于由抛物柱面平面,，所围成，从而的所有边界曲面中含有变量的方程刚好有两个，因此将投影到平面上得投影区域为．
由曲线，直线围成．其图形如右下图所示
所以

．
Ⅲ 利用柱坐标计算
若积分域的形状是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转曲面与其它曲面所围成的立体时,一般适宜用柱坐标计算．
［例6。2。8] 计算下列三重积分
（1)，其中是由曲面所围的区域．
(2） ，是由球面与抛物面所围的区域．
解:（1)由于在平面上的投影域是圆域,故采用柱坐标．
曲面与的交线为 ，所以
故
．
（2）由于在平面上的投影域是圆域,故采用柱坐标．
球面与抛物面交线为
所以．
故
．
评注：利用柱坐标求解的三重积分都可以用先对后对的“先一后二"来完成．
Ⅳ 利用球坐标计算
［例6.2.9］ 计算下列三重积分
(1），其中是由及;
（2），其中为：
解：（1）利用球坐标计算，而球面与锥面相交所成的曲线为，所以
；
（2）利用球坐标计算，则

．
Ⅴ 分段函数的三重积分
分段函数三重积分解题思路：①用积分域内的分段面将划分,将三重积分写成几个分段域上的三重积分的和；② 计算各个分段域上的三重积分．
［例6.2.10] 计算,其中为，被积函数

分析：由于被积函数是分段函数因此须首先将积分域分成几个相应的子域，然后再计算,由被积函数的表达式及积分域的特点选球坐标系计算方便．
解：分段面和将分成三部分．
令为在锥面内部分、为在平面下方部分、为去掉、剩余部分．于是

．
三、计算三次积分
计算三次积分时经常遇到交换积分次序的问题，而三次积分交换积分次序一般应将相邻的两个积分看作二次积分（将另外的一个变量看作常数）,用二次积分交换次序的方法来实现．
［例6。2。10] 计算．
分析:先对无法积分，故应交换积分次序．
解：交换二次积分的次序（将视为常数）可得

所以
再交换二次积分的次序可得
．
四、三重积分表示函数的讨论
［例6。2。11] 已知连续,
，其中：，求和．
解：

所以 ，
．
[例6.2.12］ 设连续且恒大于零，，其中
，
则
(A)在时取极小值, （B）在时取极大值
(C）在区间单调增加， （D）在区间单调减少．
解:
则

所以在区间内单调增加，故应选（C）．
五、三重积分的应用
Ⅰ 几何上的应用
[例6.2.13］ 求下列区域的体积
(1）是球体中曲面的下方部分；
（2）是所围区域．
解:（1)两曲面的交线或所以两曲面的交线为和交点，因此在平面上的投影区域为．
所以的体积为

．
（2)两曲面的交线为
所以在平面上的投影域为
故的体积为

．
Ⅱ 物理应用
［例6。2.14］ 设有半径为的球体,是此球表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例常数，求球体质心位置．
解：取球体的球心为坐标原点，点位于轴正向上，从而点的坐标为，球体上任一点的密度为．
设质心坐标为，则

由关于三个坐标面都是对称的，所以利用三重积分的对称性知
而

所以．
因此球体的质心坐标为，即在通过的直径上，且在球内与相距的地方．
［例6。2.16] 设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比．求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量．
解：由已知球内任一点的密度为．
则

．

．

§6.3 曲线积分
本节重点是两类曲线积分的计算、平面曲线积分与路径无关的条件的使用、求原函数及解曲线积分应用题．
● 常考知识点精讲
一、对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）
1．对弧长曲线积分的概念
⑴ 对弧长曲线积分的定义
定义：设为平面内的一条以为端点的光滑(或逐段光滑)曲线弧，函数在上有界，在内任意插入个点把分成个小弧段
，，，，，（)
记表示弧段的长度，在上任取一点，作乘积，并作和,如果当各弧段的长度的最大值时，该和的极限总存在（与弧段的分法及点的取法无关），则称此极限值为函数在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作，即
．
此定义可以推广到积分弧段为空间曲线弧的情形,即函数在空间曲线弧上对弧长的曲线积分．
⑵ 对弧长曲线积分的存在性
定理：当在曲线弧上连续时，在上对弧长的曲线积分存在．
⑶ 对弧长曲线积分的基本性质
① 第一类曲线积分与积分路径的方向无关，即
（其中表示与方向相反的弧段)
② 若，则

