高等量子力学-基本原理-2.ppt

一、一、量子力学的建立量子力学的建立二、二、量子力学基本原理量子力学基本原理三、三、量子力学的理论方法量子力学的理论方法四、四、量子力学的应用量子力学的应用 高高 等等 量量 子子 力力 学学 二、二、量子力学基本原理量子力学基本原理1 波函数的统计解释波函数的统计解释原理原理4 力学量用厄米算符表示力学量用厄米算符表示2 态叠加原理态叠加原理5 体系状态波函数可用算符的体系状态波函数可用算符的 本征函数展开本征函数展开3 体系状态波函数满足体系状态波函数满足薛定谔方程薛定谔方程7 全同性原理全同性原理6 不确定度关系不确定度关系4 力学量用厄米算符表示力学量用厄米算符表示 经经典典力力学学中中物物质质运运动动的的状状态态总总用用坐坐标标、动动量量、角角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。量量子子力力学学引引入入了了波波函函数数这这样样一一个个基基本本概概念念，以以概概率率的的特特征征全全面面地地描描述述了了微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态。但但并并不不能能作作为为量量子子力力学学中中的的力力学学量量。于于是是，又又引引入入了了一一个个重重要要的的基基本本概概念念算算符符，用用它它表表示示量量子子力力学学中中的的力力学学量量。什么是算符什么是算符?算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号1）du/dx=v，d/dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是是对函数函数 u 微商，微商，故称故称为微商算符。微商算符。2）x u=v，x 也是算符。也是算符。它它对 u 作用作用 是使是使 u 变成成 v。由由于于算算符符只只是是一一种种运运算算符符号号，所所以以它它单单独独存存在在是是没没有有意意义义的的，仅仅当当它它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：u=v 表示表示 把函数把函数 u 变成成 v，就是就是这种种变 换的算符。的算符。（一）算符的定义与构造（一）算符的定义与构造Ex.动能算符动能算符 角动量算符角动量算符 若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示由经典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 而得出。而得出。构造力学量算符的规则：构造力学量算符的规则：（1 1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量言；对于动量表象，表示力学量F F 的算符是将经典的算符是将经典表示表示 中的坐标变量中的坐标变量 换成坐标算符换成坐标算符（2 2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。即即 注意注意力学量算符力学量算符坐标坐标表象表象动量动量表象表象坐标算符坐标算符动量算符动量算符力学量算符力学量算符其中其中(二）算符的本征方程、本征值与本征函数二）算符的本征方程、本征值与本征函数算符算符 作用在函数作用在函数 上，等于一常数上，等于一常数 乘以乘以 此称为算符此称为算符 的本征方程的本征方程 即即 称为其本征值，称为其本征值，为其本征函数。为其本征函数。如果算符如果算符 描述力学量描述力学量 ，那么当体系处于那么当体系处于 的本征态中时，力学量的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。属于该本征态的本征值。该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以可以证明明:()+=+(.)+=.+（1 1）复共轭算符与复共轭算符与厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符算符算符 的复共的复共轭算符算符 *就是把就是把 表达式中表达式中 的所有量的所有量换成复共成复共轭.例如例如:坐坐标表象中表象中可以证明：可以证明：(三三)厄密算符厄密算符(2)(2)(2)(2)厄密算符厄密算符厄密算符厄密算符1.