江西省安远县三百山中学2022年数学九年级第一学期期末监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（ ）

A． B．8 C．10 D．16
2．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（　　）

A． B．2≤OP≤4 C．≤OP≤ D．3≤OP≤4
3．在中，，若已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第个图案有个菱形纸片，第个图案有个菱形纸片，第个图案有个菱形纸片，按此规律，第个图案中菱形纸片数量为（ ）

A． B． C． D．
5．若反比例函数的图象在每一条曲线上都随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在比例尺为1：100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离为（　　）千米．
A．3 B．30 C．3000 D．0.3
7．下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
8．如图，一根电线杆垂直于地面，并用两根拉线，固定，量得，，则拉线，的长度之比（ ）

A． B． C． D．
9．如图，直角△ABC 中，，，，以 A为圆心，AC 长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（ ）

A．点A B．点B C．点C D．点D
11．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
12．己知a、b、c均不为0,且,若，则k=（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A (2，0)，B (2，2)，C (0，2)，若反比例函数的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值__________．

14．如图，D是反比例函数(k<0)的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y＝﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为_______．

15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是_____．
16．计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
17．如图，四边形是菱形，经过点、、与相交于点，连接、，若，则的度数为__________．

18．如图，抛物线和抛物线的顶点分别为点M和点N，线段MN经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是__________，MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是__________．

三、解答题（共78分）
19．（8分）已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值．

…
-4

-2
-1
1

3
4
…

…

-2

6
3

…
（1）求出这个反比例函数的表达式；
（2）根据函数表达式完成上表；
（3）根据上表，在下图的平面直角坐标系中作出这个反比例函数的图象．

20．（8分）如图1，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为，其对称轴交轴于点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使面积最大时点的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点满足以点、、、为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：＝1．
22．（10分）如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．

23．（10分）已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB,

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，有一个，顶点的坐标分别是.将绕原点顺时针旋转90°得到，请在平面直角坐标系中作出，并写出的顶点坐标.

25．（12分）已知：如图，，点在射线上．

求作：正方形，使线段为正方形的一条边，且点在内部．(请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
26．如图，已知直线AB与轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，）两点.AD⊥轴于点D，BE∥轴且与轴交于点E.
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．
【详解】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AE：AB，
∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=2：5，
∵EF=4，
∴4：BC=2：5，
∴BC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=1．
【点睛】
本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．
2、A
【分析】如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，由勾股定理可求B'A＝5，由三角形中位线定理可求B'C＝2OP，当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，即可求解．
【详解】解：如图，在y轴上取点B'（0，﹣3），连接B'C，B'A，

∵点B（0，3），B'（0，﹣3），点A（4，0），
∴OB＝OB'＝3，OA＝4，
∴，
∵点P是BC的中点，
∴BP＝PC，
∵OB＝OB'，BP＝PC，
∴B'C＝2OP，
当点C在线段B'A上时，B'C的长度最小值＝5﹣2＝3，
当点C在线段B'A的延长线上时，B'C的长度最大值＝5+2＝7，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平面直角坐标系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理的相关内容，能够得到线段之间的数量关系.
3、B
【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．
【详解】解：在中，，

∵，
设BC=3x，则AC=4x，
根据勾股定理可得：，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
4、D
【解析】观察图形发现：每增加一个图形，菱形纸片增加4个，从而得到通项公式，代入n=7求解即可．
【详解】观察图形发现：第1个图案中有5=4×1+1个菱形纸片；
第2个图案中有9=4×2+1个菱形纸片；
第3个图形中有13=4×3+1个菱形纸片，
…
第n个图形中有4n+1个菱形纸片，
当n=7时，4×7+1=29个菱形纸片，
故选:D.
【点睛】
属于规律型：图形的变化类，找出图中菱形纸片个数的变化规律是解题的关键.
5、A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当反比例函数y的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，可知，k﹣1＞0，进而求出k＞1．
【详解】∵反比例函数y的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数y，当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．
6、A
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【详解】解：设这条道路的实际长度为x，则=，
解得x=300000cm=3km．
∴这条道路的实际长度为3km．
故选A．
【点睛】
本题考查成比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换
7、A
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足的点即为所求
【详解】点（3，﹣2）满足，符合题意，
点（3，2）不满足，不符合题意，
点（2，3）不满足，不符合题意，
点（﹣2，﹣3）不满足，不符合题意
故选A．
8、D
【分析】根据锐角三角函数可得：和，从而求出.
【详解】解：在Rt△AOP中，，
在Rt△BOP中，，
∴
故选D.
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键.
9、A
【分析】连结AD．根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-三角形ACD的面积-扇形ADE的面积，列出算式即可求解．
【详解】解：连结AD．

∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，
∴∠C=60°，AB=4，
∵AD=AC，
∴三角形ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∴图中阴影部分的面积=4×4÷2-4×2÷2-=4-π．
故选A．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．
10、C
【解析】试题分析：根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．
解：连接AC，
∵AB=3cm，AD=4cm，
∴AC=5cm，
∵AB=3＜4，AD=4=4，AC=5＞4，
∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．
故选C．

考点：点与圆的位置关系．
11、D
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】从左边看一个正方形被分成两部分，正方形中间有一条横向的虚线，如图：

故选：D．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，从左边看得到的是左视图．
12、D
【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.
【详解】∵
∴，，
三式相加得，
∵
∴k=3.
故选D.
【点睛】
本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）
【分析】反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则围成的矩形的面积为|k|，据此进一步求解即可.
【详解】∵反比例函数图像与正方形有交点，
∴当交于B点时，此时围成的矩形面积最大且为4，
∴|k|最大为4，
∵在第一象限，
∴k为正数，即0＜k≤4，
∴k的取值可以为：1.
故答案为：1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数中比例系数的相关运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
14、-1
【详解】解：∵的图象经过点C，∴C（0，1），
将点C代入一次函数y=-x+m中，得m=1，∴y=-x+1，令y=0得x=1，∴A（1，0），
∴S△AOC=×OA×OC=1，
∵四边形DCAE的面积为4，∴S矩形OCDE=4-1=1，
∴k=-1
故答案为：-1．
15、（0,3）
【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x=0，解方程即可．
【详解】解：令x=0，则y=3，即抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
【点睛】
本题考查了抛物线与y轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x=0，即可求得交点纵坐标．
16、0
【解析】原式==0，
故答案为0.
17、
【分析】根据菱形的性质得到∠ACB＝∠DCB＝（180°−∠D）＝51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝78°，
∴∠ACB＝∠DCB＝（180°−∠D）＝51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝78°，
∴∠EAC＝∠AEB−∠ACE＝27°，
故答案为：27°．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18、 (1，5) 16
【分析】先将M、N两点坐标分别求出，然后根据N点的移动规律得出M点的横坐标向右移动2个单位长度，进一步即可求出M点坐标；根据二次函数图像性质我们可以推断出MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积等同于菱形MNQP，之后进一步求出相关面积即可.
【详解】由题意得：M点坐标为(-1，1)，N点坐标为(1，-3)，
∵点Q横坐标为3，
∴N点横坐标向右平移了2个单位长度，
∴P点横坐标为-1+2=1，
∴P点纵坐标为：1+2+2=5，
∴P点坐标为：(1，5)，
由题意得：Q点坐标为：(3，1)，
∴MQ平行于x轴，PN平行于Y轴，
∴MQ⊥PN，
∴四边形MNQP为菱形，
∴菱形MNQP面积=×MQ×PN=16，
∴MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积等于16，
故答案为：(1，5) ，16.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质及运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

三、解答题（共78分）
19、（1）y=；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）将x=1，y=6代入反比例函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）求出的解析式分别代入表中已知的数据求解即可得出答案；
（3）根据（2）中给出的数据描点连线即可得出答案.
【详解】解：（1）∵y是x的反比例函数
∴设y =
∵当x=1时，y=6
∴6=k
∴这个反比例函数的表达式为 .
（2）完成表格如下：
x
…