③，(其中为常数)
④
2．对弧长的曲线积分的计算
⑴ 利用化简计算
第一类曲线积分的化简方法有两种
① 利用对称性化简,有如下两个命题
命题1：如果积分曲线关于轴对称，则

其中是被轴分出来的一部分
命题2：如果积分曲线关于轴对称,则

其中是被轴分出来的一部分
② 将积分曲线的方程代入被积函数化简
⑵ 利用定积分计算
命题：设在曲线上连续．若曲线的参数方程为：,则

其中在区间上有连续导数且．
评注:利用定积分计算第一类曲线积分时，定积分上限必须大于下限．
⑶ 转化为第二类曲线积分计算
［例3.1] 设是圆周，计算．
解:由于积分曲线关于轴对称，被积函数是关于的奇函数，所以

又因为是圆周，所以具有轮换对称性，从而

所以．
[例3.2］ 设是由圆周，直线及轴在第一象限中所围成图形的边界，计算．
解：如图，积分曲线,由线段，圆弧和线段组成
于是

而在上，，
在上,，
在上,，
故 ．
3．物理应用
设曲线形物体在平面上占有弧段，其上点处的线密度为，假定在上连续,则
⑴ 该物体的质心坐标为：
,
⑵ 该物体绕轴的转动惯量
绕轴的转动惯量：
绕轴的转动惯量：
绕直线的转动惯量：
二、对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）
1．对坐标的曲线积分的概念
⑴ 对坐标曲线积分的定义
定义：设为平面内的一条以为端点的有向光滑（或逐段光滑）曲线弧,函数在上有界，在内任意插入个点把分成个有向小弧段
，，，，,（）
记，在上任取一点．如果当各弧段的长度的最大值时，的极限总存在(与弧段的分法及点的取法无关)，则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作．类似地，如果极限的极限总存在（与弧段的分法及点的取法无关)，则称此极限值为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分,记作，即

一般地
．
上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情况:

．
⑵ 对坐标的曲线积分的存在性
定理：若在有向曲线弧上连续,则在有向曲线弧上对坐标的曲线积分存在．
⑶ 对坐标的曲线积分的基本性质
第二类曲线积分与积分路径的方向有关，

其它性质类似于对弧长的曲线积分．
2．对坐标的曲线积分的计算
⑴ 利用定积分计算
命题：若有向曲线弧的参数方程为：，而且对应于有向曲线弧起点,对应于有向曲线弧终点（不一定大于）．那么
=
其中在区间（或）上有连续导数且．
评注：利用定积分计算第二类曲线积分时，定积分下限必须对应有向曲线弧起点，上限必须对应有向曲线弧终点．
⑵ 利用二重积分计算
一般来说封闭曲线上的第二类曲线积分或通过观察用定积分计算很困难的第二类曲线积分需借助于格林公式用二重积分计算．
［例3。3] 计算，其中是抛物线上从点到点的一段弧．
解:，当时，对应的起点;当时对应的终点．
于是

．
3．格林公式及其应用
⑴ 格林公式
定理：设是一平面有界闭区域，是的边界曲线,方向为规定的正向，在及其边界上有一阶连续偏导数，则有

⑵ 平面上曲线积分与路径无关的条件
定理：设在单连通区域内有连续一阶偏导数，则曲线积分
在内与路径无关（或沿内任意简单闭曲线的曲线积分值为零）的充要条件是．
⑶ 原函数的求法
定义：若有，则称为函数的全微分，而函数叫的一个原函数．
定理：设在单连通区域内有连续一阶偏导数,则为函数的全微分的充分必要条件为在内恒有．且函数可以表示为:或
其中为区域内一点．
［例3。4] 计算．其中为四个顶点分别为、、和的正方形区域的正向边界．
分析:由于是封闭曲线，且其正向为它所围区域边界规定的正向，且与都有连续偏导数，故格林定理的条件满足,用格林定理来计算．
解：由格林公式可得

