2022-2023学年北京市首都师范大附属中学数学九年级第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知抛物线与轴分别交于、两点，将抛物线向上平移得到，过点作轴交抛物线于点，如果由抛物线、、直线及轴所围成的阴影部分的面积为，则抛物线的函数表达式为（ ）

A． B．
C． D．
2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象分别位于第一、第三象限
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
D．函数图象经过点（1，2）
3．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．5，2，8
5．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
6．如图，在菱形中，，，是的中点，将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点旋转至处，则点在旋转过程中形成的、线段、点在旋转过程中形成的与线段所围成的阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，已知，点是的中点，，则的长为( )

A．2 B．4 C． D．
8．若用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面直径是（　　）

A．3 B．6
C．9 D．12
9．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知，点是线段上的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．一元二次方程的两个根为，则的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
12．如图，直线与双曲线交于、两点，过点作轴，垂足为，连接，若，则的值是（ ）

A．2 B．4 C．-2 D．-4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是△ABC的内心，若⊙O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是_____．

14．若点P的坐标是（﹣4，2），则点P关于原点的对称点坐标是_____．
15．如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝_____．

16．正五边形的中心角的度数是_____．
17．已知x＝1是方程x2﹣a＝0的根，则a＝__．
18．如图，点是矩形中边上一点，将沿折叠为，点落在边上，若，，则________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）用配方法解方程：﹣3x2＋2x＋1＝1．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，经过AD两点的圆分别与AB，AC交于点E、F，连接DE，DF．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似，

21．（8分）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC在网格中的位置如图所示：

（1）在图中画出△ABC先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后的图形；
（2）若点A的坐标是（－4，－3），试在图中画出平面直角坐标系，坐标系的原点记作O；
（3）根据（2）的坐标系，作出以O为旋转中心，逆时针旋转90º后的图形，并求出点A一共运动的路径长．
22．（10分）某区为创建《国家义务教育优质均衡发展区》，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该区投入教育经费9000万元，2018年投入教育经费12960万元，假设该区这两年投入教育经费的年平均增长率相同
（1）求这两年该区投入教育经费的年平均增长率
（2）若该区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该区投入教育经费多少万元
23．（10分）我县从2017年底开始落实国家的脱贫攻坚任务，准备加大基础设施的投入力度，某乡镇从2017年底的100万到2019年底的196万元，用于基础建设以落实国家大政方针．设平均每年所投入的增长率相同．
（1）求2017年底至2019年底该乡镇的年平均基础设施投入增长率？
（2）按照这一投入力度，预计2020年该乡镇将投入多少万元？
24．（10分）计算：3×÷2
25．（12分）在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．
26．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．

（1）为何值时，？
（2）设四边形的面积为，试求出与之间的关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）当为何值时，？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与x轴交点的横坐标，由阴影部分的面积等于矩形OABC的面积可求出AB的长度，再利用平移的性质“左加右减，上加下减”，即可求出抛物线的函数表达式．
【详解】当y＝0时，有（x−2）2−2＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
∴OA＝1．
∵S阴影＝OA×AB＝16，
∴AB＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x−2）2−2＋1＝
故选A．