定定义:满足下列关系足下列关系 的算符称的算符称为 厄密算符厄密算符.2.性性质性性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则 (+)+=+=(+)性性质 II:两个厄密算符之两个厄密算符之积一般不是厄密一般不是厄密 算符算符,除非二算符除非二算符对易。易。因因为 ()+=+=仅当当 ,=0 成立成立时,()+=才成立。才成立。设设 为厄米算符，其为厄米算符，其本征方程本征方程（实数）证证:性质性质III:厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数例例例例量子力学基本假定量子力学基本假定量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。等），将由量子力学本身定义给出。若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量,则在直角坐标系则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：波函数完全描述了体系状态波函数完全描述了体系状态若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值若体系的状态已知，则体系的可以测量的力学量的可能测得值的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全的相应的概率就完全确定了。在这个意义上讲，波函数完全描述了体系状态。描述了体系状态。5 体系状态波函数可用算符的体系状态波函数可用算符的 本征函数展开本征函数展开 表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本表示力学量的算符必须是线性厄密算符，而且有完备的本征函数系征函数系。一些基本表达式一些基本表达式分立谱和连续谱同时存在分立谱和连续谱同时存在6 不确定度关系不确定度关系设二厄密算符对易关系为：设二厄密算符对易关系为：有：有：其中：其中：均方偏差均方偏差两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度关系不确定度关系海森堡海森堡的不确定原理于的不确定原理于19271927年年3 3月月2323日发表日发表在在物理学杂志物理学杂志上上坐标和动量的不确定度关系坐标和动量的不确定度关系随后随后海森堡海森堡又发现了能量与时间的不确定度关系又发现了能量与时间的不确定度关系求和中所包含的力学量本征值求和中所包含的力学量本征值Fn都有可能出现都有可能出现,出现的概率为出现的概率为一个粒子处于力学量一个粒子处于力学量 的本征态态下的本征态态下测量该力学量时测量该力学量时,所得结果是完全确定的所得结果是完全确定的,即为即为但如粒子处于非本征态但如粒子处于非本征态即很多本征值即很多本征值Fn的本征态的本征态 的叠加的叠加,测量粒子的力学量测量粒子的力学量 时时,本征态本征态 ,当测量结果为某个本征值当测量结果为某个本征值Fn时时,粒子的状态就变为相应的粒子的状态就变为相应的量子力学称之为量子态坍缩量子力学称之为量子态坍缩(collapse)力学量测量问题力学量测量问题以观察电子为例：以观察电子为例：在我们观测电子以前，电子实际上处于在我们观测电子以前，电子实际上处于一种叠加态，所有关于位置的可能性叠一种叠加态，所有关于位置的可能性叠合在一起，弥漫到整个空间中，但当我合在一起，弥漫到整个空间中，但当我们试图测量电子的位置的时候，它被迫们试图测量电子的位置的时候，它被迫做出选择，在无数可能性中挑选一种，做出选择，在无数可能性中挑选一种，以一个确定的位置出现在我们面前。以一个确定的位置出现在我们面前。两个力学量的同时测量两个力学量的同时测量在经典力学中，要测量两个力学量，我们可以先测其在经典力学中，要测量两个力学量，我们可以先测其中一个，如对中一个，如对F和和 G的测量，我们可以先测的测量，我们可以先测F，然后测，然后测 G。但在量子力学中，一般来说是不可能的。因为在经典但在量子力学中，一般来说是不可能的。因为在经典力学中，测量的影响可以无限减小。经过测量，状态力学中，测量的影响可以无限减小。经过测量，状态没有明显改变。但在量子力学中，测量将引起状态的没有明显改变。但在量子力学中，测量将引起状态的突变。测量突变。