微积分导数与微分.doc
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1、第二章 导数与微分微分学是高等数学的重要组成部分,作为研究分析函数的工具和方法,其主要包含两个重要的基本概念导数与微分,其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度,即变化率问题,而微分刻画了当自变量有微小变化时,函数变化的近似值.一、教学目标与基本要求(一)知识1记住导数和微分的各种术语和记号;2知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系;3知道导数的几何意义,知道平面曲线的切线和法线的定义;4记住常数及基本初等函数的导数公式;5知道双曲函数与反双曲函数的导数公式;6知道高阶导数的定义;7知道隐函数的定义;8记住反函数的求导法则;9记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式;10知道对
2、数求导法及其适用范围;11知道相关变化率的定义及其简单应用;12记住基本初等函数的微分公式;13知道微分在近似计算及误差估计中的应用;14记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式.(二)领会1 领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义;2 领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系;3 领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;4 领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系;5 领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系;6 领会微分形式的不变性;7 领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系;8 领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等.(
3、三)运用1 会用导数描述一些物理含义,如速度、加速度等;2 会用导数的定义求一些极限,证明一些有关导数的命题,验证导数是否存在;3 会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程;4 会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在;5 会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数;6 会求反函数的导数;7 会求复合函数的导数;8 会求隐函数的一阶、二阶导数;9 会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数;10会求函数的高阶导数;11会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数;12会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数.13会用微分定义和
4、微分法则求微分;14会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数;15会用微分求函数的近似值.(四)分析综合1 综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数;2 综合运用函数导数的定义,左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性;3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式,两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等,求函数高阶导数;4 综合运用导数的几何意义及求导法则,解决几何方面求曲线切线与法线的问题及相关变化率问题;综合运用微分的定义及几何意义解决近似计算及误差估计问题.二、教学内容的重点及难点:1 导数的概念与几何意义及物理意义;2 可导与连续的关系;
5、3 导数的运算法则与基本求导公式;4 微分的概念与微分的运算法则;5 可微与可导的关系.三、教学内容的深化和拓宽:1 导数概念的深刻背景;2 复合函数的求导法则的应用;3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式,两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等,求函数的高阶导数;4 综合运用导数的几何意义及求导法则,解决几何方面的曲线切线与法线的问题及相关变化率问题. 2.1 导数的概念一、内容要点1 导数的两个基本实际背景是曲线的切线斜率与变速运动的瞬时速度.2 函数在一点处的导数的定义为函数在该点处的关于自变量的变化率,即3单侧导数的定义1) 函数可导性与连续性的关系:若函数在一点处可导,则函数
6、在该点处连续,反之不然.2) 导数的实用举例(扩充)二、教学要求和注意点教学要求:1 理解导数的概念,理解导数的几何意义与基本物理意义.2 理解函数的可导性与连续性之间的关系,即连续是可导的必要面非充分条件.3 了解函数可导的充要条件:存在教学注意点:1 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率:切线的斜率;速度与加速度;角速度与角加速度;电流,等等.2 要充分理解函数可导则必然连续,而连续却未必可导.3 注意要用函数可导的充要条件:存在来判断分段函数在分段点处是否可导.主要内容:一、 引例1、 线问题:切线的概念在中学已见过.从几何上看,在某点的切线就是一直线,它在该点和
7、曲线相切.准确地说,曲线在其上某点的切线是割线当沿该曲线无限地接近于点的极限位置.设曲线方程为,设点的坐标为,动点的坐标为,要求出曲线在点的切线,只须求出点切线的斜率.由上知,恰好为割线的斜率的极限.我们不难求得的斜率为:;因此,当时,其极限存在的话,其值就是,即.若设为切线的倾角,则有.2、速度问题:设在直线上运动的一质点的位置方程为(表示时刻),又设当为时刻时,位置在处,问:质点在时刻的瞬时速度是多少?为此,可取近邻的时刻,也可取,在由到这一段时间内,质点的平均速度为,显然当与越近,用代替的瞬时速度的效果越佳,特别地,当时,某常值,那么必为点的瞬时速度,此时, 3、同理可讨论质量非均匀分布