【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、矩形的面积以及二次函数图形与几何变换，观察图形，找出阴影部分的面积等于矩形OABC的面积是解题的关键．
2、C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C进行判断．
【详解】A．k=2＞0，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，所以A选项的说法正确；
B．当x＞0时，y随着x的增大而减小，所以B选项的说法正确；
C．若x1＜0，x2＞0，则y2＞y1，所以C选项的说法错误；
D．把x=1代入得y=2，则点（1，2）在的图象上，所以D选项的说法正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3、B
【解析】选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以A错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以B正确；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以C错误；
选项中，由图可知：在，；在，，∴，所以D错误．
故选B．
点睛：在函数与中，相同的系数是“”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关.
4、B
【解析】根据三角形三边关系定理得出：如果较短两条线段的和大于最长的线段，则三条线段可以构成三角形，由此判定即可．
【详解】A．1+2=3，不能构成三角形，故此选项错误；
B．2+3＞4，能构成三角形，故此选项正确；
C．3+4=7，不能构成三角形，故此选项错误；
D．5+2＜8，不能构成三角形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5、B
【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
6、C
【分析】根据菱形的性质可得AD=AB=4，∠DAB=180°－，AE=，然后根据旋转的性质可得：S△ABE=S△ADF，∠FAE=∠DAB=60°，最后根据S阴影=S扇形DAB＋S△ADF―S△ABE―S扇形FAE即可求出阴影部分的面积.
【详解】解：∵在菱形中，，，是的中点，
∴AD=AB=4，∠DAB=180°－，AE=，
∵绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点旋转至处，
∴S△ABE=S△ADF，∠FAE=∠DAB=60°
∴S阴影=S扇形DAB＋S△ADF―S△ABE―S扇形FAE
= S扇形DAB―S扇形FAE
=
=
故选：C.
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、旋转的性质和扇形的面积公式，掌握菱形的性质定理、旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
7、C
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，，，
∴AD=2，
∵，
∴
∴
∴AB=，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，能够根据相似三角形列出比例式是解答本题的关键，难度不大．
8、B
【详解】设这个圆锥的底面半径为r，
∵扇形的弧长==1π，
∴2πr=1π，
∴2r=1，即圆锥的底面直径为1．
故选B．
9、C
【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．
【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），
∵m2+1＞0，
∴﹣（m2+1）＜0，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．
10、A
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且，
则．
故选：A．
【点睛】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
11、D
【分析】利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】为一元二次方程的根，
，
．
根据题意得，，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
12、A
【解析】由题意得:，又,则k的值即可求出.
【详解】设,
直线与双曲线交于A、B两点,
,
，
,
,
,则.
又由于反比例函数位于一三象限,,故.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为,是经常考查的一个知识点.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、π．
【分析】连接AI,BI,作OT⊥AB交⊙O 于T,连接AT,TB,以T为圆心,TA为半径作⊙T, 在优弧AB上取一点G,连接AG,BG．证明∠AIB+∠G=180°,推出A,I,B,G四点共圆,
【详解】如图，连接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O 于T，连接AT，TB，以T为圆心，TA为半径作⊙T，在优弧AB上取一点G，连接AG，BG．推出点I的运动轨迹是即可解决问题．

∵AB是直径,
∴∠ACB＝90°,
∵I是△ABC的内心,
∴∠AIB＝135°,
∵OT⊥AB,OA＝OB,
∴TA＝TB,∠ATB＝90°,
∴∠AGB＝∠ATB＝45°,
∴∠AIB+∠G＝180°,
∴A，I，B，G四点共圆,
∴点I的运动轨迹是,
由题意 ,
∴∠MTM＝30°,易知TA＝TM＝3,
∴点I随之运动形成的路径长是,
故答案为．
【点睛】
本题考查了轨迹,垂径定理、圆周角定理、三角形的内心和等边三角形的性质等知识, 解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．
14、（4，﹣2）　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点P的坐标是（﹣4，2），则点P关于原点的对称点坐标是：（4，﹣2）．
故答案为：（4，﹣2）．
【点睛】
本题考查点的对称，熟记口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称，两个都变号.
15、6
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．
【详解】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB，如图所示，

则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝∠OEB=90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝=6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16、72°．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
【点睛】
此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
17、1
【分析】把x＝1代入方程x2﹣a＝0得1﹣a＝0，然后解关于a的方程即可．
【详解】解：把x＝1代入方程x2﹣a＝0得1﹣a＝0，
解得a＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18、5
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
在Rt△ABF中，AF==6
∴DF=AD-AF=4
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2=CE2，
∴16+（8-CE）2=CE2，
∴CE=5
故答案为：5
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

