2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版).doc

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试题类型：新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合 ，则ST=
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易得，，选D
【考点】解一元二次不等式、交集
(2)若，则
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】易知，故，，选C
【考点】共轭复数、复数运算
(3)已知向量，=(，)，则
A. 30° B. 45° C. 60° D.120°
【答案】A
【解析】法一：，
法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
【考点】向量夹角的坐标运算
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是
A. 各月的平均最低气温都在以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月，六月为左右，故最多3个
【考点】统计图的识别
(5)若，则
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
(6)已知，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故
【考点】指数运算、幂函数性质
(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】列表如下

4
2
6
-2
4
2
6
-2
4

6
4

6

4

6

0

6

10

16

20

0

1

2

3

4
【考点】程序框图
(8)在中，，边上的高等于,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，可设，则，，，由余弦定理知，
【考点】解三角形
(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
A. B. C. 90 D. 81
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为

【考点】三视图、多面体的表面积
(10)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，
又，所以内接球的半径为，即的最大值为
【考点】内接球半径的求法
(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.
P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易得

【考点】椭圆的性质、相似
(12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（　　）
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】

【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)设x，y满足约束条件，则的最大值为________.
【答案】
【解析】三条直线的交点分别为，代入目标函数可得，故最小值为
【考点】线性规划
(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【答案】
【解析】，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
(15)已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______
【答案】
【解析】法一：，，，故切线方程为
法二：当时，，，故切线方程为
【考点】奇偶性、导数、切线方程
(16)已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________.
【答案】3
【解析】如图所示，作于，作于，，即
，
∴直线l的倾斜角为30°

【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
(1) 证明是等比数列，并求其通项公式；
(2) 若，求λ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
解：(1)

当时，
即，
即
即，
∴是等比数列，公比，
当n=1时，，
即

（2）若
则

【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的性质
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，，≈2.646.
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【答案】(1)见解析；(2)，1.82亿吨
【解析】
(1) 由题意得，

因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系
(2)

所以关于的线性回归方程为
将代入回归方程可得，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
(19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1) 见解析；(2)
【解析】(1) 由已知得，取的中点，连接，
由为中点知，. ......3分
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，
于是.
因为平面，平面，所以平面. ........6分
(2) 取中点，连接，则易知，又面，故可以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，
则

故平面的法向量

直线与平面所成角的正弦值为
【考点】线面平行证明、线面角的计算
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
【答案】(1) 见解析；(2)
【解析】
(1)法一：
由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. .....3分
由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ......5分
法二：
证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
(2)设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以(舍去)，.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
(21)(本小题满分12分)
设函数，其中，记的最大值为.
(1)求；
(2)求；
(3)证明：.
【答案】见解析
【解析】
(1)
(2) 当时，
因此，．
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，
，，且当时，取得极小值，
极小值为．
令，解得（舍去），．
①当时，在内无极值点，，，，所以．
②当时，由，知．
又，所以．
综上，．
(3) 由(1)得.
当时，.
当时，，所以.
当时，，所以.
【考点】导函数讨论单调性、不等式证明
请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修：几何证明选讲
如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点。
(I)若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
(II)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD。

【答案】见解析
【解析】
(1)连结，则.
因为，所以，又，所以.
又，所以， 因此.
(2)因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.
【考点】几何证明选讲
(23)(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】见解析
【解析】
(1)的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分
(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，
即为到的距离的最小值，.
………………8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
………………10分
【考点】坐标系与参数方程
(24)(本小题满分10分)，选修：不等式选讲
已知函数.
(1)当a=2时，求不等式的解集；
(2)设函数. 当时，，求a的取值范围。
【答案】(1)；(2)
【解析】
(1)当时，.
解不等式，得.
因此，的解集为. ………………5分
(2)当时，

，
当时等号成立，
所以当时，等价于. ① ……7分
当时，①等价于，无解.
当时，①等价于，解得.
所以的取值范围是. ………………10分
【考点】不等式选讲