山东省烟台市龙口市2022-2023学年数学九年级第一学期期末检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（ ）
A．0<a≤ B．a≥ C．≤a＜ D．<a≤
2．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（　　）

A． B． C． D．
3．点P（x﹣1，x+1）不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1﹣x）2＝36﹣25 B．36（1﹣2x）＝25
C．36（1﹣x）2＝25 D．36（1﹣x2）＝25
5．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．5x+5＝2x﹣1 B．y2﹣7y＝0
C．ax2+bc+c＝0 D．2x2+2x＝x2-1
6．数据60，70，40，30这四个数的平均数是（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线垂直平分的四边形是菱形
C．矩形的对角线平分且相等 D．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形
8．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A． B．
C． D．
9． 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( ).
A．－1或2 B．－1或1
C．1或2 D．－1或2或1
10．在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是___________.
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．

13．如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以点O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以点O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以点O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切……，若⊙O1的半径为1，则⊙On的半径是______________．

14．已知点A(3，y1)、B(2，y2)都在抛物线y＝﹣(x+1)2+2上，则y1与y2的大小关系是_____．
15．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
16．如果抛物线经过原点，那么______.
17．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为，长为，左侧图片的长比宽多. 若，则右侧留言部分的最大面积为_________.

18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{1，1}＝1．类似地，若函数y1、y1都是x的函数，则y＝min{y1，y1}表示函数y1和y1的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y1＝，则函数y＝min{x，}的图象应该是　 　中的实线部分．
（1）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣1）1，（x+1）1}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
①　 　；②　 　；③　 　；
（3）函数y＝min{（x﹣4）1，（x+1）1}的图象关于　 　对称．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离．
21．（6分）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①　 　或②　 　；
（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．
22．（8分）如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB=9.35cm，设A，D两点间的距离为cm，O,D两点间的距离为cm，C，D两点间的距离为cm.小腾根据学习函数的经验，分别对函数,随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了,与的几组对应值：
/cm
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.10
8.00
9.35
/cm
4.93
3.99

2.28
1.70
1.59
2.04
2.88
3.67
4.93
/cm
0.00
0.94
1.83
2.65
3.23
3.34
2.89
2.05
1.26
0.00
（2）①在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（,）, （,）,并画出（1）中所确定的函数,的图象；

②观察函数的图象，可得 cm(结果保留一位小数)；
（3）结合函数图象，解决问题：当OD=CD时，AD的长度约为 cm（结果保留一位小数）．
23．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

24．（8分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣5，2），C（﹣1，1）．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2，且A₁B₁C位于点C的异侧，并表示出点A1的坐标．
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．

26．（10分）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在中，，，，是的平分线．

①证明是“类直角三角形”；
②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据题意可知的对称轴为可知使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将代入中，使得，且将代入中使得即可求出a的取值范围.
【详解】由题意可知的对称轴为
可知对称轴再y轴的右侧，
由与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)可知当时
可求得
使的x的取值范围内恰好只有一个整数时
只要符合将代入中，使得，且将代入中使得
即 求得解集为：
故选C
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.
2、B
【分析】连接CD，求出CD⊥AB，根据勾股定理求出AC，在Rt△ADC中，根据锐角三角函数定义求出即可．
【详解】解：连接CD（如图所示），设小正方形的边长为，
∵BD=CD==，∠DBC=∠DCB=45°，
∴，
在中，，，则．

故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形．
3、D
【解析】本题可以转化为不等式组的问题，看下列不等式组哪个无解，
（1） x-1＞0, x+1＞0 ，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，点在第一象限；
（2） x-1＜0 ,x+1＜0 ，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，点在第三象限；
（3） x-1＞0 ,x+1＜0 ，无解；
（4） x-1＜0 ,x+1＞0 ，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，点在第二象限．
故点P不能在第四象限，故选D．
4、C
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是36×（1﹣x）2＝1．
故选：C．
【点睛】
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
5、D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是关于x的一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是关于y的一元二次方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、只有当a≠0时，是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
6、B
【分析】用四个数的和除以4即可.
【详解】（60+70+40+30）÷4=200÷4=50.
故选B.
【点睛】
本题重点考查了算术平均数的计算，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用.
数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn).
7、A
【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定及平行四边形的判定定理分别进行判定后即可确定正确的选项．
【详解】A. 对角线相等的菱形是正方形,原选项错误，符合题意；
B. 对角线垂直平分的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；
C. 正方形的对角线平分且相等，正确，不符合题意；
D. 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；
故选A.
【点睛】
本题考查正方形、矩形、平行四边形、菱形的性质定义，根据其性质对选项进行判断是解题关键.
8、B
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴（x﹣3）2＝10，
故选B．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟知配方法的运用.
9、D
【解析】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a－1＝0，即a＝1.
当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2.
综上所述，a＝1或－1或2.
故选D.
10、C
【解析】能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符号一定是：“＋”，此题总共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为： .
故答案为C
点睛：让填上“＋”或“－”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率.
此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据抛物线y=ax2+2ax+c，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【详解】∵抛物线y=ax2+2ax+c=a（x+1）2-a+c，
∴该抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-3，0），
故答案为：（-3，0）．
【点睛】
此题考查二次函数的图形及其性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12、17°
【详解】解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
13、2n−1
【分析】
作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，易找出圆半径的规律，即可解题．
【详解】
解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，

