20192020学年浙江省宁波市六校高二上学期期末数学试题(解析版).doc

2019-2020学年浙江省宁波市六校高二上学期期末数学试题

一、单选题
1．命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，
故p是q成立的充要条件，
故选A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
2．已知双曲线，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用已知条件，求解、，即可得出双曲线的离心率.
【详解】
双曲线，可得，，
所以双曲线的离心率为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的离心率，一般计算出、、的值或者通过三者之间的等量关系进行计算，考查计算能力，属于基础题.
3．设、、是三个不重合的平面，、是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可.
【详解】
对于A，若，，则或与相交，即A错误；
对于B，若，，则或或与相交，即B错误；
对于C，若，，由线面垂直的性质定理可知，，即C正确；
对于D，若，，则或与相交或异面，即D错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查线面位置关系和面面位置关系的判断，一般结合空间中平行、垂直关系的判定与性质定理进行判断，或者利用常见的几何体模型进行判断，考查推理能力，属于基础题.
4．命题“”是命题 “函数在上是单调递增”成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】利用导数法求出为上的增函数等价命题，进而根据集合的包含关系即可判断.
【详解】
，，
若函数在上单调递增，则在上恒成立，即.
由于Ü，故命题“”是命题 “函数在上是单调递增”成立的充分不必要条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用函数的单调性求参数，一般转化为导数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
5．过点且倾斜角比直线的倾斜角小的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先由题意求出直线的倾斜角，再根据此直线过点，可得它的方程.
【详解】
直线的斜率为，倾斜角为，故比它的倾斜角小的直线的倾斜角为，
再根据此直线过点，故要求的直线的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线方程的求解，涉及直线的倾斜角的计算，考查计算能力，属于基础题.
6．直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于，从而可得关于的不等式，即可求得结论.
【详解】
，设圆心到直线的距离为，则，
，，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用弦长求直线斜率的取值范围，一般转化为弦心距进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
7．已知实数、满足约束条件，若目标函数的最小值为，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.
【详解】
目标函数，
设，则的几何意义是区域内的点与定点连线的斜率，
若目标函数的最小值为，即的最小值是，
由，得，即的最小值是，
作出不等式组对应的平面区域如图：

由斜率的意义知过的直线经过时，直线的斜率最小，此时，
得，得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】【详解】
本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．

9．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为曲线，所以切线过点（4，e2）
∴f′（x）|x=4= e2，
∴切线方程为：y-e2= e2（x-4），
令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），
令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），
∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.
故选D．
10．两圆和恰有三条公切线，若且，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：由题意得两圆与相外切，即，所以，当且仅当时取等号，所以选A.
【考点】两圆位置关系，基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

二、填空题
11．若直线和平行，则的值为____________；这两条平行线与之间的距离为____________.
【答案】
【解析】由题意利用两条直线平行的等价条件求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求出平行线与之间的距离.
【详解】
直线和平行，，求得.
故，即，
故两条平行线与之间的距离为，
故答案为：；.
【点睛】
本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了平行线间距离的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
12．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为____________；____________.
【答案】
【解析】求出的长，求出为圆心，为半径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦的方程；求出、的长以及夹角即可求解数量积.
【详解】
圆的圆心为，半径为，，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
将两圆的方程相减可得公共弦的方程，
，，，，则，
.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查切点弦方程的计算，同时也考查了利用定义计算平面向量的数量积，考查计算能力，属于中等题.
13．已知实数、满足，则的最大值是__________，最小值是__________.
【答案】
【解析】设，则的几何意义是区域内的点到定点的距离，结合图象即可求最大值和最小值.s
【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图

由，解得，同理解得，.
设，则的几何意义是区域内的点到定点的距离，
由图象知的距离最大，此时，所以
到直线的距离最小，此时到直线的距离.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
14．一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的表面积为____________，该三棱锥的体积为____________.

