2016年广州市二模试题及答案(理科数学word版).doc

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（理科）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1）已知集合，Z，则
(A) (B) (C) (D)
（2）已知复数，其中为虚数单位， 则
(A) (B) (C) (D)
（3）已知， 则的值是
(A) (B) (C) (D)
（4）已知随机变量服从正态分布, 且, 则
(A) (B) (C) (D)
（5）不等式组的解集记为, 若, 则的最小值是
(A) (B) (C) (D)
（6）使N展开式中含有常数项的的最小值是
(A) (B) (C) (D)
（7）已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数
的单调递减区间是
(A) Z (B) Z
(C) Z (D) Z
（8）已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为
，，, 则球的表面积为
(A) (B) (C) (D)
（9）已知命题：N, ，命题：N, ，
则下列命题中为真命题的是
(A) (B)
(C) (D)
（10）如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出
的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是
(A) (B)
(C) (D)
（11）已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作
双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为
(A) (B) (C) (D) 无法确定
（12）设函数的定义域为R , , 当时,
, 则函数在区间上的所有零点的和为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）曲线在点处的切线方程为 .
（14）已知平面向量与的夹角为，，，则 .（15）已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点
在椭圆上，则椭圆的方程为 .
（16）在△中，分别为内角的对边，，
，则△的面积的最大值为 .
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分分）
设是数列的前项和, 已知, N.
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 令，求数列的前项和.
（18）（本小题满分分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中
随机抽取一个容量为的样本进行分析.
(Ⅰ)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必
计算出结果）
(Ⅱ)如果随机抽取的名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93

(ⅰ)若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同
学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
(ⅱ)根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程 (系数精确到);
若班上某位同学的数学成绩为分,预测该同学的物理成绩为多少分?

附：线性回归方程，其中，.

（19）（本小题满分分）
如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，
，平面平面，平面.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若，求直线与平面所成角的正弦值.

（20）（本小题满分分）
已知点，点是直线上的动点，过作直线，，线段的
垂直平分线与交于点.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)若点是直线上两个不同的点, 且△的内切圆方程为，直
线的斜率为，求的取值范围.

（21）（本小题满分分）
已知函数R.
(Ⅰ) 当时，求函数的最小值；
(Ⅱ) 若时,,求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1: 几何证明选讲
如图,四边形是圆的内接四边形,是圆的直径，，的延
长线与的延长线交于点,过作，垂足为点.
(Ⅰ)证明: 是圆的切线；
(Ⅱ)若，，求的长.

（23）（本小题满分10分）选修4－4: 坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数.以点为极
点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)将曲线和直线化为直角坐标方程；
(Ⅱ)设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值.

（24）（本小题满分10分）选修4－5: 不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时，求函数的定义域；
(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学试题答案及评分参考
评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不给分。
3. 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数。选择题不给中间分。
一. 选择题
（1）C （2）B （3）A （4）B （5）A （6）C
（7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）A
二. 填空题
(13) (14) (15) (16)
三. 解答题
(17)(Ⅰ) 解: 当时, 由, 得,…………………………1分
两式相减, 得, …………………………2分
∴ .
∴ . ……………………………………………………3分
当时,，, 则.…………………4分
∴数列是以为首项, 公比为的等比数列. ………………………5分
∴. ……………………………………………………6分
(Ⅱ) 解法1: 由(Ⅰ)得.
∴ , ① …………………7分
, ② …………………8分
①-②得…………9分

…………………………10分
. …………………………………11分
∴ .……………………………………………………12分
解法2: 由(Ⅰ)得.
∵ , …………………………………8分
∴
……10分
. ……………………………………………12分
（18）(Ⅰ)解：依据分层抽样的方法，名女同学中应抽取的人数为名，
…………………………………………1分
名男同学中应抽取的人数为名， ……………………2分
故不同的样本的个数为. …………………………………………3分
(Ⅱ) (ⅰ)解: ∵名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名,
∴的取值为.
∴, ,
, . …………………7分

