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2018年普通高等学校招生全国统一测验广东理科数学模拟试卷(一)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
广东省理科数学模拟试卷（一）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.设复数，且为纯虚数，则 （ ）
A．-1 B． 1 C． 2 D．-2
3. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）

A． B． C． D．
4. 已知函数满足，则函数的图象在处的切线斜率为（ ）
A．0 B． 9 C. 18 D．27
5. 已知是双曲线的一个焦点，点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．2
6. 的展开式中，的系数为（ ）
A． 120 B．160 C. 100 D．80
7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A． B． C. D．
8.已知曲线，则下列结论正确的是 （ ）
A．把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
B．把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
C. 把向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称
D．把向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称
9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）

A．是偶数， B．是奇数，
C. 是偶数， D．是奇数，
10.在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C. D．
11.已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为 （ ）
A． B． C. D．
12.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知单位向量的夹角为30°，则 ．
14.设满足约束条件，则的最大值为 ．
15.已知，则 ．
16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数/步

10000以上
男生人数/人
1
2
7
15
5
女性人数/人
0
3
7
9
1
规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.
（1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求和的数学期望.
（2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为；
其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为；求的概率.
19.如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.

20.已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），与轴，轴分别交于两点，且满足（其中为坐标原点）.证明：直线的斜率为定值.
21. 已知函数.
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）若函数的最小值为，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，.
（1）求的极坐标方程和的平面直角坐标系方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.
23.【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在，使得和互为相反数，求的取值范围.

试卷答案
一、选择题
1-5:BDACC 6-10: ABDDC 11、12：AB
二、填空题
13. 1 14. 2 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，
所以，即，
化简得，
又，所以，从而.
（2）因为，
所以，
所以，
以上两个等式相减得，
化简得.
18.解：（1）被系统评为“积极性”的概率为.
故，
的数学期望；
（2）“”包含“”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，
，，，
，，，
所以.
19.（1）证明：由题可得，则，
又，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面；
（2）解：

过点作交于点，连结，则平面，，
又，所以平面，
易证，则，得，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，则.
故，
设是平面的法向量，则，
令，得，
设是平面的法向量，则，
令，则，
因为，所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，
故可设直线的方程为，点的坐标分别为，
由，
化简得，，即，
由，消去得，
则，且，
故，
因此，即，
又，所以，又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值.
21.解：（1），
令，故在上单调递增，
则，
因此，当或时，只有一个零点；
当或时，有两个零点；
（2）当时，，则函数在处取得最小值，
当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，
使得，
若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，
又，故不符合题意.
若，则，函数在上单调递增，
又，故不符合题意.
若，则，设正数，
则，
与函数的最小值为矛盾，
综上所述，，即.
22.解：（1）因为圆的普通方程为，
把代入方程得，
所以的极坐标方程为，
的平面直角坐标系方程为；
（2）分别将代入，得，
则的面积为.
23.解：（1）由题意可得，
当时，，得，无解；
当时，，得，即；
当时，，得，
综上，的解集为.
（2）因为存在，使得成立，
所以，
又，
由（1）可知，则，
所以，解得.
故的取值范围为.