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复复变变函数与函数与积积分分变换变换(第二版第二版)华华中科技大学数学系中科技大学数学系教教师师黄志祥黄志祥(博士博士)1.参考教材参考教材1.数学物理方法数学物理方法(第三版第三版)，汪德新，汪德新编编，科学出版社，科学出版社，2007年年4月月.2.数学物理方法与数学物理方法与计计算机仿真算机仿真，杨华军杨华军编编，电电子工子工业业出版社，出版社，2006年年7月月.3.MATLAB及在及在电电子信息子信息课课程中的程中的应应用用(第第3版版)，陈陈怀怀琛琛等等编编著著,电电子工子工业业出版社出版社,2006.4.复复变变函数与函数与积积分分变换变换典型典型题题分析解集分析解集(第二版第二版)，李建，李建林林编编，西北工，西北工业业大学出版社大学出版社,2001年年1月月.01744/122.教学方式与要求教学方式与要求方式方式 板板书结书结合合PPT源于源于课课本稍高于本稍高于课课本本要求要求 适当做笔适当做笔记记 按按质质完成作完成作业业3.复复变变函数函数积积分分变换变换解析函数解析函数(导导数数)复复变积变积分分两者关系两者关系:级级数数留数留数Fourier变换变换Laplace变换变换复复变变函数与函数与积积分分变换变换主要内容主要内容第六七章不第六七章不讲讲共共9周周36课时课时4.复球面复球面5.4.4 4.4 罗罗朗朗级级数数6.2.3初等函数初等函数指数函数指数函数对对数函数数函数三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数幂幂函数函数小小结结7.2.3.1指数函数指数函数1.1.定定义义 对于复数z=x+iy,定义指数函数为注注:2.2.性性质质3.3.举举例例函数函数图图像像8.2.3.2对对数函数数函数1.1.定定义义2.2.性性质质(1)多值性 主值支(2)运算性(3)解析性3.3.举举例例函数函数图图像像作作业业！9.2.3.3三角函数三角函数1.1.定定义义注注:正、余弦函数可以大于1.2.2.性性质质(1)单值性(2)周期性(3)奇偶性(4)三角公式(5)解析性函数函数图图像像10.反三角函数反三角函数定定义义 如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为 同样，有函数函数图图像像均均为为多多值值函数函数.11.2.3.4双曲与反双曲函数双曲与反双曲函数双曲函数与反双曲函数注：注：双曲函数与三角函数的关系为函数函数图图像像Q:双曲正双曲正(余余)弦的弦的单值单值性、性、周期性、奇偶性如何？周期性、奇偶性如何？12.2.3.5幂幂函数函数1.1.定定义义2.2.3.3.举举例例13.小小结结 初等函数是复变函数的主要研究对像.介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.要求:会计算基本初等函数值.展望第三章第三章复复变变函数函数积积分分.14.结论结论:一般情形下一般情形下幂幂函数函数为为多多值值函数函数函数函数图图像像函数函数图图像像互互为为反反函函数数15.指数函数指数函数w=exp(z)的的图图像像虚部虚部MATLAB及在及在电电子信息子信息课课程中的程中的应应用用(第第3版版)陈怀琛 等 编著,电子工业出版社,2006.电电路路信号与系信号与系统统数字信号数字信号处处理理控制系控制系统统16.对对数函数数函数w=Ln(z)的的图图像像虚部虚部实实部部17.三角函数三角函数w=sin(z)的的图图像像虚部虚部18.反三角函数反三角函数w=Arctan(z)的的图图像像虚部虚部19.双曲正弦函数双曲正弦函数w=sh(z)或或w=sinh(z)的的图图像像虚部虚部20.幂幂整函数整函数的的图图像像虚部虚部21.虚部虚部根式函数根式函数 的的图图像像22.Fourier&LaplaceTransform Define Conditions Properties线线性性性性质质 对对称性称性质质延延迟迟、位移性、位移性质质相似性相似性质质 Define Conditions Properties线线性性性性质质 对对称性称性质质(无无)延延迟迟、位移性、位移性质质相似性相似性质质 23.Cont卷卷积积定理定理 乘乘积积定理及定理及Parseval定理定理 微分性微分性质质 积积分性分性质质 卷卷积积定理定理 周期函数的像函数周期函数的像函数 微分性微分性质质 积积分性分性质质Def:Def:24.常常见见函数的函数的Fourier变换变换 (4).常常见见广广义义Fourier变换变换抽抽样样函数函数25.常常见见函数的函数的Laplace变换变换Attention:t-:t-域函数域函数f(t)的理解的理解应该为应该为t t为为非非负负！26.t-t-域域symst,w;figure(1);ezplot(sin(t)./t,-50,50);Fw=fourier(sin(t)./(t),w);figure(2);ezplot(Fw,-5,5)Matlabcode27.W-W-域域28.数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数东东南大学数学系南大学数学系(第三版第三版)29.主要内容主要内容“三三类类典型方程典型方程”“边边界条件界条件”分离分离变变量法量法(有界有界)行波法与行波法与积积分分变换变换法法(无界无界)Green函数法函数法(有界或无界有界或无界)BesselLegendre第七九章不第七九章不讲讲 共共9周周36课时课时求解Sin&Cos 30.