∴的分布列为

…………………………………………8分
∴ . …………………………9分
(ⅱ)解: ∵ ,. …………10分
∴线性回归方程为.……………………………………11分
当时, .
可预测该同学的物理成绩为分. ………………………………………12分
(19)(Ⅰ)证明：取的中点,连接,.
∵ △是等边三角形，
∴ . …………………………………………1分
∵ △是等腰直角三角形，，
∴ . …………………………………………2分
∵ 平面平面，平面平面，平面，
∴ 平面. …………………………………3分
∵ 平面,
∴ ∥.
∴ ,,,四点共面. …………………………4分
∵ ,平面,平面,
∴ 平面. ………………………………5分
∵ 平面,
∴ . ………………………………………………………6分
(Ⅱ)解法1: 作,垂足为,则.
∵ △是等边三角形，,
∴ ,.
在Rt△中, .………………7分
∵ △是等腰直角三角形，，
∴ .
∴. …………………………………8分
如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴, 所在直
线为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,.
∴ ,,.
设平面的法向量为,
由,,得 …………………………9分
令,得,.
∴ 是平面的一个法向量. …………………………10分
设直线与平面所成角为,
则. …………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为. …………………………12分
解法2: 作,垂足为,则.
∵ △是等边三角形，,
∴ ,.
在Rt△中, . ………………7分
∵ △是等腰直角三角形，，
∴ .
∴.………………………………………………8分
由(Ⅰ)知∥，
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面.
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离.
作,垂足为,
∵平面，平面，
∴.
∵平面,平面,,
∴平面,且. …………………………9分
在Rt△中,,
在Rt△中,,
∴ △的面积为.
设点到平面的距离为,
由, 得,
得. ……………………………10分
设直线与平面所成的角为,
则. ………………………………………………11分
∴直线与平面所成角的正弦值为. ………………………12分
注:求的另法.
由,
得,得.
(20) (Ⅰ)解:依题意,点到点的距离等于它到直线的距离, ………………1分
∴点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. …………2分
∴曲线的方程为. ………………………………………………3分
(Ⅱ)解法1：设点，点，点，
直线方程为：， ………………………4分
化简得，.
∵△的内切圆方程为，
∴圆心到直线的距离为，即. ………5分
故.
易知，上式化简得，.………………6分
同理，有. ………………………………7分
∴是关于的方程的两根.
∴， . ………………………………8分
∴.……………9分
∵，，
∴.
直线的斜率，则.
∴. ………………………………10分
∵函数在上单调递增，
∴.
∴.
∴. ………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为. ………………………………………………12分
解法2：设点，点，点，
直线的方程为，即，………………4分
∵ 直线与圆相切，
∴ .
∴ . ………………………………………………5分
∴ 直线的方程为.
∵ 点在直线上,
∴ .
易知，上式化简得，. …………………6分
同理，有. ………………………………………7分
∴是关于的方程的两根.
∴， . …………………………………………8分
∴. ……………9分
∵，，
∴.
直线的斜率，则.
∴. ……………………………………10分
∵函数在上单调递增，
∴.
∴.
∴. ………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为. ………………………………………………12分
解法3：设点，直线的方程为，即，
令,得,
∴ . ………………………………………………4分
∵ 直线与圆相切，
∴ .
化简得,. ……………………………………5分
同理,设直线的方程为，
则点,且. …………6分
∴ ,是关于的方程的两根.
∴ , . …………………………………………7分
依题意,,.
∴ …………………………………………8分

. ………………………………………………9分
直线的斜率，则.
∴. ……………………………………10分
∵函数在上单调递增，
∴. ∴.
∴. ………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为. ………………………………………………12分
解法4：设点，如图，设直线，与圆相切的切点分别为，，
依据平面几何性质，得， …………………………4分
由， …………………5分
得，
得. …………6分
得.……7分
故. ………………………………………………8分
依题意,,.
∴ . ………………………………………………9分
直线的斜率，则.
∴. ……………………………………10分
∵函数在上单调递增，
∴. ∴.
∴. ………………………………………………11分
∴.
∴的取值范围为. ………………………………………………12分
(21) (Ⅰ)解:当时，,则. …………………1分
令，得.
当时, ; 当时, . …………………………2分
∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
∴当时,函数取得最小值,其值为. ……………………3分
(Ⅱ)解:若时,,即.(*)
令,
则.
① 若,由(Ⅰ)知,即,故.
∴.
…………………………………………4分
∴函数在区间上单调递增.
∴.
∴(*)式成立. …………………………………………5分
②若,令,
则.
∴函数在区间上单调递增.
由于,.
…………………………………………6分
故,使得. …………………………………………7分
则当时,,即.
∴函数在区间上单调递减.
∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8分
综上所述,实数的取值范围是. ………………………………………9分
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当时, 在上单调递增.
则,即.…………………………………10分
∴. …………………………………………11分
∴,即. …………………………………………12分
（22）(Ⅰ)证明: 连接，，
∵ ，
∴ . …………………………1分
∵ 是圆的直径，
∴ .
∴ . …………………………2分
∴ .
∴ ∥. ………………………………3分
∵ ，
∴ . …………………………………4分
∴ 是圆的切线. …………………………5分
(Ⅱ)解:∵ 是圆的直径，
∴ ,即.
∵ ，
∴ 点为的中点.
∴ . …………………………………6分
由割线定理:,且. …………………………………7分
得. ……………………………………………………8分
在△中，，，则为的中点.
∴ . ……………………………………………………9分
在Rt△中，. ……………10分
∴ 的长为.
（23）(Ⅰ)解：由得，
∴曲线的直角坐标方程为. …………………………………2分
由，得，……………3分
化简得，， …………………………………4分
∴.
∴直线的直角坐标方程为. …………………………………5分
(Ⅱ)解法1：由于点是曲线上的点，则可设点的坐标为，…6分
点到直线的距离为 …………………………7分
.…………………………………8分
当时，. …………………………………9分
∴ 点到直线的距离的最大值为. …………………………………10分
解法2：设与直线平行的直线的方程为，
由消去得， ………………………6分
令， …………………………………7分
解得. …………………………………8分
∴直线的方程为，即.
∴两条平行直线与之间的距离为.………………………9分
∴点到直线的距离的最大值为. …………………………………10分
（24）(Ⅰ)解：由题设知：， …………………………………1分
① 当时，得，解得. ………………………………2分
② 当时,得,无解. …………………………………3分
③ 当时,得, 解得. ……………………………4分
∴函数的定义域为. …………………………………5分
(Ⅱ)解：不等式，即， …………………………………6分
∵R时，恒有，…………………………8分
又不等式解集是R，
∴，即. …………………………………9分
∴的最大值为. ……………………………… 10分

14