8、的细杆的线密度问题,设细杆分布在上的质量是的函数,那么在处的线密度为 二、 导数的定义综合上几个问题,它们均归纳为这一极限(其中为自变量在的增量,为相应的因变量的增量),若该极限存在,它就是所要讲的导数.定义:设在点的某邻域内有定义,且当自变量在点有一增量(仍在该邻域中)时,函数相应地有增量,若增量比极限:即存在,就称其值为在点的导数,记为,或.即等等,这时,也称在点可导或有导数,导数存在.注 1:导数的常见形式还有:; ; ; 2:反映的是曲线在上的平均变化率,而是在点的变化率,它反映了函数随而变化的快慢程度. 3:这里与中的与是一个整体记号,而不能视为分子或与分母,待到后面再讨论. 4:若
9、极限即不存在,就称在点不可导.特别地,若,也可称在的导数为,因为此时在点的切线存在,它是垂直于轴的直线.若在开区间内的每一点处均可导,就称在内可导,且对,均有一导数值,这时就构造了一新的函数,称之为在内的导函数,记为,或,等.事实上, 或注 5:上两式中,为内的某一点,一旦选定,在极限过程中就为不变,而与是变量.但在导函数中,是变量. 6:在的导数就是导函数在点的值,不要认为是; 7:为方便起见,导函数就称为导数,而是在点的导数.【例1】 设,证明欲,那么.证明:因为所以.【例2】 若在点可导,问:?解: .反过来,亦证明:.三、求导数举例【例3】 求函数(为常数)的导数.解:在中,不论取何值
10、,起其函数值总为,所以,对应于自变量的增量,有 ,即.注:这里是指在任一点的导数均为0,即导函数为0.【例4】 求(为正整数)在点的导数.解:即,亦即,若将视为任一点,并用代换,即得注:更一般地,(为常数)的导数为,由此可见, , .【例5】 求在点的导数.解: ,即 同理:若视为任意值,并用代换,使得,即.注:同理可证:.【例6】 求的导数.解:所以.注:特别地,.【例7】 求的导数.解:.注 1:等最后讲到反函数求导时,可将作为的反函数来求导; 2:一般地说,求导有四步:一、给出;二、算出;三、求增量比;四、求极限.3、.【例8】 讨论在处的导数.解:考虑,由1.4例4知不存在,故在点不可
11、导. 然而,及,这就提出了一个单侧导数的问题,一般地,若,即即 存在,就称其值为在点的右(左)导数,并记为,即 .定理1:在点可导在点的左导数和右导数均存在,且相等,即 .注1:例8的左导数为-1,右导数为1.因为,所以在点不可导; 2:例8也说明左可导又右可导,也不能保证可导; 3:左、右导数统称为单侧导数; 4:若在内可导,且在点右可导,在点左可导,即存在,就称在上可导.四、 导数的几何意义 由前面的讨论知:函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率,即,或为切线的倾角.从而,得切线方程为.若,或 切线方程为:.过切点,且与点切线垂直的直线称为在点的法线.如果,法线的斜率为,此时,法线的方程为
12、:. 如果=0,法线方程为.【例9】 求曲线在点处的切线与法线方程.解:由于,所以在处的切线方程为: 当时,法线方程为: 当时,法线方程为: .五、 函数的可导性与连续性之间的关系定理2:如果函数在点可导,那么在该点必连续.证明:由条件知:是存在的,其中, 由1、5定理1(i) (为无穷小) 显然当时,有,所以由1、9定义1,即得函数在点连续,证毕.注 1:本定理的逆定理不成立,即连续未必可导. 反例:在点连续,但不可导.【例10】 求常数使得在点可导.解:若使在点可导,必使之连续,故 . 又若使在点可导,必使之左右导数存在,且相等,由函数知,左右导数是存在的,且 所以若有,则,此时在点可导,
13、所以所求常数为 .2.2 函数的和、差、积、商的求导法则一、内容要点1 函数的线性组合、积与商的求导法则 ;2 反函数的导数1 复合函数的求导法则;2 小结基本求导法则与导娄公式:1) 常数和基本初等函数的导数公式;2) 函数的和、差、积、商的求导法则;3) 反函数的求导法则;4) 复合函数的求导法则.二、教学要求和注意点教学要求:1 掌握函数的线性组合、积与商的求导法则与复合函数的链式法则.教学注意点:1 牢记 arcsin x,arccos x,arctan x,arccot x,sinh x,cosh x等15个初等函数的导数,必须做到“倒背如流”.2 在求导法则中,复合函数在链式求导法
14、则是中心,应用时一要弄清函数的复合关系,做到不遗漏,不重复;二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导(即使这个变量不明显出现),熟练掌握的关键是多做练习.主要内容:定理 1:若函数和在点都可导,则在点也可导,且 .证明: = 所以.注 1:本定理可推广到有限个可导函数上去. 2:本定理的结论也常简记为.定理2:若和在点可导,则在点可导,且有.证明: = = = =即 .注 1:若取为常数,则有:; 2:本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去,例如: 等.定理3:若都在点可导,且,则在点也可导,且.证明: = = =即注1:本定理也可通过,及的求导公式来得;2:本公式简化为;3:以上定理13中的
15、,若视为任意,并用代替,使得函数的和、差、积、商的求导函数公式.【例1】 设,求.解: .【例2】 设,求.解:.【例3】反函数的导数定理1:设为的反函数,若在的某邻域内连续,严格单调,且,则在(即点有导数),且.证明: 所以 .注1:,因为在点附近连续,严格单调; 2:若视为任意,并用代替,使得或,其中均为整体记号,各代表不同的意义; 3:和的“”均表示求导,但意义不同; 4:定理1即说:反函数的导数等于直接函数导数的倒数; 5:注意区别反函数的导数与商的导数公式.【例1】 求的导数,解:由于,是的反函数,由定理1得:.注1:同理可证:; 2:.【例2】 求的导数.解:利用指数函数的导数,自
16、己做.二复合函数的求导公式复合函数的求导问题是最最常见的问题,对一复合函数往往有这二个问题:1.是否可导?2.即使可导,导数如何求?复合函数的求导公式解决的就是这个问题.定理2(复合函数求导法则):如果在点可导,且在 点也可导,那么,以为外函数,以为内函数,所复合的复合函数在点可导,且,或证明: = 所以.注 1:若视为任意,并用代替,便得导函数: ,或 或. 2:与不同,前者是对变量求导,后者是对变量求导,注意区别. 3:注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导. 4:复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去,如: 等.【例3】 求的导数.解:可看成与复合而成, .【例4】 求(为常数
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- 微积分 导数 微分
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