预备预备知知识识1 1基本概念基本概念偏微分方程偏微分方程(PDE):含有未知多元函数及其偏含有未知多元函数及其偏导导的方程，如的方程，如其其中:为多元函数多元函数.方程的方程的阶阶:未知函数未知函数导导数的最高数的最高阶阶数；数；方程的次数方程的次数:最高最高阶阶偏偏导导的的幂幂次；次；线线性方程性方程:未知函数及未知函数偏未知函数及未知函数偏导导数的数的幂幂次都是一次的次都是一次的 称称为为线线性方程性方程，否，否则则就就是非是非线线性的性的；自由自由项项:不含未知函数及其不含未知函数及其导导数的数的项项；齐齐次方程次方程:没有自由没有自由项项的偏微分方程称的偏微分方程称为为齐齐次方程次方程，否否则则称称为为非非齐齐次次的；的；31.Cont方程的解方程的解:若将某函数代入偏微分方程后，使方程化若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为为 一个恒等式，一个恒等式，则该则该函数函数为为方程的解；方程的解；通解通解:包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的 个数等于方程的个数等于方程的阶阶数；数；特解特解:不含任意独立函数的方程的解不含任意独立函数的方程的解.例如：例如：二二阶线阶线性非性非齐齐次偏微分方程次偏微分方程 的通解的通解为为 其中，其中，F F与与G G为为两个任意独立的函数两个任意独立的函数.注意注意：通解所含独立函数的个数偏微分方程的通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶阶数数.一一阶阶非非线线性非性非齐齐次次PDE二二阶线阶线性性齐齐次次PDE32.弦的微小横振弦的微小横振动动33.传输线传输线方程方程34.补补充充1:正交函数系正交函数系函数正交函数正交正交函数系正交函数系常常见见的正交函数系的正交函数系Chap2SeparateVariations35.函数的正交展开函数的正交展开完完备备正交系正交系函数广函数广义义Fourier级级数展开数展开36.三角函数正交关系三角函数正交关系37.分离分离变变量法解的物理意量法解的物理意义义级级数解中前四个数解中前四个驻驻波分量的运波分量的运动动38.分离分离变变量法小量法小结结第一步：分离第一步：分离变变量量.u(x,t)=X(x)T(t)第二步：求解本征第二步：求解本征值值(固有固有值值)问题问题.X(x)+BCODE第三步：求解第三步：求解T(t)满满足的常微分方程足的常微分方程.第四步：作特解的第四步：作特解的线线性叠加性叠加.第五步：由初始条件确定系数第五步：由初始条件确定系数.(.(三角函数的正交性三角函数的正交性)为方便记忆:“定解条件写完整，定解条件写完整，边边界条件界条件齐齐次化；次化；五个步五个步骤骤循序解，特征循序解，特征问题问题是关是关键键”.”.39.常常见边值问题见边值问题X+X=0的本征函数小的本征函数小结结40.常常见边值问题对应见边值问题对应的本征函数的本征函数41.分离分离变变量法量法抛物型方程第三抛物型方程第三类齐类齐次次边边界条件界条件(1-D)42.椭圆椭圆型方程第一型方程第一类齐类齐次次边边界条件界条件(2-D)43.44.45.46.47.48.49.50.51.52.第二章第二章总结总结齐齐次方程次方程齐齐次次边边界：界：分离分离变变量法量法或或本征函数法本征函数法非非齐齐次方程次方程齐齐次次边边界：界：本征函数法本征函数法非非齐齐次次边边界：界：先将先将边边界界齐齐次化后，再用本征函数次化后，再用本征函数展开法展开法53.数理方程的分类标准化方法第三章第三章行波法与行波法与积积分分变换变换法法总结总结54.实实系数型系数型PDE方程的行波解方程的行波解标准型一般型55.一般一般强强迫振迫振动动的定解的定解问题问题(1)(1)56.一般一般强强迫振迫振动动的定解的定解问题问题(2)(2)57.初始条件初始条件齐齐次次非非齐齐次次达朗达朗贝贝尔尔公式公式非非齐齐次方程次方程齐齐次方程次方程冲量原理冲量原理齐齐次方程次方程非非齐齐次方程次方程达朗达朗贝贝尔尔公式公式分解分解齐齐次方程次方程+非非齐齐初初值值非非齐齐方程方程+齐齐次初次初值值Chap3.Review(无界无界)58.边边界条件界条件齐齐次次非非齐齐次次分离分离变变量法量法非非齐齐次方程次方程齐齐次方程次方程特征函数法特征函数法分解分解齐齐次次边边界界+非非齐齐方程方程非非齐边齐边界界+已知函数已知函数Chap2.Review(有界有界)59.总结总结PDE边界条件初始条件定解问题先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE60.第四章第四章Green函数法函数法(以求解以求解Poisson方程方程为为例例)61.GreenGreen第二公式第二公式 62.圆圆域域Green函数函数Chap4.Review(GreenFunction)63.球域球域Green函数函数64.球内源点与球外像点共同作用球内源点与球外像点共同作用(Green函数函数)65.仅仅球内源点作用球内源点作用66.Gamma函数函数67.补补充充2：哈密哈密尔尔顿顿算子算子 直角坐直角坐标标系系68.柱坐柱坐标标系系()()69.球坐球坐标标系系()()70.第一第一类类Bessel函数函数71.第二第二类类Bessel函数函数(Neumann)72.Legendre多多项项式式73.4阶连带阶连带Legendre多多项项式式74.