-3

2

…
y
…
-1.5

-3
-6

2
1.5
…
（3）这个反比例函数的图象如图：

【点睛】
本题考查的是反比例函数，比较简单，需要熟练掌握画函数图像的方法.
20、（1）；（2）；（3）点的坐标为或
【分析】（1）设出抛物线的顶点式，将顶点C的坐标和原点坐标代入即可；
（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式，过点作轴交于点，设，则，然后利用“铅垂高，水平宽”即可求出面积与m的关系式，利用二次函数求最值，即可求出此时点D的坐标；
（3）先证出为等边三角形，然后根据P点的位置和菱形的顶点顺序分类讨论：①当点与点重合时，易证：四边形是菱形，即可求出此时点P的坐标；②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，易证：四边形是菱形，先求出，再根据锐角三角函数即可求出BP，从而求出此时点P的坐标.
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵顶点
∴
又∵图象过原点
∴解出：
∴即
（2）令，即，解出：或
∴
设直线AC的解析式为y=kx＋b
将点，的坐标代入，可得

解得：
∴
过点作轴交于点，
设，则
∴
∴

∴当时，有最大值
当时，
∴
（3）∵，，
∴
∴
∴为等边三角形
①当点与点重合时，

∴四边形是菱形
∴
②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，

∴四边形是菱形
∴点是的角平分线与对称轴的交点，
∴，
∵，.
在Rt△OBP中，
∴
综上所述，点的坐标为或
【点睛】
此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、利用“铅垂高，水平宽”求面积的最值、菱形的判定定理和分类讨论是数学思想是解决此题的关键.
21、（2）3；（2）x＝2或-2．
【分析】（2）将特殊角的三角函数值代入及利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：（2）
＝4×-2＋2×2
＝2－2＋2
＝3；
(2）＝2

∴或，
∴，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解（2）小题题的关键，能正确分解因式是解（2）小题题的关键．
22、（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；

（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】
此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
23、（1）；（2）四边形ABCD面积有最大值．
【分析】（1）已知B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
【详解】（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，
得方程x2+x﹣3＝0解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴，
解这个方程组，得，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝+•DM•（AN+ON）
＝+2•DM
设D（x，x2+x﹣3），M（x，﹣x﹣3），
DM＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣（x+2）2+3，
当x＝﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值=+2×3=．

【点睛】
此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大．
24、作图见解析，
【分析】连接OA、OB、OC，以O为圆心，分别以OA、OB、OC为半径，顺时针旋转90°，分别得到OA1、OB1、OC1，连接A1B1、A1 C1、B1 C1即可；然后过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1E⊥x轴于E，利用AAS证出△OAD≌△A1OE，然后根据全等三角形的性质即可求出点A1的坐标，同理即可求出点B1、C1的坐标．
【详解】解：连接OA、OB、OC，以O为圆心，分别以OA、OB、OC为半径，顺时针旋转90°，分别得到OA1、OB1、OC1，连接A1B1、A1 C1、B1 C1，如下图所示，即为所求；

过点A作AD⊥x轴于D，过点A1作A1E⊥x轴于E
∵根据旋转的性质可得：OA=A1O，∠AOA1=90°
∴∠AOD＋∠OAD=90°，∠AOD＋∠A1OE=90°
∴∠OAD=∠A1OE
在△OAD和△A1OE中

∴△OAD≌△A1OE
∴AD= OE，OD= A1E
∵点A的坐标为
∴AD=OE=4，OD= A1E=2
∴点A1的坐标为（4,2）
同理可求点B1的坐标为（1,5），点C1的坐标为（1,1）
【点睛】
此题考查的是图形与坐标的变化：旋转和全等三角形的判定及性质，掌握旋转图形的画法和构造全等三角形是解决此题的关键．
25、见详解
【分析】根据正方形的判定定理，利用尺规先作出FD⊥BC，再作∠ABC的平分线交DF于点F，作∠BDF的平分线交AB于点E，进而即可作出正方形．
【详解】如图所示：

∴正方形就是所求图形．
【点睛】
本题主要考查正方形的判定定理和尺规作图，掌握尺规作角平分线和垂线，是解题的关键．
26、（1）点B的坐标是（-5，-4）；直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形.理由见解析
【解析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．
【详解】解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,
得. ∴点B的坐标是（-5，-4）
设直线AB的解析式为，
将 A（3，）、B（-5，-4）代入得，
， 解得：.
∴直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形.理由如下:
点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.
∵ BE∥轴， ∴点E的坐标是（0,-4）.
而CD =5， BE=5，且BE∥CD.
∴四边形CBED是平行四边形
在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ ED＝＝5，∴ED＝CD.
∴□CBED是菱形