2013年高中一模函数和导数1--汇总.doc

函数与导数——2013年各区一模试题分类
一、选择题：
（1）【13．西城一模.理.7】
7．已知函数，其中．若对于任意的，都有，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）【13．东城一模.理.7】
（7）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为
（A）或 （B）或 （C）或 （D）或
（3）【13．丰台一模.理.7】
7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 ，那么正确的选项是
(A) y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y
(B) y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y
(C) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y
(D) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y
（4）【13．石景山一模.理.8】
8．若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称.
则称点对[P, Q]是函数的一对“友好点对”（注：点对[P, Q]与[Q , P]看作同一对“友好点对”）.
已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
（5）【13．朝阳一模.理.8】
（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有
A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个
二、填空题
（1）【13．海淀一模.理.13】
13.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.
（2）【13．朝阳一模.理.13】
（13）函数是定义在上的偶函数，且满足
.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .
（3）1. 【2013，理，房山一模，13】
13.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是

日销售量与时间的函数关系是.则这种商品
的日销售额的最大值为 .
三、解答题
（1）【13．西城一模.理.18】
18．（本小题满分13分）
已知函数，，其中．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：的定义域为， ………………1分
且 ． ………………2分
① 当时，，故在上单调递减．
从而没有极大值，也没有极小值． ………………3分
② 当时，令，得．
和的情况如下：

↘

↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值． ………………5分
（Ⅱ）解：的定义域为，且 ． ………………6分
③ 当时，显然 ，从而在上单调递增．
由（Ⅰ）得，此时在上单调递增，符合题意． ………………8分
④ 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．……9分
⑤ 当时，令，得．
和的情况如下表：

↘

↗
当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意． ………………11分
当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是． ………………13分
（2）【13．东城一模.理.18】
（18）（本小题共14分）
已知函数，（为常数，为自然对数的底）．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若在时取得极小值，试确定的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（ 为确定的常数）相切，并说明理由．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）当时，．
．
所以．
（Ⅱ）
．
令，得或．
当，即时，
恒成立，
此时在区间上单调递减，没有极小值；
当，即时，
若，则．
若，则．
所以是函数的极小值点．
当，即时，
若，则．
若，则．
此时是函数的极大值点．
综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当，且时，，
因此是的极大值点，极大值为．
所以．
．
令．
则恒成立，即在区间上是增函数．
所以当时，，即恒有．
又直线的斜率为，
所以曲线不能与直线相切．
（3）【13．东城一模.理.20】
（20）（本小题共13分）
设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.
（Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；
（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值；
（Ⅲ）若数组中的“元”满足.设数组含有四个“元”，且，求与的所有含有三个“元”的子数组的关系数的最大值.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2．
（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．
由，
得 ．
当且仅当，且时，达到最大值，
于是．
②当不是中的“元”时，计算的最大值，
由于，
所以．
，
当且仅当时，等号成立．
即当时，取得最大值，此时．
综上所述，的最大值为1．
（Ⅲ）因为满足．
由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况．
当时，有．

．
即，且，，时，
的最大值为．
当时，，
得最大值小于．
所以的最大值为．
（4）【13．海淀一模.理.18】
18.（本小题满分13分）
已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(I) 当时，求的单调区间；
(II) 若在上的最大值为，求的值.
18. 解：（I）因为所以………………2分
因为函数在处取得极值
………………3分
当时，，，
随的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