测量F,将使将使 变成变成 F的某一本征态的某一本征态n,然后测然后测量量G，又将，又将n变为变为G的某一本征态的某一本征态n。因此，一般来说，。因此，一般来说，第二次测量将破坏第一次所测得结果。第二次测量将破坏第一次所测得结果。然而，当然而，当F和和G可以对易时，做第二次测量，即将可以对易时，做第二次测量，即将n按按G的本征态的本征态n展开，它将不会改变状态已经具有的展开，它将不会改变状态已经具有的Fn值，值，同样，先测量同样，先测量G，随后测量，随后测量F，也不会改变状态已有的，也不会改变状态已有的Gn。因此，仅当。因此，仅当F和和 G对易时，前后两次测量才互不干对易时，前后两次测量才互不干扰。扰。7 7 全同性原理全同性原理固有性质相同的粒子称为全同粒子固有性质相同的粒子称为全同粒子1.1.全同粒子全同粒子 固有性质指的是：质量、电荷、自旋固有性质指的是：质量、电荷、自旋、磁矩、磁矩、宇称宇称、寿命、寿命等等 例：例：电子、质子、中子、超子、重子、轻子、电子、质子、中子、超子、重子、轻子、微子微子同类核原子、分子同类核原子、分子(一一)全同粒子体系交换对称性全同粒子体系交换对称性全同粒子的重要特点：全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化一粒子，不引起物理状态的变化 2 2不可区分性不可区分性微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确微观体系（粒子），因为运动具有波粒二象性，无确定轨道。粒子的位置是由定轨道。粒子的位置是由波函数波函数来决定。而波函数只来决定。而波函数只能提供粒子在每一个位置的能提供粒子在每一个位置的概率概率。随着时间演变，几。随着时间演变，几个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。在波函数重个粒子的波函数会扩散蔓延，互相重叠。在波函数重叠处就不能区分是哪个粒子。叠处就不能区分是哪个粒子。经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分，经典力学中，两物体性质相同时，仍然可以区分，因各自有确定轨道。因各自有确定轨道。12在波函数重叠区在波函数重叠区 粒子是不可区分的粒子是不可区分的3全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等），的系统中，任意两个全同粒子相互交换（位置等），不会引起系统状态的改变。不会引起系统状态的改变。概率分布不变：概率分布不变：全同性原理全同性原理是量子力学中的基本原理之一，也是量子力学中的基本原理之一，也称基本假设称基本假设之一之一。4全同粒子体系波函数的特性全同粒子体系波函数的特性-交换对称性交换对称性设体系由设体系由N N个全同粒子组成个全同粒子组成以以 表示第表示第i个粒子的坐标和自旋个粒子的坐标和自旋表示第表示第i个粒子在外场中的势能个粒子在外场中的势能表示第表示第i个粒子和第个粒子和第j个粒子的相互作用能个粒子的相互作用能则体系的哈米顿算符：则体系的哈米顿算符：两粒子互换，哈米顿两粒子互换，哈米顿算符算符不变不变薛定谔方程：薛定谔方程：交换交换 与与 这表示如果这表示如果 是方程的解，是方程的解，则则 也是方程的解。也是方程的解。根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它根据全同性原理，它们描述的是同一状态，则它们们间只可能间只可能相差一常数因子，以相差一常数因子，以 表示表示.即有即有 再交换再交换 与与当当 时时 即波函数为反对称函数即波函数为反对称函数当当 时时 即波函数为对称函数即波函数为对称函数描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，或描述全同粒子系统状态的波函数只能是对称的，或者反对称的。者反对称的。费米子和费米子和玻玻色子：色子：费米子：费米子：自旋为自旋为 奇数倍的粒子称为费米子。如电子、奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为质子、中子等粒子，自旋均为 ，它们均为费米子。，它们均为费米子。玻色子：玻色子：自旋为自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、光子的自旋分别为光子的自旋分别为O O或或 ，它们均为玻色子。