2015年深圳一模理科数学试题答案及评分标准-(纯word版).doc

(完整版)2015年深圳一模理科数学试题答案及评分标准-(纯word版)
2015年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科）试题
一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合,集合,则＝（ ）
A。 B。 C. D。
O
x
y
图1
1
-1
2、已知复数满足（其中为虚数单位）,则（ )
A。 B。 C。 D.
3、若函数的部分图象如图1所示，则
A。 B。
C。 D。
4、已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A。3 B.4 C.6 D。9
5、 已知直线，平面，且，，则“"是“”的（ )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C。充要条件 D.既不充分也不必要条件
图2
6、执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A。 16 B。25 C。36 D.49
7、在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（ ）
A. B. C。 D.
8、如果自然数的各位数字之和等于8,我们称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列…,若，则( ）
A. 83 B。82 C。39 D.37
二、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分
（一） 必做题:第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。
9、 的展开式中常数项为 .（用数字表示)
10、 已知向量，，若，则的最小值为
11、 已知圆C：经过抛物线E:的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长
为
13、 设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为
（二） 选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。
图3
14、 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线：与曲线相交于A，B两点,则｜AB|＝
15、 （几何证明选讲选做题)如图3，在中，,,D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。若BC＝6，则DE的长为
三、解答题
16、（本小题满分12分)
函数(）的最小正周期是．
（1）求的值；
(2）若,且,求的值．
17、（本小题满分12分)
空气质量指数(简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
城市
AQI数值
广州
118
东莞
137
中山
95
江门
78
云浮
76
茂名
107
揭阳
80
深圳
94
珠海
95
湛江
75
潮州
94
河源
124
肇庆
48
清远
47
佛山
160
惠州
113
汕头
88
汕尾
74
阳江
112
韶关
68
梅州
84
(1）请根据上表中的数据，完成下列表格：
空气质量
优质
良好
轻度污染
中度污染
AQI值范围
[0，50）
[50，100)
[100，150）
［150,200)
城市个数

（2)统计部门从空气质量“良好"和“轻度污染"的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市,省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研,记省环保部门“选到空气质量“良好"的城市个数为"，求的分布列和数学期望．
18、（本小题满分14分)
在三棱锥中,已知平面平面,是底面△最长的边．三棱锥的三视图如图5所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形．
（1）请在图6中,用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整(其中点 在
平面内）,并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；
（2）求二面角的正切值；
侧视图
正视图
图5
俯视图
z
图6
O
P
y
x
（3）求点到面的距离．
19、（本小题满分14分）
已知首项大于的等差数列的公差，且．
（1）求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，，，其中．
①求数列的通项；
②是否存在实数,使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在,请说明理由．
20、（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，过左焦点倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程;
（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线垂足为，求点的轨迹方程．
21、（本小题满分14分）
已知定义在上的奇函数满足：当时，．
(1）求的解析式和值域；
（2）设，其中常数．
①试指出函数的零点个数；
②若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中．
证明:（）．
2015年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分,满分40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
A
C
B
C
D
A
二、填空题:本大题每小题5分，满分30分．
9． ； 10． ； 11．； 12．；
13．；　 14．；　 15． ．
三、解答题
16．解：（1）的周期，即， …………………………………………1分
， 由，得，即． ……………………………………3分
． ………………………………5分
（2）由得， ………………………………7分
又，， ……………………………………………8分
， …………………………………………9分
．
． …………………………………………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质,同角三角函数的关系式，诱导公式,两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．
17、解：（1）根据数据，完成表格如下：
空气质量
优质
良好
轻度污染
中度污染
AQI值范围
[0，50）
[50，100）
[100，150）
[150，200)
城市频数
2
12
6
1
…………………………………2分
(2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取个， ………………………………… 3分
从“轻度污染"类城市中抽取个, ……………………………4分
所以抽出的“良好"类城市为个，抽出的“轻度污染"类城市为个．
根据题意的所有可能取值为：．
， ,．………8分
的分布列为:

所以． ………………………………………………11分
答:的数学期望为个． …………………………………………………12分
【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
A
z
图1
O(B)
P
y
C
x
18、解：（1）三棱锥直观图如图1所示;
由三视图知和是直角三角形． ……………………3分
（2)（法一）：如图2，过作交于点，
由三视图知为等腰三角形，
，,
，
取的中点,过作且交
于点，连接,,
E
F
H
A
z
图2
O(B)
P
y
C
x
因为，由三视图知面,
且面,所以，
又由，所以面，
由面，所以，
，所以面，
由面，所以，
所以是二面角的平面角．………6分
，，
，， ……………………………………8分
在直角中，有．
所以,二面角的正切值为． ………………………………………9分
(法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形,
H
A
z
图3
O(B)
P
y
C
x
,，
由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：
，，，，
则，,，
,
设平面、平面的法向量分别为、．
设，由,，得，
令, 得，,即． …………………6分
设，由，,得，
令, 得，，即． ………………………7分
，．…………………8分
而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为．…9分
（3） （法一）:记到面的距离为,由(1）、（2）知,
，， ………………………………12分
三棱锥的体积, ……………………13分
由，可得：． ………………………………………14分
(法二）：由（2)知，平面的法向量，
记到面的距离为，
． ………………………………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
19、解:(1）（法一)：数列的首项，公差，
，， ………………………………………2分
， ……………3分
整理得解得或（舍去）． ……………………………4分
因此,数列的通项． ………………………………………5分
（法二）：由题意得， …………………………………1分
数列是等差数列，, ……………………………2分
，即． ………………………………………………………3分
又,，解得或（舍去）． …………………………………4分
因此，数列的通项． ………………………………………5分
（2）①, ． …………………………6分
令,则有，．
当时，，． ………8分
因此，数列的通项． ………………………9分
②，,， ………………………………………10分
若数列为等比数列，则有，即，解得或． ………11分
当时，，不是常数，数列不是等比数列,
当时，,,数列为等比数列．
所以，存在实数使得数列为等比数列． ………………………………14分
【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力,以及化归与转化的思想．
20、解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得,
故椭圆的方程可设为，则椭圆的右焦点坐标为， 过右焦点倾斜角为的直线方程为． ………………………………………2分
设直线与椭圆的交点记为，由消去，得，
解得， 因为，解得．
故椭圆的方程为． ……………………………………………………4分
（2）（法一)(i）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，
联立直线和椭圆的方程,得， ……………………………………5分
消去并整理，得， …………………………6分
因为直线和椭圆有且仅有一个交点，
， ………………………………………7分
化简并整理，得． …………………………………………8分
因为直线与垂直，所以直线的方程为:,
联立 解得 ………………………9分
，把代入上式得． ① …………………………………11分
（ii)当切线的斜率为时,此时，符合①式． …………………………12分
（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合①式． ………13分
综上所述，点的轨迹方程为． ………………………………………14分
（法二）：设点的坐标为，
（i）当切线的斜率存在且不为时,设的方程为，
同解法一，得， ① …………………………………………8分
因为直线与垂直,所以直线的方程为:，
联立 解得 ② …………………9分
②代入①并整理，有，…10分
即，
由点与点不重合， ,
， ③ ……………………………………………………11分
（ii)当切线的斜率为时，此时，符合③式． …………………………12分
（iii）当切线的斜率不存在时，此时 或，符合③式． ………13分
综上所述，点的轨迹方程为． ………………………………………14分
（法三）：设点的坐标为,
(i）当切线的斜率存在且不为时,设的方程为，整理，得的方程为，5分
联立直线和椭圆的方程,得， 消去并整理,
得， ……………………6分
因为直线和椭圆有且仅有一个交点，
, ………………………7分
化简并整理，得, ① ………………………8分
因为与直线垂直，有， ②……………………………………9分
②代入①并整理，有，…10分
即，
点与点不重合， ，
, ③………………………………………………………………11分
（ii）当切线的斜率为时，此时，符合③式． …………………………12分
（iii）当切线的斜率不存在时,此时 或，符合③式． ………13分
综上所述，点的轨迹方程为． ………………………………………14分
【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21、解：（1）为奇函数,．
当时，,则，
………………………………………2分
时，,，，
的值域为． …………………………………………………3分
图a
（2）①函数的图象如图所示，当时，方程
有三个实根；当或时，方程只有一个实
根；当或时，方程有两个实根．
（法一）：由，解得，
的值域为，只需研究函数在上的图象特征．
设，，,
令，得，．
图b
当时，，当时，，
又，即，由，,得,
的大致图象如图所示．
根据图象可知,当时，
直线与函数的图像仅有一个交点，则函数
在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、
、上，根据图像,方程有两个交点，因此
函数有两个零点． …………………………………………5分
类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、、这三个零点． ………………………………………………………………6分
当时,函数在上有两个零点，一个零点是,另一个零点在内,因此函数有三个零点． …………………………………………………………7分
当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点． ……………………………………………………………8分
当时，函数在上没有零点,因此函数没有零点． ………9分
（法二)： ,令，得，
,．
当时，，当时,,
当时,取得极大值．
图c
(Ⅰ)当的极大值,即时,函数在区间上无零点，因此函数无零点．
（Ⅱ)当的极大值，即时，
，函数的图像如图所示，函数有零点．
由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．
图d
（Ⅲ）当的极大值且,
即时，在上单调递增，因为，，函数的图像如图所示,函数在存在唯一零点,其中．
图e
由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点．
（Ⅳ）当的极大值且,即时：
由，得，由，得，
图f
根据法一中的证明有．
（ⅰ）当时,，
,函数的图像如图所示，
函数在区间有唯一零点，其中．
由图可知方程有两不等的实根，因此
函数有两个零点．
（ⅱ）当时,，
,函数的图像如图所示，
函数在区间有唯一零点．
图g
由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点．
(ⅲ）当时，，，函数的
图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中．
由图可知方程有两个不等的实根，因此函数
有两个零点．
(ⅳ）当时，,，
图h
函数的图像如图所示，函数在区间有
两个零点，分别是和,其中．
由图可知方程有一个实根，方程
有两个非的不等实根,因此函数有三个零点．
（ⅴ）当时,，，
函数的图像如图所示，函数在区间有两个
零点、，其中．
图i
由图可知方程、都有两个不等的实根，
且这四个根互不相等,因此函数有四个零点．
综上可得：
当时,函数有两个零点；………………5分
当、时,函数有三个零点; ………………………………7分
当时，函数有四个零点； ……………………………………8分
当时，函数无零点． ………………………………………………9分
②因为是函数的一个零点，所以有，
，，
，
，． …………………………………………10分
记，，
当时，，
当时,，即．
故有，则． …11分
当时，；
当时,
（法一）:， ………………………………13分
……
．
综上，有…，． ………………………………………14分
（法二）：当时,;
当时，， ………………………13分
……
．
综上，有…，． ………………………………………14分
【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．
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