………………5分
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为………………6分
(II)因为
令,………………7分
因为在 处取得极值，所以
当时，在上单调递增，在上单调递减
所以在区间上的最大值为，令，解得………………9分
当，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，解得………………11分
当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以最大值1可能在或处取得
而
所以，
解得，与矛盾………………12分
当时，在区间上单调递增，在单调递减，
所以最大值1可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或. ………………13分
（5）【13．丰台一模.理.18】
18.已知函数，.
(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
(Ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。
解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分
则， …………………………………………………3分
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，
即,解得或……………………6分
(Ⅱ)记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),
ab=8，所以，(x≠-a),
,
令，得，或, …………………………………………………8分
因为，所以，
故当，或时，，当时，，
函数(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为, ……………………………………………………………………10分
,,，
① 当，即时, (x)在[-2,-1]单调递增,
(x)在该区间的最小值为， ………………………………………11分
② 当时,即,
(x)在[-2,单调递减, 在单调递增，
(x)在该区间的最小值为，………………………………………………12分
③当时,即时,
(x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为，………13分
综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣分）
（6）【13．石景山一模.理.18】
18．（本小题满分13分）
已知函数,.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）在区间上, . ……………………1分
①若,则,是区间上的减函数； ……………3分
②若,令得.
在区间上, ,函数是减函数;
在区间上, ,函数是增函数;
综上所述，①当时,的递减区间是，无递增区间；
②当时，的递增区间是，递减区间是. …………6分
（II）因为函数在处取得极值，所以
解得，经检验满足题意. …………7分
由已知则 …………………8分
令，则 …………………10分
易得在上递减，在上递增， …………………12分
所以，即． …………13分
（7）【13．朝阳一模.理.18】
（18）（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.
解：函数定义域为， 且…………2分
①当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，
令，得，函数的单调递增区间为.
②当，即时，令，得或，
函数的单调递增区间为，.
令，得，函数的单调递减区间为.
③当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. …7分
(Ⅱ)①当时，由(Ⅰ)可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.
所以在上的最小值为，
由于，
要使在上有且只有一个零点，
需满足或解得或.
②当时，由(Ⅰ)可知，
（ⅰ）当时，函数在上单调递增；
且，所以在上有且只有一个零点.
（ⅱ）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
又因为，所以当时，总有.
因为，
所以.
所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，
从而当时，在上有且只有一个零点.
综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分
8. 【2013，理，门头沟一模，18】
18．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）函数在点的切线与直线平行，求的值；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围
解： （Ⅰ） ……………………………2分
， ……………………………3分
因为函数在点的切线与直线平行
所以， ……………………………5分
（Ⅱ）
令
当时，，在上，有，函数增；在上，有，函数减， 函数的最小值为0，结论不成立．………………………6分
当时， ………………………7分
若，，结论不成立 ……………………9分
若，则，在上，有，函数增；
在上，有，函数减，
只需 ，得到，
所以 ……………………………11分
若，，函数在有极小值，只需
得到，因为，所以 …………………13分
综上所述， …………………14分
9. 【2013，理，大兴一模，18】
(18)（本小题满分14分）
已知函数，．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（18）（本题满分14分）
解：（I），.
由，得，或.
①当，即时，在上，，单调递减；
②当，即时，在上，，单调递增，在上，，单调递减。
综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为，的减区间为。
（II）（1）当时，由（I）在上单调递减，不存在最小值；
（2）当时，
若，即时，在上单调递减，不存在最小值；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
因为，且当时，，所以时，。
又因为，所以当，即时，有最小值；，即时， 没有最小值。
综上所述：当时，有最小值；当时，没有最小值。
10.【2013，理，房山一模，18】
18. (本小题满分13分)
已知函数 , .
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得
成立，求实数b的取值范围.
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）当时， ……………………1分
………………………………………….…2分
所以曲线在点处的切线方程…………………………….…3分
（Ⅱ）………4分
① 当时，
解，得，解，得
所以函数的递增区间为，递减区间为在 ………………………5分
② 时，令得或
i）当时，
x
)

f’(x)
+

-

+
f(x)
增

减

增
………………………6分
函数的递增区间为，，递减区间为……………………7分
ii）当时，
在上，在上 ………………………8分
函数的递增区间为，递减区间为 ………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，
所以， …………………………………11分
存在，使
即存在，使，
方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于
所以有
即解得： ………………………………………………13分
方法二：将
整理得
从而有
所以的取值范围是. ……………………………………………13分

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