三、解答题（共78分）
19、或
【分析】本题首先将常数项移项，将二次项系数化为1，继而方程两边同时加一次项系数一半的平方，最后配方求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】
本题考查一元二次方程的配方法，核心步骤在于方程两边同时加一次项系数一半的平方，解答完毕可用公式法、直接开方法、因式分解法验证结果．
20、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）连接AD，证明∠BAD＝∠CAD即可得出，则结论得出；
（2）在AE上截取EG＝CF，连接DG，证明△GED≌△CFD，得出DG＝CD，∠EGD＝∠C，则可得出结论△DBG∽△ABC．
【详解】（1）证明：连接AD，

∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴DE＝DF．
（2）证明：在AE上截取EG＝CF，连接DG，

∵四边形AEDF内接于圆，
∴∠DFC＝∠DEG，
∵DE＝DF，
∴△GED≌△CFD（SAS），
∴DG＝CD，∠EGD＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBG∽△ABC，
即以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，熟练掌握圆的内接四边形性质与相似三角形的判定是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，点A一共运动的路径长为
【分析】（1）根据平移的性质描点作图即可．
（2）根据A点坐标在图中找出原点，画出平面直角坐标系即可．
（3）利用旋转的性质描点画出图形，由于旋转所经过的路径是圆弧，因此利用弧长公式计算即可．
【详解】解：所作图形如下：

点A由A到运动的路径长为5，
再由到运动的路径长为
∴点A一共运动的路径长为．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移，旋转的性质，弧长的计算，熟记旋转时的路径是圆弧，利用弧的计算公式列式计算是解题的关键．
22、（1）20%；（2）15552万元
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为，根据题意列式计算即可；
（2）由（1）可知增长率，列式计算即可.
【详解】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为，根据题得
，解得（舍去）
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%
（2）因为2018年该县投入教育经费为12960万元，由（1）可知增长率为20%，所以2019年该县投入教育经费为
万元
答：预算2019年该县投入教育经费15552万元
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的实际应用，能够读懂题意列式计算是解题的关键.
23、（1）年平均增长率为40%；（2）预计2020年该乡镇将投入274.4万元．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可得出答案；
（2）用2019年的196万元×（1+年增长率）即可得出答案．
【详解】（1）设年平均增长率为x，由题意得

解得：＝40%，（舍）
∴年平均增长率为40%；
（2）196(1+40%)=274.4（万元）
答：2017年底至2019年底该乡镇的年平均基础设施投入增长为40%，预计2020年该乡镇将投入274.4万元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
24、
【分析】根据二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）和除法法则:（a≥0，b＞0）进行计算即可．
【详解】解：原式＝

【点睛】
本题主要考查二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键.
25、两次摸到的球都是红球的概率为.
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，
∴两次摸到的球都是红球的概率=．
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.
26、（1）当t=时，DE⊥AC；（2） ；（3）当t=时， ；(4)t=时，=
【分析】（1）若DE⊥AC，则∠EDA=90°，易证△ADE∽△ABC，进而列出关于t的比例式，即可求解；
（2）由△CDF∽△CAB，得CF=，BF=8﹣，进而用割补法得到与之间的关系式，进而即可得到答案；
（3）根据，列出关于t的方程，即可求解；
（4）过点E作EM⊥AC于点M，易证△AEM∽△ACB，从而得EM=，AM=，进而得DM=，根据当DM=ME时，=，列出关于t的方程，即可求解．
【详解】（1）∵∠B=，AB=6 cm，BC=8 cm，
∴AC=10cm，
若DE⊥AC，则∠EDA=90°，
∴∠EDA=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴t=，
答：当t=时，DE⊥AC；
（2）∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC =∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAB，
∴, 即，
∴CF=，
∴BF=8﹣，
∴；
（3）若存在某一时刻t，使得，
根据题意得：，
解得：，
答：当t=时，；
（4）过点E作EM⊥AC于点M，则△AEM∽△ACB
∴=，
∴，
∴EM=，AM=，
∴DM=10-2t-=，
在Rt△DEM中，当DM=ME时，=，
∴，解得：t=
即：当t=时，=．

【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理综合，通过相似三角形的性质，用代数式表示相关线段，进而列出方程，是解题的关键．