∵∠AOB＝30°，
∴OO1＝2CO1，OO2＝2DO2，OO3＝2EO3，
∵O1O2＝DO2，O2O3＝EO3，
∴圆的半径呈2倍递增，
∴⊙On的半径为2n−1 CO1，
∵⊙O1的半径为1，
∴⊙O10的半径长＝2n−1，
故答案为：2n−1．
【点睛】
本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．
14、y1＜y1
【分析】先求得函数的对称轴为，再判断、在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系．
【详解】∵函数y=﹣(x+1)1+1的对称轴为，
∴、在对称轴右侧，
∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且3＞1，
∴y1＜y1．
故答案为：y1＜y1．
【点睛】
本题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键．
15、1．
【解析】】解：y=x2﹣1x+n中，a=1，b=﹣1，c=n，b2﹣1ac=16﹣1n=0，解得n=1．故答案为1．
16、1
【分析】把原点坐标代入中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】∵抛物线经过点（0，0），
∴−1＋m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
17、320
【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.
【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm
∴右侧留言部分的面积
又14≤x≤16
∴当x=16时，面积最大(
故答案为320.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式.
18、2.1．
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得到位似比为，然后根据相似的性质计算AB的长．
【详解】解：∵A（1.1，0），D（4.1，0），
∴==，
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴==,
∴AB=DE=×7.1=2.1．
故答案为2.1．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．

三、解答题(共66分)
19、 (2)B,(2) 对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3；(3) x=2．
【分析】（2）依据函数解析式，可得当x≤-2时，x≤；当-2＜x＜3时，x＞；当3＜x＜2时，x≤；当x≥2时，x＞；进而得到函数y=min{x，}的图象；
（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；
（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=2，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．
【详解】（2）当x≤﹣2时，x≤；当﹣2＜x＜3时，x＞；当3＜x＜2时，x≤；当x≥2时，x＞；
∴函数y=min{x， }的图象应该是

故选B；
（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：

性质为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3．
故答案为对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3；
（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=2，
故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=2．
故答案为直线x=2．
【点睛】
本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
20、（1）k＝32；
（2）菱形ABCD平移的距离为．
【分析】（1）由题意可得OD＝5，从而可得点A的坐标，从而可得ｋ的值；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，由题意可知D’的纵坐标为3，从而可得横坐标，从而可知平移的距离．
【详解】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵ 点D的坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3，∴ OD＝5， ∴ AD＝5，∴ 点A坐标为（4，8）， ∴ k＝xy=4×8=32，∴ k＝32；
（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，过点D’做x轴的垂线，垂足为F’．
∵DF＝3，∴D’F’=3，∴点D’的纵坐标为3，∵点D’在的图象上，∴ 3 ＝，解得＝， 即∴菱形ABCD平移的距离为．

考点：1．勾股定理；2．反比例函数；3．菱形的性质；4．平移．
21、（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．
(2) 作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．
(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠
BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．
【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，
理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
②∵AB是⊙0直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=90°，
∴OA⊥EF，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O切线，
故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，
（2）作直径AM，连接CM，

即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠FAC=∠B，
∴∠FAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（3）∵OA=OB，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，
∴∠BAC=∠B，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
22、（2）① 见解析；② 3.1 (3) 6.6cm或2.8cm
【分析】（2）①根据画函数图象的步骤：描点、连线即可画出函数图象；②根据题意，利用图象法解答即可；
（3）根据题意：就是求当时对应的x的值，可利用函数图象，观察两个函数的交点对应的x的值即可.
【详解】解：（2）① 如 图所示 ：

②观察图象可得：当x=2时，y1=3.1，∴m=3.1；
故答案为：3.1；
(3) 当OD=CD时，即y1=y2时，如图，x约为6.6或2.8，即AD的长度约为6.6cm或2.8cm.

故答案为：6.6cm或2.8cm.
【点睛】
本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的有关知识和动点问题的函数图象，熟练运用图象法、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.
23、（1）t=2s；（2）t=1.2s或3s．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得QA=AP，从而可以求得结果；
（2）分与两种情况结合相似三角形的性质讨论即可.
【详解】（1）由QA=AP，即6-t=2t， 得t=2 (秒)；
（2）当时，△QAP～△ABC，则，解得t=1.2(秒)
当时，△QAP～△ABC，则，解得t=3(秒)
∴当t=1.2或3时，△QAP～△ABC.
24、（1）证明见解析；（2），2；
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞1即可；
（2）将x=1代入方程，求出m的值，进而得出方程的解．
【详解】（1）证明：∵
而≥1，
∴△＞1．
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是1，
∴1-（m+2）+2m-1=1，
解得：m=2，
∴原方程为：，
解得：．
即m的值为2，方程的另一个根是2．
∴方程总有两个不相等的实数根；
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠1）的根与△=有如下关系：
（1）△＞1方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1方程有两个相等的实数根；
（2）△＜1方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
第（2）问还可以利用根与系数的关系得到另一个解与m的二元一次方程组来解题．
25、（1）见解析，A1(3，﹣3)；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长BC到B1，使B1C=2BC，延长AC到A1，使A1C=2AC，再顺次连接即可得△A1B1C，再写出A1坐标即可；
（2）分别作出A，B绕C点顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，再顺次连接即可得△A2B2C．
（3）点B的运动路径为以C为圆心，圆心角为90°的弧长，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；

（2）如图，△A2B2C为所作；
（3）CB=，
所以点B经过的路径长=π．
【点睛】
本题考查网格作图与弧长计算，熟练掌握位似与旋转作图，以及弧长公式是解题的关键．
26、（1）①证明见解析，②存在，；（2）或．
【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）①证明：如图1中，
∵是的角平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∴为“类直角三角形”．

②如图1中，假设在边设上存在点（异于点），使得是“类直角三角形”．在
中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，∴，
∴，
∴，
（2）∵是直径，∴，∵，，∴，
①如图2中，当时，作点关于直线的对称点，连接，．则点在上，且，

∵，且，∴，∴，，共线，
∵∴，∴，∴，即
∴．
②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，平分，

∴，∵，，∴，
∴，即，∴，且中
解得
综上所述，当是“类直角三角形”时，的长为或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．