河南省淮阳区羲城中学2022年数学九上期末考试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，DE∥BC，BD，CE相交于O，，，则（ ）．

A．6 B．9 C．12 D．15
2．如图，已知A、B是反比例函数上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
3．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是轴，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 、B（－1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1<y2<y3 B．y3<y2<y1 C．y3<y1<y2 D．y2<y1<y3
5．如图，在中，，过重心作、的垂线，垂足分别为、，则四边形的面积与的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
6．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是(　　)
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，连接，将线段绕点顺时针旋转90°，点的对应点恰好落在直线上，则的值为（ ）

A．2 B．1 C． D．
8．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，它们分别是△P1A1O、△P2A2O、△P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）

A．S1＜S2＜S3
B．S2＜S1＜S3
C．S3＜S1＜S2
D．S1＝S2 ＝S3
9．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定
11．若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是( )
A． B． C． D．
12．如图，在线段AB上有一点C,在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,直线BD与线段AE,线段CE分别交于点F,G.对于下列结论：①△DCG∽△BEG；②△ACE∽△DCB；③GF·GB=GC·GE；④若∠DAC=∠CEB=90°,则2AD2=DF·DG.其中正确的是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．

14．已知A（-4，2），B（2，-4）是一次函数的图像和反比例函数图像的两个交点．则关于的方程的解是__________________．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：___________．

16．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．

17．如图，在中，已知依次连接的三边中点， 得，再依次连接的三边中点得，···，则的周长为_____________________．

18．如图，让此转盘自由转动两次，两次指针都落在阴影部分区域（边界宽度忽略不记）的概率是____________.

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ．
（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ．

20．（8分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被哦感染．
（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
（3）轮（为正整数）感染后，被感染的电脑有________台．
21．（8分）某型号飞机的机翼形状如图所示，已知所在直线互相平行且都与所在直线垂直，．，，，．求的长度（参考数，，，，，）

22．（10分）已知：y=y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x=1时，y=3；x=–1时，y=1．求x=-时，y的值．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC．

24．（10分）如图，是的角平分线，延长到，使.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.

25．（12分）为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题:

（1）参加征文比赛的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ；
（4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
26．将矩形纸片沿翻折，使点落在线段上，对应的点为，若，求的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】试题分析：因为DE∥BC，所以，，因为AE=3，所以AB=9，所以EB=9-3=1．
故选A．
考点：平行线分线段成比例定理．
2、A
【详解】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D；
②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系，故排除C．
故选A．
考点：动点问题的函数图象．
3、C
【分析】由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可．
【详解】二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x=0，
即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，
故选：C．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4、D
【分析】分别把各点坐标代入反比例函数y=，求出y1，y2，y1的值，再比较大小即可．
【详解】∵点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（1，y1） 都在反比例函数y=的图象上，
∴y1=-2，y2=-4，y1=，
∵-4＜-2＜，
∴y2＜y1＜y1．
故选D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5、C
【分析】连接AG并延长交BC于点F，根据G为重心可知，AG=2FG，CF=BF，再证明△ADG∽△GEF，得出，设矩形CDGE中，DG=a，EG=b，用含a,b的式子将AC，BC的长表示出来，再列式化简即可求出结果．
【详解】解：连接AG并延长交BC于点F，根据G为重心可知，AG=2FG，CF=BF，
易得四边形GDCE为矩形，
∴DG∥BC，DG=CD=EG=CE，∠CDG=∠CEG=90°，
∴∠AGD=∠AFC，∠ADG=∠GEF=90°，
∴△ADG∽△GEF，
∴．
设矩形CDGE中，DG=a，EG=b，
∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b，
BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+)=3a，
∴．
故选：C．