，它们均为玻色子。费米子系统服从费米费米子系统服从费米狄拉克统计，其波函数是狄拉克统计，其波函数是反对称的反对称的。玻色子服从玻色玻色子服从玻色爱因斯坦统计，其波函数是对爱因斯坦统计，其波函数是对称的。称的。结论：结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是对描写全同粒子系统状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。称的或反对称的，它们的对称性不随时间变化。实验表明实验表明全同粒子体系的波函数的交换对称性全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子自旋有确定关系与粒子自旋有确定关系泡利不相容原理：泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处费米系统中，两个费米子不能处 于同一个状态于同一个状态 由由N N个费米子组成的体系的个费米子组成的体系的本征本征函数是反对称函数是反对称的的，称为称为斯莱斯莱特行特行列式列式 量子力学应用一：量子力学应用一：运用运用薛定谔方程薛定谔方程求解超晶格结构中的电子态求解超晶格结构中的电子态理想超晶格理想超晶格:是一种人造的周期性结构是一种人造的周期性结构四种效应：量子效应、界面效应、周期性效应、能带人工裁剪四种效应：量子效应、界面效应、周期性效应、能带人工裁剪运用运用薛定谔方程薛定谔方程求解超晶格结构中的电子态求解超晶格结构中的电子态半导体超晶格概念的提出半导体超晶格概念的提出(EsakiEsaki L&L&TsuTsu R.,1970)R.,1970)一个全新的革命性的概念一个全新的革命性的概念新方向新方向：低维量子系统低维量子系统(包括超晶格、量子阱、量子点、量子包括超晶格、量子阱、量子点、量子线、纳米管等）线、纳米管等）当前物理领域的重要的前沿研究方向当前物理领域的重要的前沿研究方向 渡重洋，迎朝晖，心系祖国，傲视功渡重洋，迎朝晖，心系祖国，傲视功名富贵如草芥；名富贵如草芥；攀高峰，历磨难，志兴华夏，欣闻徒子攀高峰，历磨难，志兴华夏，欣闻徒子徒孙尽栋梁。徒孙尽栋梁。北大物理系师生送给黄昆院士的北大物理系师生送给黄昆院士的一副对联一副对联世界著名物理学家、中国固体物理学和半导体物理学的奠基人世界著名物理学家、中国固体物理学和半导体物理学的奠基人之一、杰出的教育家、中国科学院院士，瑞典皇家科学院外籍之一、杰出的教育家、中国科学院院士，瑞典皇家科学院外籍院士、第三世界科学院院士，中国人民政治协商会议全国委员院士、第三世界科学院院士，中国人民政治协商会议全国委员会第五、六、七、八届常务委员，中国共产党优秀党员，九三会第五、六、七、八届常务委员，中国共产党优秀党员，九三学社社员，全国学社社员，全国“五一五一”劳动奖章获得者，劳动奖章获得者，19951995年度何梁何利年度何梁何利基金科学与技术成就奖获得者，基金科学与技术成就奖获得者，20012001年度国家最高科学技术奖年度国家最高科学技术奖获得者，中国科学院半导体研究所名誉所长获得者，中国科学院半导体研究所名誉所长（于（于20052005年年7 7月月6 6日日1616时时1818分在北京逝世，享年分在北京逝世，享年8686岁）岁）黄昆黄昆 学习知识不是越多越好，越深越好，而是要服从于学习知识不是越多越好，越深越好，而是要服从于应用，要与自己驾驭知识的能力相匹配。应用，要与自己驾驭知识的能力相匹配。黄昆黄昆含结构缺陷的超晶格含结构缺陷的超晶格含结构缺陷的超晶格是一种新型的超晶格材料，它具有周期超晶含结构缺陷的超晶格是一种新型的超晶格材料，它具有周期超晶格所没有的独特的物理性质：格所没有的独特的物理性质：（1 1）在能隙内形成局域态；在能隙内形成局域态；（2 2）电子在垒上及垒区都能形成束缚态，扩展了超晶格的光学）电子在垒上及垒区都能形成束缚态，扩展了超晶格的光学 性能；性能；（3 3）同掺杂和界面的不完整性所产生的缺陷相比较，结构缺陷同掺杂和界面的不完整性所产生的缺陷相比较，结构缺陷 能够准确地控制。能够准确地控制。