【答案】
【解析】由三视图还原几何体，求出各棱长，进而求得表面积及体积.
【详解】
由正视图和侧视图可知，该三棱锥如图所示，

且，，，，平面，
则，，，
，，，
由余弦定理得，，，
所以，该三棱锥的表面积为，体积为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查利用三视图求几何体的体积，解答的关键在于结合三视图还原几何体，考查计算能力，属于基础题.
15．函数的单调增区间是__________．
【答案】
【解析】函数的定义域为，且：，
求解不等式可得：，
则函数的单调增区间是.
16．在直角坐标系平面内，动直线与动直线相交于点，则点的轨迹方程是____________.
【答案】
【解析】由动直线过点，动直线过点，且两直线垂直，故两直线的交点是在以为直径的圆上，即可求得点的轨迹方程.
【详解】
动直线过定点，
动直线过定点，且两直线垂直，
故两直线的交点是在以为直径的圆上，
因为线段的中点为，，
故以为直径的圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了动点轨迹方程的求解，求出两直线所过定点的坐标，以及根据两直线垂直得出点的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_________．
【答案】
【解析】试题分析：由双曲线的方程可知，渐近线方程为，分别与联立，解得，所以中点的坐标为，因为点满足，所以，所以，所以，所以．
【考点】双曲线的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与双曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中用双曲线的渐近线与已知直线方程联立，求解点的坐标是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

三、解答题
18．已知椭圆，直线经过点交椭圆于、两点，当平行于轴时，.
（1）求椭圆方程；
（2）当直线的倾斜角时，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意，求得和的横坐标，由得的值，即可求得椭圆方程；
（2）求得直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式即可求得.
【详解】
（1）当平行于轴时，，所以时，，
即，，所以，所以，
椭圆的方程：；
（2）因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
设，.
联立方程组，消去，整理得，
则，，
所以.
所以.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截椭圆所得弦长的计算，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．如图所示,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.

(1)求证:PB∥平面EFH;
(2)求证:PD⊥平面AHF.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明:(1)∵E、H分别是PA、AB的中点,
∴EH∥PB.
又EH⊂平面EFH,PB⊄平面EFH,
∴PB∥平面EFH.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD,PA∩AD=A,
∴AB⊥底面PAD.
又∵PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.
Rt△PAD中,PA=AD=2,F为PD的中点,
∴AF⊥PD.
又∵AF∩AB=A,AF⊂平面AHF,AB⊂平面AHF,
∴PD⊥平面AHF.
20．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程；
（2）问题可转化为求解函数在区间上的最小值，求导后对实数分和两种情况讨论，求出，然后解不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，，
由题意可得，，切线斜率，
故曲线在处的切线方程，即；
（2）.
①若，则对任意的，，则函数在上单调递减，则只要，
解可得，，不合题意，舍去；
②若，当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故只要，，解得.
综上可得，的范围为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，一般转化为与函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21．如图，在等腰梯形中，，，，，将沿折起，使平面平面.

（1）若是侧棱中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再根据线面平行的判定定理即可证明平面；
（2）先利用面面垂直的性质定理得出平面，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）在梯形中，，，，，
，，，
取的中点，连接、，则，且，
则四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）∵，平面平面，面面，面，面，
以为坐标原点，以、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系如图：

则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则由，令，则，即，
设直线与平面所成的角为，
则.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．已知抛物线焦点为，且，，过作斜率为的直线交抛物线于、两点.
（1）若，，求；
（2）若为坐标原点，为定值，当变化时，始终有，求定值的大小；
（3）若，，，当改变时，求三角形的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】（1）由题意知，抛物线的方程为，直线的方程为，联立，，由此利用韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件能求出；
（2）由向量的数量积得，由此能求出；
（3）当时，，由判别式得，由此能求出三角形面积的最大值.
【详解】
（1）由题意知，抛物线的方程为，
直线的方程为，联立，消去得.
当时，设、，则，，
则，，
，解得；
（2），，为定值，当变化时，始终有，
，解得或；
（3）当时，，由判别式，得，
则，
当时，三角形的面积取最大值.
【点睛】
本题考查利用抛物线中向量数量积求参数，同时也考查了抛物线中三角形面积最值的计算，涉及三元基本不等式的应用以及韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.

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