【点睛】
本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．
6、B
【分析】先将各选项一元二次方程化为一般式，再计算判别式即得．
【详解】A选项中，则，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意；
B选项可化为，则，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意；
C选项可化为，则，，，则，无实数根，不符合题意；
D选项可化为，则，，，则，无实数根，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知：判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；判别式时，一元二次方程无实数根．
7、D
【分析】根据已知条件可求出m的值，再根据“段绕点顺时针旋转90°”求出点B坐标，代入即可求出b的值．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，
∴
又∵点B为点A绕原点顺时针旋转90°所得，
∴点B坐标为，
又∵点B在直线，代入得
∴
故答案为D．
【点睛】
本题考查了一次函数与旋转的相关知识，解题的关键是能够根据已知条件得出点B的坐标．
8、D
【分析】由于P1、P2、P3是同一反比例图像上的点，则围成的三角形虽然形状不同，但面积均为．
【详解】根据反比例函数的k的几何意义，△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O的面积相同，均为，所以S1=S2=S3，故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过同一反比例上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，而围成的三角形的面积为，本知识点是中考的重要考点，应高度关注．
9、A
【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．
【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=1．
故选A．
【点睛】
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
10、B
【详解】试题分析：∵当k＜0时，y=在每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选B.
考点：反比例函数增减性.
11、A
【分析】首先根据线y=kx+b经过第一、二、四象限，可得k＜0，b＞0，再根据k＜0，b＞0判断出直线y=bx+k的图象所过象限即可．
【详解】根据题意可知，k＜0，b＞0，
∴y=bx+k的图象经过一，三，四象限.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了一次函数y=kx+b图象所过象限与系数的关系：
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
12、A
【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的相似三角形证得∠AEC=∠DBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACE∽△DCB证得F、E、B、C四点共圆，由此推出△DCF∽△DGC，列比例线段即可证得④正确.
【详解】①正确；在等腰△ACD和等腰△ECB中AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,
∴∠ACD=∠ADC=∠BCE=∠BEC,
∴∠DCG=180-∠ACD-∠BCE=∠BEC,
∵∠DGC=∠BGE,
∴△DCG∽△BEG;
②正确；∵∠ACD+∠DCG=∠BCE+∠DCG,
∴∠ACE=∠DCB,
∵,
∴△ACE∽△DCB；
③正确；∵△ACE∽△DCB，
∴∠AEC=∠DBC,
∵∠FGE=∠CGB,
∴△FGE∽△CGB,
∴GF·GB=GC·GE；
④正确；如图，连接CF,
由②可得△ACE∽△DCB，
∴∠AEC=∠DBC,
∴F、E、B、C四点共圆，
∴∠CFB=∠CEB=90，
∵∠ACD=∠ECB=45，
∴∠DCE=90，
∴△DCF∽△DGC
∴,
∴,
∵,
∴2AD2=DF·DG.
故选：A.

【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判断连接CF，由此证明F、E、B、C四点共圆，得到∠CFB=∠CEB=90是解本题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴，
∴，
解得：x=
∴AF=
故答案为．
点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，
14、x1=-4，x1=1
【分析】利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】∵A(﹣4，1)，B(1，﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y图象的两个交点，
∴关于x的方程kx+b的解是x1=﹣4，x1=1．
故答案为：x1=﹣4，x1=1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、，
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
【详解】解：∵，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
故答案为△CBE，△BDA．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16、60°
【解析】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
17、
【分析】根据三角形的中位线定理得：A2B2= A1B1、 B2C2= B1C1、C2A2= C1A1，则△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．
【详解】解：∵ A2B2= A1B1、 B2C2= B1C1、C2A2= C1A1，
∴△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴△A5B5C5的周长为（7+4+5）×=1．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线定理，灵活运用三角形的中位线定理并归纳规律是解答本题的关键．
18、
【分析】先将非阴影区域分成两等份，然后根据列表格列举所有等可能的结果与指针都落在阴影区域的情况，再利用概率公式即可求解.
【详解】解：如图，将非阴影区域分成两等份，设三份区域分别为A,B,C,其中C为阴影区域，列表格如下，

由表可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两次指针都落在阴影区域的有1种，为（C,C），所以两次指针都落在阴影区域的概率为P= .
故答案为：

【点睛】
本题考查了列表法或树状图求两步事件概率问题，将非阴影区域分成两等份，保证是等可能事件是解答此题的关键.