(4)(4)结构缺陷超晶格在红外探测和红外激光器等光电子器件方结构缺陷超晶格在红外探测和红外激光器等光电子器件方 面有着相当的应用前景面有着相当的应用前景 d根据有效质量理论，零场下电子的哈密顿可写为：根据有效质量理论，零场下电子的哈密顿可写为：其中其中 和和z分别表示平行和垂直于界面的电子动量算符分别表示平行和垂直于界面的电子动量算符 m(z)和和U(z)(被分别定义为被分别定义为 m(z)是依赖于空间位置的电子的有效质量是依赖于空间位置的电子的有效质量含结构缺陷超晶格中的电子态含结构缺陷超晶格中的电子态因为势因为势U(z)仅是仅是z z的函数，的函数，所以总能量所以总能量E和和 是守恒量是守恒量 电子的波函数可以表示为电子的波函数可以表示为其中其中 是平行界面的平面内电子的横向坐标是平行界面的平面内电子的横向坐标 根据本征方程:可以导出一维薛定谔方程可以导出一维薛定谔方程 电子在阱层和垒层的纵向能量电子在阱层和垒层的纵向能量 其中引进有效垒高引进有效垒高 其中对含缺陷层的超晶格结构对含缺陷层的超晶格结构,电子的纵向波函数表示为电子的纵向波函数表示为 其中对于位于微隙中的局域电子态，其布洛赫波数为对于位于微隙中的局域电子态，其布洛赫波数为边界条件：边界条件：和和 在每一个界面处连续在每一个界面处连续 可导出下列方程：可导出下列方程：其中基于复波数形式的基于复波数形式的BlochBloch定理和转移矩阵方法，我们建立了一定理和转移矩阵方法，我们建立了一个关系式能统一处理含结构缺陷的超晶格中的电子态、声学声个关系式能统一处理含结构缺陷的超晶格中的电子态、声学声子态、界面光学声子态的带结构、带隙及其局域模，这个关系子态、界面光学声子态的带结构、带隙及其局域模，这个关系式也适合于计算一维光子晶体的带结构、带隙及其缺陷模。式也适合于计算一维光子晶体的带结构、带隙及其缺陷模。其中其中:elastic stiffness constants :acoustic wave number:the effective mass of electron :wave number电子态电子态声学声子模声学声子模:dielectric function :transverse wave number q/界面光学声子模界面光学声子模 j :permeability nj:refractive indices 一维光子晶体一维光子晶体结果与分析结果与分析AlAs/GaAs转移矩阵方法是一种常用的求隧穿系数的方法转移矩阵方法是一种常用的求隧穿系数的方法 区、区、区和区和区的电子的波函数分别写为区的电子的波函数分别写为转移矩阵方法转移矩阵方法这里，这里，边界条件：边界条件：在区域在区域和和的界面处，波函数及其一阶导数连续的界面处，波函数及其一阶导数连续 区中波函数在交界线的上部为零，区中波函数在交界线的上部为零，而其对而其对x x的导数并不一定为零的导数并不一定为零 在上式两边分别乘以在上式两边分别乘以 并积分并积分在上式两边分别乘以在上式两边分别乘以 并积分并积分其中其中写成矩阵形式写成矩阵形式 令 这样我们就得到电子从区域这样我们就得到电子从区域穿越边界到达区域穿越边界到达区域的转移矩阵的转移矩阵 类似地，我们可以得到类似地，我们可以得到区域区域到区域到区域的转移矩阵的转移矩阵 电子在电子在区内从左边到右边的转移矩阵可直接写出区内从左边到右边的转移矩阵可直接写出其中其中从区域从区域至区域至区域的总的转移矩阵的总的转移矩阵 求出转移矩阵后，我们就能非常容易地的求出隧穿求出转移矩阵后，我们就能非常容易地的求出隧穿几率。几率。转移矩阵方法能够给出结构中任意位置的波函数和转移矩阵方法能够给出结构中任意位置的波函数和电子几率密度，计算简单，物理图像清晰。电子几率密度，计算简单，物理图像清晰。然而，在实际计算中，转移矩阵方法的一个明显的然而，在实际计算中，转移矩阵方法的一个明显的缺点是不能处理较长或者形状比较复杂的结构缺点是不能处理较长或者形状比较复杂的结构从从区穿越边界到区穿越边界到区的散射矩阵定义为区的散射矩阵定义为散射矩阵把所有出射态和入射态的振幅联系起来散射矩阵把所有出射态和入射态的振幅联系起来 散射矩阵方法散射矩阵方法由 类似地，可求出从类似地，可求出从区穿越边界到区穿越边界到区的散射矩阵区的散射矩阵 从从区的左边到右边的散射矩阵可以直接写出区的左边到右边的散射矩阵可以直接写出其中其中从从区至区至区的总的散射矩阵应写成如下形式区的总的散射矩阵应写成如下形式 这里我们只须考虑一个这里我们只须考虑一个避免了矩阵中遇到的计算不稳定性问题避免了矩阵中遇到的计算不稳定性问题 Calculation of the overall scattering matrix