．
［例3.5］ 证明曲线积分在整个平面上与路径无关，并计算积分的值．
解：整个平面域是单连通区域，记，
则在整个平面域上有一阶连续偏导数,且

所以曲线积分在整个平面上与路径无关
于是
．
［例3.6] 验证是全微分式，并求其全部原函数．
解：因为 ，在整个平面内都有连续一阶偏导数，且，所以是全微分式．
全部原函数为 (是任意常数)．
4．对坐标曲线积分的应用
设质点在力作用下沿有向曲线弧从点运动到点，这一过程中力做的功为

三、两类曲线积分间的关系
设是有向曲线弧上任一点，是在点且与方向一致的单位切向量，则

●● 常考题型及其解法与技巧
一、对弧长曲线积分的计算
Ⅰ 利用化简计算
［例6.3.1] 填空题
（1）设为椭圆，其周长记为，则；
(2)设，则．
解:（1）关于轴对称，而函数是变量的奇函数，所以由对称性可知

从而
又因为上的点都满足，所以

故．
（2)因为,所以具有轮换对称性．
由轮换对称性可得:

所以，
又因为上的点都满足，从而

故 ．
Ⅱ 利用定积分计算
[例6。3.2］ 计算，其中是以为顶点的三角形围成．
解：利用积分性质得：

线段参数方程为，，故
；
线段参数方程为,,故
;
线段参数方程为,，故
．
从而．
[例6。3。3] 计算，其中为圆周．
解：的参数方程为，
所以

．
[例6.3。4] 计算其中，．
解：由于,所以参数方程表示为
，
故．
Ⅲ 利用二重积分计算
封闭曲线上，被积函数没有具体表达式的第一类曲线积分一般用二重积分计算，具体步骤：①利用两类曲线积分的关系，把第一类曲线积分化为第二类；②利用格林公式把第二类曲线积分转化为二重积分；③计算二重积分．
[例6。3。5］ 设在区域内有连续二阶偏导数,且
是区域的边界曲线，方向为规定的正向，是的单位外法向量．计算．
解：由于=,两类曲线积分之间的关系为,其中是与曲线方向一致的单位切向量．
设，则．
所以
因此

利用格林公式可得．
二、平面对坐标的曲线积分的计算
Ⅰ 积分路径为闭曲线
此类积分常用的计算方法有:
法一:利用定积分计算，前提是，易找到的参数式方程，并且所化成的定积分容易计算；
法二：借助格林公式用二重积分计算．在使用格林公式时一定要检验格林公式的条件是否满足．
评注：这一类的考研题一般是用第二种方法完成的．
[例6.3.6] 计算,其中为正向椭圆．
解:将椭圆的方程化为参数方程
，
其中当时，对应曲线的起点；当时，对应曲线的终点．
从而
．
[例6。3。7] 计算，其中是以为顶点的正向三角形（逆时针方向为正）．
解：不难检验该曲线积分满足格林公式的条件，由格林公式可得

其中为以为顶点的三角形域，如图所示
而，
所以．
[例6.3。8］ 计算，其中是以、、、为顶点的正方形围线（如图）
分析:在所围成的区域内的点，格林公式的条件不满足．但注意到上任何点都满足，所以可以将积分曲线的方程代入被积函数来化简(计算曲线（面)积分时,都可以利用曲线（面)方程化简算式）．
解:由于的方程为，所以
．
[例6.3.9］ 计算曲线积分,其中是以点为中心，为半径的圆周，取逆时针方向．
分析：在所围成的区域内的点，格林公式的条件不满足．此时可以做一条简单封闭曲线将该点“挖掉”，关键是取什么样的曲线?（应由被积函数的形状决定)．
解：令,则

令，取逆时针方向，则

．
Ⅱ 积分路径为非闭曲线
此类积分常用的计算方法有：
法一：利用定积分计算，前提是，易找到的参数式方程，并且所化成的定积分容易计算；
法二:添加曲线段使非闭积分曲线变成闭积分曲线，再利用格林公式化为二重积分计算；
评注：这一类的考研题一般是用第二种方法完成的．
［例6。3。10］ 计算，其中为曲线上从点
经过点到点的有向折线段．
解：积分路径如图所示:
所以
线段参数方程为当对应起点，当对应终点；
线段参数方程为当对应起点，当对应终点；
故．
［例6.3.11］ 求，其中为正常数，为从点沿曲线到点的弧．
分析：此题用第一种方法太麻烦，所以应选第二种方法．
解：记，．则

添加直线段,则为闭曲线（如图所示），于是