三、解答题（共78分）
19、（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．
【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A、B的坐标；
（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标， 由点B、C的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC的解析式， 假设存在， 设点P的坐标为（x,），过点P作PD//y轴， 交直线BC于点D，则点D的坐标为（x,），PD=- x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC的面积关于x的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3） 设点M的坐标为（m,），则点N的坐标为（m,），进而可得出MN，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．
【详解】（1）抛物线的对称轴是直线，
，解得：，
抛物线的解析式为．
当时，，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
（2） 当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为．
将、代入，
，解得：，
直线的解析式为．
假设存在， 设点的坐标为，过点作轴， 交直线于点，则点的坐标为，如图所示 ．
，
．
，
当时，的面积最大， 最大面积是 16 ．
，
存在点，使的面积最大， 最大面积是 16 ．
（3） 设点的坐标为，则点的坐标为，
．
又，
．
当时， 有，
解得：，，
点的坐标为或；
当或时， 有，
解得：，，
点的坐标为，或，．
综上所述：点的坐标为，、、或，．

【点睛】
本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式； （3） 根据MN的长度， 找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程 ．
20、（1）8；（2）会；（3）．
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，求解即可．
（2）根据题意计算出3轮感染后被感染的电脑数，与700进行比较即可．
（3）根据题中规律，写出函数关系式即可．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，依题意得：

解得（舍去）
（2）
答：3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
（3）由（1）得每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑
第一轮：被感染的电脑有台；
第二轮：被感染的电脑有台；
第三轮：被感染的电脑有台；
故我们可以得出规律：轮（为正整数）感染后，被感染的电脑有台
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用和归纳总结题，掌握解一元二次方程的方法和找出关于n的函数关系式是解题的关键．
21、
【分析】在Rt△DEB和Rt△ACP中利用锐角三角函数来求出DE、AP的长，根据题意可知CE=BP，从而求出AB．
【详解】解：如图，延长交过点平行于的直线于点，

在中，

在中，
.

则.
.
答: 的长度为.
【点睛】
本题考查的是利用锐角三角函数值求线段长．
22、-
【详解】试题分析：设y1=k1x2，，所以把x=1，y=3，x=-1，y=1分别代入，然后解方程组后可得出y与x的函数关系式，然后把x＝代入即可求出y的值．
试题解析：因为y1与x2成正比例，y2与x成反比例，
所以设y1=k1x2，，
所以，
把x=1，y=3，x=-1，y=1分别代入上式得：

∴，
当x=-时，
y=2×（-）2+= -2=-
考点：1．函数关系式2．求函数值．
23、AB=2,BC= .
【解析】要求AB和BC，由已知∠B、∠C为特殊角，故可构造直角三角形来辅助求解.过点A作AD⊥BC于D，首先在Rt△ACD中求出CD和AD，然后在Rt△ABD中求出BD和AB，从而BC=BD+DC可求.
【详解】
解：作三角形的高AD.
在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=，
∴BD=，AB=.
∴CB=BD+CD=+.
故答案为AB=2, BC= .
【点睛】
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值.
24、（1）见解析，（2）BC=3.
【分析】（1）由AD是角平分线可得∠BAD=∠CAD，根据AC=CE可得∠CAD=∠E即可证明∠BAD=∠E，又因为对顶角相等，即可证明△ABD∽△ECD；（2）根据相似三角形的性质可得CD的长，进而可求出BC的长.
【详解】（1）∵是的角平分线，
∴.
∵，
∴.
∴.
又∵∠ADB=∠CDE
∴.
（2）∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例，熟练掌握判定定理是解题关键.
25、（1）30；（2）图见解析；（3）144°，30；（4） ．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可；
（3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值；
（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%，
则3÷10%=30，
即参加征文比赛的学生共有30人；
（2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人，
则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人
补全条形统计图如下图

（3），
，∴m=30
（4）依题意，列表如下:

男
女
女
男

(男，女)
(男，女)
女
(男，女)

(女，女)
女
(男，女)
(女，女)

由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以；
或树状图如下

由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键．
26、10
【分析】设，根据三角函数表示出其它线段，最终表示出BE、AB，然后在三角形ABE中根据勾股定理即可求出AB.
【详解】解： ∵是矩形，沿翻折
∴，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D =，
∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC=,
∴∠DAF=∠EFC,
∴,
设，则
∴,
∴,
∴AD=8k，
∴，
∴，
∴,
∴,
∵,
∴，
∴,
∴.
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.